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高三数学高考模拟试卷

时间:2017-10-25


高三数学高考模拟试卷(理)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

1.特称命题“ ? 实数 x,使 x ? 1 ? 0 ”的否定可以写成
2

A.若 x ? R, 则x 2 ? 1 ? 0 C. ?x

? R, x 2 ? 1 ? 0 2.已知函数 y ? ? 示,则 g ( x) = A. 2
x

B. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0
y 1 o 1 2 x

? f ( x), x ? 0 是偶函数, f ( x) ? log a x 对应的图象如右图 ? g ( x), x ? 0.

B. log 1 (? x)
2

C. log 2 (? x)

D. ? log 2 (? x)

1 , 1 ) ? (? , )z z i 1 ? ?i , 3. 对于任意的两个数对 ( a, b) 和 (c, d ) , 定义运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc , 若(
则复数 z 为 A. 2 ? i B. 2 ? i C. i D. ? i

4.设数列 {an } 的通项公式为 an ? 20 ? 4n ,前 n 项和为 Sn ,则 Sn 中最大的是
C1

A. S3

B. S4 或 S5

C. S5

D. S6

A1

B1

5.如图,三棱柱的侧棱长为 2,底面是边长为 2 的正三角形, AA1 ? 面A1 B1C1 , 正视图是边长为 2 的正方形,则左视图的面积为 A. 4 B. 2 3 C. 2 2 D.
C A B

3

? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k 的值 6.已知点 P(x,y)满足条件 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A.-6 B.6 C. 8 D. 不确定 7. 如图所示, 液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中, 开始时, 漏斗盛满液体, 经过 3 分钟漏完. 已 知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分) 的函数关系表示的图象只可能是.

第 1 页 共 11 页

A.

B.

C.

D.

8.若关于 x 的不等式 2? | x ? a |? x2 至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围为是 A. ?

9 ?a?2 4

B. ?

5 ?a?2 4

C. ?

7 ?a?2 4

D. ?

7 ?a?3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分. 必做题:第 9、10、11、12 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.已知 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? ? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,若 a0 ? a1 ? a2 ?

? ? an ? 62 ,则 n ?

. x y 2 1.2 3 2.5 4 3.5 5 4. 8

10. 右表记录了某种汽车的使用年限 x 和所支出的费用 ( y 万 元)的统计资料,则用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归 方程为 ;根据回归方程,估 计 使 用 年 限 为 10 年 时 , 所 支 出 的 费 用 大 约 为

.(参考数据:

2 2 ? 32 ? 4 2 ? 5 2 ? 54 , 2 ? 1.2 ? 3 ? 2.5 ? 4 ? 3.5 ? 5 ? 4.8 ? 47.9 )
11.按下列程序框图运算: 输入 x D 乘以 3 D 减去 2 D 大于 244 否 次才停止。 停止



规定:程序运行到“判断结果是否大于 244”为 1 次运算,若 x=5,则运算进行

??? ? ??? ? ??? ? ? 12.若点 O 在 ? ABC 内,则有结论 S?OBC ? OA ? S?OAC ? OB ? S?OAB ? OC ? 0 ,把命题类比推广到
空间,若点 O 在四面体 ABCD 内,则有结论:_____________________________. 选做题:选做题:第 13、14、15 题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前二题的得 分. 13.直线 ?

? x ? t cos ? , ? x ? 4 ? 2cos ? , ( t 为参数)与圆 ? ( ? 为参数)相切,则此直线的倾 ? y ? 2sin ? . ? y ? t sin ?.
. ; .

??

14.不等式 | x ? 1| ? | x ? 3| ? 2 的解集是

15.如图,已知 PC 、 DA 为⊙ O 的切线, C 、 A 分别为切 点 , AB 为 ⊙ O 的 直 径 , 若 DA ? 2 ,

CD 1 ? ,则 DP 2

AB ?



三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
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16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c ?

2 , 求k 的值.

17. (本小题满分 12 分) 一医院从 5 名男医生和 3 名女医生中选出 4 人加入医疗队,赴四川地震灾区参加救援工作。设 随机变量 ? 表示所选 4 人中女医生的人数。 (1) 求 ? 的分布列; (2) 求 ? 的数学期望和方差。

P

D

C B

18.(本小题满分 14 分) 如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体, P ? ABCD 是 一个四棱锥. AB ? 2 , BC ? 3 ,点 P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 . (1)证明: PD ? 平面PBC ; (2)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (3)若 AA1 ? a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D .

A

D1

C1 B1

A1

19.(本小题满分 14 分) 观察下列三角形数表 1 2 3 4 4 7 2 3 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ? ? ? ? ? -----------第一行 -----------第二行 -----------第三行 -----------第四行 ? ?

假设第 n 行的第二个数为 an (n ? 2, n ? N? ) , (1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 an?1与an 的关系式并求出 an 的通项公式; (3)设 anbn ? 1, 求证:

?b ? 2.
i ?2 i

n

20. (本小题满分 14 分) 若 存 在 实 常 数 k 和 b , 使 得 函 数 f ( x) 和 g ( x) 对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数 x 分 别 满 足 :

f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx? b为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线” .已知
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h( x) ? x2 , ? ( x) ? 2e ln x (e 为自然对数的底数).
(1)求 F ( x) ? h( x) ? ?( x) 的极值; (2)函数 h( x) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明 理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足

???? ? ??? ? ???? ? 3 HP ? PM ? 0 , PM ? ? MQ . 2 (1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C;
(2)过定点 D(m,0)(m ? 0) 作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,E 是 D 点关于坐标原点 O 的对称 点,求证: ?AED ? ?BED ; (3)在(2)中,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在求出 l ? 的方程;若不存在,请说明理由.

y
P Q H O M

x

参考答案及评分说明
一.选择题:DCDB BABA 2.由图象可得 f ( x) ? log2 x( x ? 0 ) 因函数的图象关于 y 轴对称, 可得 g ( x) ? log 2 (? x)( x ? 0 ) , 选C 3.由 (1, ?1) ? ( z, zi) ? 1 ? i 得 zi ? z ? 1 ? i ? z ?

1 ? i (1 ? i)2 ? ? ?i ,选 D. 1? i 2

4. 由 an ? 20 ? 4n ≥0 得 n ≤5,所以 S4 或 S5 最大,选 B. 5.左视图是长为2,宽为 3 的长方形,故面积为 2 3 ,选 B

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k ? x?? ? ?y ? x k k ? 3 6.画图,联立方程 ? 得? ,代入 ? ? 3 ? (? ) ? 8,? k ? ?6 ,选 A. 3 3 ?2 x ? y ? k ? 0 ? y ? ? k ? 3 ?
8.解法1:取 a ? ?2 ,得不等式 2? | x ? 2 |? x2 有负数解 x ? ? 等式 2? | x ?

1 5 ,排除选项 B、C,取 a ? ,不 2 2

5 |? x 2 无负数解,排除 D,故选 A 2
y 2

解法2:将原不等式变形为 | x ? a |? ? x 2 ? 2 ,在同一坐标系内作出函数

y ? ? x ? 2 和 y ?| x ? a | 的图象,函数 y ?| x ? a | 的图象是从点 (a, 0) 出
2

x 9 4 o 2

发的两条射线,如图,当射线 y ? ? x ? a( x ? a) 过点 (0, 2) 时, a ? 2 ,当射线

9 9 y ? x ? a( x ? a) 与抛物线 y ? ? x2 ? 2 相切时, a ? ? ,结合图象易得 ? ? a ? 2 4 4

? ? 1.18 x ? 1.13 、10.67 万元;11.4; 二.填空题:9.5;10. y
12. VO? BCD ? OA ? VO ? ACD ? OB ? VO ? ABD ? OC ? VO ? ABC ? OD ? 0 ;13. 15. 4 3 . 解析: 11.第一次运算得 13,第二次运算得 37,第三次运算得 109,第四次运算得 325. 三.解答题: 16.解: (1)? AB ? AC ? cb cos A, BA? BC ? ca cos B ------------------------------------1 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

? 5? 或 ;14. 6 6

?x x ? 2 ? ;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又 AB ? AC ? BA ? BC 得 bc cos A ? ac cos B ,即 b cos A ? a cos B

由正弦定理得

sin B cos A ? sin A cos B --------------------------------------------------------------------3 分 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0 ? sin(A ? B) ? 0 -------------------------------------------------------------------------------5 分 ? ?? ? A ? B ? ?

?A? B ? ?ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 a ? b

---------------7 分

? AB ? AC ? bc cos A ? bc ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? 2bc 2

--------------10 分 --------------------------------12 分

?c ? 2 ? k ? 1
17.解:(1)能取的值为 0,1,2 ,3.

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P(? ? k ) ?

C3k .C54?k , k ? 0,1, 2,3. --------------------------- ----3 分 C84

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 14

3 7

3 7

1 14

-----------------6 分

(2)由(1)知 ? 的数学期望为

E? ? 0 ?
方差

1 3 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 14 7 7 14 2

---------------------------9 分

3 1 3 3 3 3 3 1 15 D? ? (0 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 2 14 2 7 2 7 2 14 28
--------------------12 分 18(1)证明:∵ PD ? PC ? 2 , CD ? AB ? 2 ,∴
D A

P

E

C B

?PCD 为等腰直角三角形,∴ PD ? PC . ……1 分
∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是 一 个 长 方 体 , ∴ BC ? 面CC1D1D , 而

D1

C1 B1

P ? 平面CC1D1D ,
∴ PD ? 面CC1D1D ,所以 BC ? PD . ……3 分

A1

∵ PD 垂 直 于 平 面 PBC 内 的 两 条 相 交 直 线 PC 和 BC , 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 , 可 得

PD ? 平面PBC .…4 分
(2)解:过 P 点在平面 CC1D1D 作 PE ? CD 于 E ,连接 AE .……5 分 ∵ 面ABCD ? 面PCD ,∴ PE ? 面ABCD , ∴ ?PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角.……6 分 ∵ PE ?1, AE ? 10 ,∴ tan ?PAE ?

PE 1 10 .……7 分 ? ? AE 10 10
10 . 10
……8 分 ……9 分
z P

∴ PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (3)解:当 a ? 2 时, PC // 平面AB1 D .

当 a ? 2 时,四边形 CC1D1D 是一个正方形,所以 ?C1DC ? 450 ,
A

D

C B y C1

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D1

X

A1

B1

而 ?PDC ? 450 ,所以 ?PDC1 ? 900 ,∴ C1 D ? PD . 分 而 PC ? PD , C1 D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC // C1D .……12 分 而 C1D ? 面AB1C1D ,∴ PC // 面AB1C1D , ∴ PC // 平面AB1 D . ……14 分

……10

方法二:(1)建立空间直角坐标系,设棱长 AA1 ? a ,则有 D(0,0, a) , P (0,1, a ? 1) , B(3,2, a) ,

C (0,2, a) .

--------------------------------------------------------1 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 于是 PD ? (0, ?1, ?1) , PB ? (3,1, ?1) , PC ? (0,1, ?1) ,∴ PD ? PB ? 0 , PD ? PC ? 0 .??3 分
∴ PD 垂 直 于 平 面 PBC 内 的 两 条 相 交 直 线 PC 和 BC , 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 , 可 得

PD ? 平面PBC .

??4 分

(2 A(3,0, a) ,∴ PA ? (3, ?1, ?1) ,而平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) .?5 分

??? ?

? ? ?

??? ?? ? ? ∴ cos ? PD, n1 ??

?1 11 ? 1

??

11 . 11

??6 分

11 . 11 10 ∴ PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 . 10
∴ PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为

??7 分 ??8 分

(3 B1 ? (3,2,0) ,∴ DA ? (3,0,0) , AB1 ? (0,2,?a) .设平面 AB1 D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,则有

?DA ? n2 ? 3x ? 0 ? ,令 z ? 2 ,可得平面 AB1 D 的一个法向量为 n2 ? (0, a,2) ??10 分 ? ? ? AB1 ? n2 ? 2 y ? az ? 0
若要使得 PC // 平面AB1 D ,则要 PC ? n2 ,即 PC ? n2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 .?12 分 ∴当 a ? 2 时, PC // 平面AB1 D . ??14 分

19.解: (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; --------------2 分 (2)依题意 an?1 ? an ? n (n ? 2) , a2 ? 2 -------------------------------5 分 ------------------------7 分 an ? a2 ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?? (an ? an?1 ) (n ? 2)(n ? 1) ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2 1 2 1 ∴ a n ? n ? n ? 1 ( n ? 2) ; -------------------------------------9 分 2 2

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(3)∵ anbn ? 1, ∴

∴ bn ?

2 2 1 1 ? 2 ? 2( ? ) n ?n?2 n ?n n ?1 n
2

-------------11 分

?b
i?2

n

i

1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? 2(1 ? ) ? 2 ---14 分 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? ? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 1 2 2 3 n ?1 n n

20.解(1) ? F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x2 ? 2e ln x ( x ? 0) ,

? F ?( x) ? 2 x ?
当x ?

2e 2( x ? e )( x ? e ) . ? x x

??????????2 分

e 时, F ?( x) ? 0 .

??????????3 分

? 当 0 ? x ? e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递减;
当x? ∴当 x ?

e 时, F ?( x) ? 0 ,此时函数 F ( x) 递增; e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 .
??????????6 分

(2)解法一:由(1)可知函数 h( x) 和 ? ( x) 的图象在 x ? 隔离直线,则该直线过这个公共点.

e 处有公共点,因此若存在 h( x) 和 ? ( x) 的

??????????7 分

设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e ? k ( x ? e ) ,即

y ? kx ? e ? k e .
2

??????????8 分

由 h( x) ? kx ? e ? k e ( x ? R) ,可得 x ? kx ? e ? k e ? 0 当 x ? R 时恒成立.

? ? ? (k ? 2 e ) 2 ,

? 由 ? ? 0 ,得 k ? 2 e .
下面证明 ? ( x) ? 2 e x ? e 当 x ? 0 时恒成立. 令 G( x) ? ? ( x) ? 2 ex ? e ? 2e ln x ? 2 e x ? e ,则

??????????10 分

G ?( x) ?
当x?

2e 2 e ( e ? x) ?2 e ? , x x

??????????11 分

e 时, G?( x) ? 0 .

? 当 0 ? x ? e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递增;
当x?

e 时, G?( x) ? 0 ,此时函数 G ( x) 递减;
第 8 页 共 11 页

∴当 x ?

e 时, G ( x) 取极大值,其极大值为 0 .

从而 G( x) ? 2e ln x ? 2 ex ? e ? 0 ,即 ? ( x) ? 2 e x ? e( x ? 0) 恒成立.???13 分 ∴函数 h( x) 和 ? ( x) 存在唯一的隔离直线 y ? 2 ex ? e . 解法二: 由(Ⅰ)可知当 x ? 0 时, h( x) ? ? ( x) (当且当 x ? 若存在 h( x) 和 ? ( x) 的隔离直线,则存在实常数 k 和 b ,使得 ?????????14 分

e 时取等号) .??7 分

h( x) ? kx ? b ( x ? R) 和 ? ( x) ? kx ? b ( x ? 0) 恒成立,
令x?

e ,则 e ? k e ? b 且 e ? k e ? b
??????????8 分

? k e ? b ? e ,即 b ? e ? k e .
后面解题步骤同解法一. 21.解:(1)设 M ( x, y), P(0, y ?), Q( x?,0)( x? ? 0) ,

???? ? ? ??? ? ???? ? 3 ???? ? PM ? ? MQ, HP ? PM ? 0. 2 3 ? ( x, y ? y ?) ? ? ( x ? ? x, ? y ) 且 (3, y ?) ? ( x, y ? y ?) ? 0 , -------------------2 分 2 1 1 ? x? ? x, y? ? ? y,3x ? yy? ? y?2 ? 0. -------------------------------------------------3 分 3 2

? y 2 ? 4x( x ? 0) .

--------------------------------------------------------------------------4 分

∴动点 M 的轨迹 C 是以 O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)------5 分 (2)解法一:①当直线 l 垂直于 x 轴时,根据抛物线的对称性,有 ?AED ? ?BED ; -------------------------6 分 ② 当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 , 依 题 意 , 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? m)(k ? 0, m ? 0) ,

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A,B 两点的坐标满足方程组
? y ? k ( x ? m) ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
消去 x 并整理,得

y
A F H G

O?
O E B D

x

ky ? 4 y ? 4km ? 0 ,
2

? y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m . ---------------7 分 k

设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ,则:
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1 1 2 y1 y2 ? y2 y12 ? m( y1 ? y2 ) y y2 y ( x ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 4 ? ? 1 2 k1 +k2 = 1 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 4 4m 1 (?4m)( ) ? y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) k k ? 0 . -------------------9 分 ?4 ?4 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)
? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,

? 0 ? ?AED ?

?

2 ??AED ? ?BED .

, 0 ? ?BED ?

?
2
--------------------------10 分

综合①、②可知 ?AED ? ?BED .

解法二:依题意,设直线 l 的方程为 x ? ty ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A,B 两点的坐标 满足方程组:

y
? x ? ty ? m ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
A F H G

消去 x 并整理,得

O?
O E B D

y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , ? y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m . -------------------------7 分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ,则:

x

1 1 2 y1 y2 ? y2 y12 ? m( y1 ? y2 ) y y2 y ( x ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 4 ? ? 1 2 k1 +k2 = 1 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 1 y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) (?4m)(4t ) ? 4mt ?4 ?4 ? 0 . -------------------9 分 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)
? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,

? 0 ? ?AED ?

?

-------------------------------------10 分 (3)假设存在满足条件的直线 l ? ,其方程为 x ? a ,AD 的中点为 O? , l ? 与 AD 为直径的圆相交于

2 ??AED ? ?BED .

, 0 ? ?BED ?

?
2

第 10 页 共 11 页

点 F、G,FG 的中点为 H,则 O?H ? FG , O? 点的坐标为 (

x1 ? m y1 , ). 2 2

? O?F ?

1 1 1 AD ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x1 ? m) 2 ? 4 x1 , 2 2 2

O?H ? a ?
2

x1 ? m 1 ? 2a ? x1 ? m , 2 2
2 2

? FH ? O?F ? O?H ?

1 1 ? ( x1 ? m) 2 ? 4 x1 ? ? (2a ? x1 ? m) 2 ? ? 4 4
----------------------------------------12 分

? (a ? m ? 1) x1 ? a(m ? a) .
2

? FG ? (2 FH ) 2 ? 4 ? (a ? m ? 1) x1 ? a (m ? a ) ? ,
令 a ? m ? 1 ? 0 ,得 a ? m ? 1 此时, FG ? 4( m ? 1) . ∴当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, FG ? 2 m ? 1 (定值). ∴当 m ? 1 时,满足条件的直线 l ? 存在,其方程为 x ? m ? 1 ;当 0 ? m ? 1 时,满足条件的直线 l ? 不 存在.-----------------------------14 分
2

第 11 页 共 11 页


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