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辽宁省重点中学协作体2013年领航高考预测文科数学试卷1

时间:2014-01-06


辽宁省重点中学协作体 2013 年领航高考预测 文科数学试卷 1
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : 2 ? x ? 3 ,则 ?q 是 ?p 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 2.若 tan ? ? 2 ,则 (B)必要不充分条件 (D)既非充分条件也非必要条件 )

>
2 sin a ? cos a 的值为 sin a ? 2 cos a 3 5 (A)0 (B) (C)1 (D) 4 4

3.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人 数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年 职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 (A)9 (B)18 (C)27 (D) 36 4.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),a=i-2j,b=i+λ j,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 实数λ 的取值范围( )

(A)(-∞,-2)∪(-2, (C)(-2,

1 ) 2

(B)(-∞,

1 ) 2

1 ) 2

(D)(-∞,-2)

5.设 m,n 是异面直线,则(1)一定存在平面α ,使 m ? α ,且 n∥α ;(2)一定存在 平面α ,使 m ? α ,且 n⊥α ;(3)一定存在平面γ ,使得 m,n 到平面γ 距离相等;(4) 一定存在无数对平面α 和β ,使 m ? α ,n ? β 且α ⊥β 。上述 4 个命题中正确命题的序 号是( )

(A)(1)(2)(3)(B) (1)(2)(4)(C) (1)(3)(4) (D) (1)(4) 6. 函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x

). y y y

y 1 O 1 x 1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

7. f ( x) ?

2 cos(x ?

?

4 2 x 2 ? cos x

) ? 2x 2 ? x
,最大值 M,最小值 N,则( (C). M-N=2 ) (D). M+N=2 ). (B).M+N=4

(A).M-N=4 8.在区间 [? A.

1 3

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 2 2 B. C. D. 2 3 ?

? ?

x2 y2 9.已知△ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,顶点 P 在双曲线 16 9
C 上,则

sin A ? sin B sin P
(B)

得值等于( )

(A)

4 5

7 4

(C)

5 4

(D)

7

10.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1? A 且 k ? 1? A ,那么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不 含“孤立元”的集合共有 A.3 B.4 个. C.5 D.6

11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm2 )为 (A) 48 ? 12 2 (C) 36 ? 12 2 12.函数 f ( x) ? (B) 48 ? 24 2 (D) 36 ? 24 2

x ?1 , 设 f1 ( x) ? f ( x), f 2 ( x) ? f [ f1 ( x)], ﹒﹒﹒ x ?1

f n ( x) ? f [ f n?1 ( x)], ( x ? N ? , N ≥ 2 ) , 令 集 合 M={x ∣
f 2008 ( x) ? x 2 , x ? R }
则集合 M 为( ) (A) ? (B) 实数集 (C)单元素集 (D) 二元素集

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

__ 13.在等差数列 {a n } 中, a3 ? 7, a5 ? a 2 ? 6 ,则 a6 ? __________ .
14.若函数 f(x)=a-x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 .

15.设点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上除顶点外的任意一点,F1,F2 分别为左、右焦点,c 为 a2 b2

半焦距,

PF1F2 的内切圆与边 F1F2 切于点 M,求|F1M|· 2M|= |F

16.观察下表: 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6 ????

6 7

7 8

9

10

则第__________行的各数之和等于 20092 17. (此题满分 10 分)已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 18. (本小题满分 12 分)某公司欲招聘员工,从 1000 名报名者中筛选 200 名参加笔试,按 笔试成绩择优取 50 名面试,再从面试对象中聘用 20 名员工. (1)求每个报名者能被聘用的概率; (2)随机调查了 24 名笔试者的成绩如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 1 [65,70) 2 [70,75) 6 [75,80) 9 [80,85) 5 [85,90) 1

?

?

?

?

?

?

请你预测面试的分数线大约是多少? (3)公司从聘用的四男 a 、 b 、 c 、 d 和二女 e 、 f 中选派两人参加某项培训,则选派结 果为一男一女的概率是多少? 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB⊥平面 BCD,AB=BC=a,E 为 BC 的中点,F 在棱 AC 上,且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D-ABC 的表面积; D (2)求证 AC⊥平面 DEF; (3)若 M 为 BD 的中点,问 AC 上是否存在一点 N,使 M MN∥平面 DEF?若存在,说明点 N 的位置;若不存在, 试说明理由. B 20.(本小题满分 12 分) 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 对 任 意 的 C A E F N

n? N?

, 点 (n , Sn ) , 均 在 函 数 y ? b ? r (b ? 0 且
x

b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.

(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

21.(本小题满分 12 分)己知函数 f ( x) ? 1 (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)

2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 x ? ? 1 ? 1, e ? 1? 时, f ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围;

? ? (3)若设函数 g ( x) ? 1 x 2 ? 1 x ? a ,若 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象在区间 ? 0, 2 ? 上有两个 2 2
交点,求 a 的取值范围。 22. (本小题满分 12 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

?e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
10 3

的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

2013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷 1

1B 2B 3B 4 A (13) 13 (14) a>1

5 C 6 D 7A 8A 9 A 10 D 11A 12 A (15)

b2

(16) 1005

17 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ?, 于是 4sin ? ? cos? ,故 tan ? ?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? ) 2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5. 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?

?

?
4

)??

2 ? ? 9? .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 2 4 4 4

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 3? ? 因此 ? ? ,或 ? ? . 4 2 18.解: (1)设每个报名者能被聘用的概率为 p ,依题意有: 20 P? ? 0.02 . 1000

?

?

答:每个报名者能被聘用的概率为 0.02. (2)设 24 名笔试者中有 x 名可以进入面试,依样本估计总体可得:

50 x ,解得: x ? 6 ,从表中可知面试的切线分数大约为 80 分. ? 200 24
答:可以预测面试的切线分数大约为 80 分. ( 3 ) 从 聘 用 的 四 男 、 二 女 中 选 派 两 人 的 基 本 事 件 有 : a, b ) ,( a, c ) , ( ( a, d ) ,( a, e ) ,( a , f ) ,( b, c ) , ( b, d ) ,( b, e ) ,( b, f ) ,( c, d ) , ( c, e ),( c, f ) ,( d , e ) ,( d , f ) ,( e, f ),共 15 种.选派一男一女参加某项培训 的 种 数 有 ( a, e ) , ( a, f ) , ( b, e ) ,( b, f ) , ( c, e ) ,( c, f ) ,

( d , e ) ,( d , f ),共 8 种,所以选派结果为一男一女的概率为 答:选派结果为一男一女的概率为

8 . 15

8 . 15

19 解: (1)∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD. D ∵△BCD 是正三角形, AB=BC=a, 且 ∴AD=AC= 2a .
7 1 设 G 为 CD 的中点,则 CG= a ,AG= a. 2 2
3 2 7 2 1 ∴ S?ABC ? S?ABD ? a 2 , S?BCD ? a , S?ACD ? a . 4 4 2

M G O E H C F B A N

4? 3? 7 2 a . 4 (2)取 AC 的中点 H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F 为 CH 的中点. ∵E 为 BC 的中点,∴EF∥BH.则 EF⊥AC. ∵△BCD 是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面 ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面 DEF.

三棱锥 D-ABC 的表面积为 S?ACD ?

3 (3)存在这样的点 N,当 CN= CA 时,MN∥平面 DEF. 8

连 CM,设 CM∩DE=O,连 OF.由条件知,O 为△BCD 的重心,CO= ∴当 CF=
2 3 1 3 CN 时,MN∥OF.∴CN= ? CA ? CA 3 2 4 8
x

2 CM. 3

20 解:因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的 图像上.所以得 S n ? b n ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b n ? r ? (b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2n ?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ? 1)b n ?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 21 解(1)? f ( x) ? 1 (1 ? x)2 ? ln(1 ? x) 2 x(2 ? x) ? f ' ( x) ? (1 ? x) ? 1 ? ( x ? ?1) 1? x 1? x ? f ( x) 在(0,+ ? )单调递增,在(-1,0)上单调递减
(2)令 f ( x) ? 0 ,即 x ? 0 ,则 x 1
'

e
f ' ( x) f ( x)

?1

( 1 ? 1 ,0)

0 0

(0, e ? 1 ) +

e ?1

e

_

f (e ? 1) ? 1 e2 ? 1 ? 1 2 ? 1 , 又 ? ? f ( 1 ? 1) ? 1 2 ? 1 , e 2 2e 2e x ? ? 1 ? 1, e ? 1? 恒成立。? m ? 1 e2 ? 1 ?e ? 2 ? ? (3)由 1 (1 ? x)2 ? ln(1 ? x) ? 1 x 2 ? 1 x ? a 2 2 2

f ( x) ? m 在

得: 2a ? (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) ? ( x) ? (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) , ? ' ( x) ? 1 ? 2 ∴

? ( x)在 ?0,1? 单调递减, ? ( x)在 ?1,2? 上单调递增 ? (0) ? 1, ? (1) ? 2 ? 2ln 2, ? (2) ? 3 ? 2ln 3 ,且 ? (0) ? ? (2) ? ? (1) ∴ 当 2a ? (2 ? 2ln 2,3 ? 2ln 3) ,即 a ? (1 ? ln 2, 3 ? ln 3) 时, g ( x) 的图象与 f ( x) 的图 2
象在区间 ? 0, 2 ? 上有两个交点

? x ?1 x ?1 x ?1

22 (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2,0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而

10 16k M( , ) 3 3
? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

即 S(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2,0) 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

| 又 k ? 0,? MN |?
当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

16k 1 1 ,即 k ? 时等号成立 ? 3 3k 4 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

1 4
4 2 5

此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? BS |? |

6 4 5 5

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

1 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 5

2 2 ,所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 的直线上。 4 4
设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

则由

|t ?2| 2 3 5 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 4 2 2 2


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