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高一数学暑期作业本(人教必修1、2、4、5共40套含参考答案)

时间:2017-07-10


高一数学暑期作业本(人教必修 1、2、4、5) 1.函数(1)
1.如果 M={x|x+1>0},则 ( ) A、φ ∈M B、0 ? M C、{0}∈M D、{0} ? M

2.若集合 P ? {1,2,3} ? {1,2,3,4} ,则满足条件的集合 P 的个数为 ( ) A、6 B、7
2

C、8

/>
D、1 )

3.已知集合 A={y|y=-x +3,x∈R},B={y|y=-x+3,x∈R},则 A∩B=( A、{(0,3),(1,2)} B、{0,1} C、{3,2} D、{y|y≤3}

4.用列举法表示集合: M ? {m|

10 ? Z , m ? Z} = m ?1



5.设全集 U ? ( x, y ) x, y ? R ,集合 M ? ?( x, y) y ? 2 ? 1? , N ? ( x, y ) y ? x ? 4 , ? ? x?2 ? ? 那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于________________。 6.若-3∈{a-3,2a-1,a -4},求实数 a
2

?

?

?

?

7.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q ? P,求 a 的一切值。
2

8.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1} (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围。 (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数。 (3)x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围。

2.函数(2)
1.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2 )

4 2 2.已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N * , x ? A, y ? B ,使 B 中元素

?

?

y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为(
A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5
2



D. 2, 5

1 1? x ( x ? 0) ,那么 f ( ) 等于( ) 2 2 x 1 C. 3 15 30 A. B. D. 2 4.若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? 25 , 4] ,则 m 的取值范围是( ) ? 4 A. ?0,4? B. [ 3 ,4 ] C. [ 3 , D. [ 3 , ?) ? 3]
3.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? 5.设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | x ? ?3或x ? 3? B. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?
2
2

2



6.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 x ?1

f ( x) 和 g ( x) 的解析式.

7.已知 f ( x) ? ?4 x2 ? 4ax ? 4a ? a2 在区间 ?0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.

1 8.已知函数 f ( x) 定义域是 (0,??) ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 ,对于 0 ? x ? y ,都有 2

f ( x) ? f ( y ) ,

(1)求 f (1) ;

(2)解不等式 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

3.函数(3)
1.下列函数中是奇函数的有几个( ) ③y? D. 4 )

ax ?1 ①y? x a ?1
A. 1

lg(1 ? x 2 ) ②y? x ?3 ?3
B. 2 C. 3

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

2.函数 y ? 3x 与 y ? ?3? x 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 3.已知 x ? x A. 3 3
?1

B. y 轴
3 2 3 ? 2

C.直线 y ? x ) D. ?4 5 )
x

D.原点中心对称

? 3 ,则 x ? x 值为( B. 2 5 C. 4 5
B. 3ln x ? 4
x

4.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A. 3 ln x C. 3e
x

D. 3e ? 4

5.若函数 f ( x) ? 1 ? 6.解方程: (1) 9
?x

m 是奇函数,则 m 为__________。 a ?1

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x x

x

7.求函数 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。

1 4

1 2

8.已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。
x x

4.函数(4)
1.已知 f ( x 6 ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于( A. 4
3



B. 8

C. 18

D. 1
2

2.函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为( A. 1
4



B. 1
2

C. 2

D. 4 )

3.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. [2,+?)

4.函数 f ( x) ? loga x ?1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x ) 在 (1, ??) 上( ) A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值 5.(1)若函数 y ? log2 ax2 ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________。
2 2

? (2)若函数 y ? log ?ax

? ? 2x ? 1? 的值域为 R ,则 a 的范围为__________。

6.已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小。

7.已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0 ? ,⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; x ? 2 ?1 2 ?

⑵证明 f ? x ? ? 0 .

8.设函数 y = 2 ? x 的定义域为集 A,关于 x 的不等式 lg(2ax)<lg(a+x)(a>0)的解集为 B,求 x ?1 使 A∩B=A 的实数 a 的取值范围.

5.函数的应用(1)
1.函数 y ? f ? x ? 的图像在 ? a, b? 内是连续的曲线,若 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在区间

? a, b ? 内(

) B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定 )

A 只有一个零点

2. f ? x ? ? 3ax ?12 ? 3a 在 ??1,1? 上存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? 0 ? x0 ? ?1? ,则 a 的取值范围是( A

? ??,2?
x

B

? 2,???

C

? ??, ?2?


D

? ?2, ???

1 ?1? 3.方程 ? ? ? x 3 有解 x0 ,则 x0 在下列哪个区间( ?2?

A

? ?1,0 ?
A a?4

B

? 0,1?
B a?4

C ?1, 2 ?

D

? 2,3?
) D a?4 .

4.若函数 f ? x ? ? x2 ? 4x ? a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( C a?4

5.函数 f ? x ? ? ?x2 ? 3x ? 2 的两个零点是

6.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 3? m ? 1? x ? n 的零点是 1 和 2,求函数 y ? logn ? mx ?1? 的零点.

7 函数 y ? x ? ? m ? 1? x ? m 的两个不同的零点是 x1 和 x2 ,且 x1 , x2 的倒数平方和为 2,求 m .
2

6.函数的应用(2)
1.在本市投寄平信,每封信不超过 20 克付邮资 0.8 元, 超过 20 克但不超过 40 克付 1.6 元,依 此类推,每增加 20 克增加 0.8 元(信的质量在 100 克以内),某人所寄一封信 72.5 克,则应付邮资 元. ) ( A.2.4 B.2.8 C.3 D.3.2 )

2.商品 A 降价 10%促销,经一段时间后欲恢复原价,需提价( A. 10% B. 11% C. 9%

100 % D. 9

3.如下图△ABC 为等腰直角三角形,直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB,直线 l 截这个三角形所得的位 于直线右方的图形面积为 y,点 A 到直线 l 的距离为 x,则 y=f(x)的图象大致为( )

4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来 越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( ) A 一次函数 B 二次函数 C 指数型函数 D 对数型函数 5. 长为 4 宽为 3 的矩形, 当长增加 x 宽减少

x 时面积最大, x ? 则 2

, 最大面积 S ?



6.某厂生产一种服装,每件成本 40 元,出厂价定为 60 元/件,为鼓励销售商订购,当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元,据市场调查, 销售商一次订购 量不超过 500 件, (1)设一次订购量为 x 件,实际出厂单价为 P,写出 P ? f ( x) 的表达式; (2)当销售商一次订购 450 件时,该厂获得利润多少元?

7.三角函数(1)
1、将-300 化为弧度为( A.-
o



4? 3
?

B.- )

5? 3

C.-

7? 6

D.-

7? 4

2、 sin 600 的值是(

A.

1 ; 2

B.

3 ; 2

C. ? )

3 ; 2

D. ?

1 ; 2

3、终边在 x 轴上的角的集合为( A.S= C.S=

?? ? ? 90

?

? k ? 360? , k ? Z?

B.S= D.S=

?? ? ? 90

?

? k ? 180? , k ? Z?

?? ? ? k ? ? , k ? Z?

?? ? ? ? ? k ? 2? , k ? Z?
{x | x = kp p + ,k 4 2 Z } ,则(


4、已知集合 M = {x | x = A. M = N

kp p + , k ? Z }, N 2 4
C. M ? N )

B. M ? N

D. M ? N

f

5、下列命题中正确的是( A. 第二象限角必是钝角 C.相等的角终边必相同

B. 终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同

6、已知 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则角

? 的终边所在的象限是 2

A. 一或三; B. 二或四; C. 一或二; D. 三或四 7、一个扇形的面积为 1,周长为 4,则此扇形中心角的弧度数为

cos 8、已知 a 终边上一点 P( - 3a, 4a ),求 sin a 、 a 、tana 的值。

9、利用单位圆写出符合条件的角 ? 的集合: ?

1 2 ? sin ? ? . 2 2

8.三角函数(2)
cos( ? ? A) ? ?
1.如果

1 ? sin( ? A) ? 2 ,那么 2 (



1 A. 2 ?

1 B. 2

?
C.

3 2


3 D. 2

2.f(cosx)=cos3x,则 f(sin300)的值是(

A.0

B.1

C. - 1

3 D. 2

1 ? ? 3.已知 sin a cos a = 8 , 4 < ? < 2 , 则 cos a -sin a 的值为

A.

3 2
2

B.

3 2

C.

3 4

3 D. - 4

4.化简 (1 ? tan

? ) cos2 ? =
2

5.函数 y ? lgsin x ? 16 ? x 的定义域是

sin(? ? 5? ) cos(? sin(? ?
6.化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? ? cos 2 ? ? sin 2 x 1 ? tan ? 7.求证:

9.三角函数(3)
1.函数 y=sin(2x + A.x=

? 2

? )的一条对称轴为( 3
C.x=-



B.x= 0

2. 函数 y ? sin( ?2 x ? A. [? C. [?

?
6

? 6

D.x = )

? 12

) 的单调递减区间是(
k ?Z
B. [

?
6

? 2k? ,

?
3

? 2k? ]

?
6

? 2 k? ,
? k? ,

5? ? 2 k? ] 6

k ?Z
k ?Z

?

6 3 2 3. 函数 y ? cos x ? sin x 的值域是:
A. ?? 1,1? B. ?1, 5 ? ? ?
? 4?

? k? ,

?

? k? ]

k ?Z

D. [

?
6

5? ? k? ] 6

C. ?0,2?

D. ?? 1, 5 ? ? ?
? 4?

4. 函数 y ? 1 ? 2cos 取值的集合是 5.函数 f ( x) ? tan(

?
3

x, x ? R 的最大值 y=
.

,当取得这个最大值时自变量 x 的

?
4

? x) 的单调减区间为



6. 已知 y ? a ? b cos3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 , 最小值为 ? 。 求函数 y ? ?4a sin(3bx) 的周期、 2 2

最值,并求得最值时的 x ;并判断其奇偶性。

7.求函数 y ?

sin 2 x ? sin 2 x 的值域. 1 ? sin x ? cos x

10.三角函数(4)
1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 4 的周期,振幅,初相分别是 1.函数

?
A.

4

, 2,

?
4
B.

4? ,?2,?

?
4 C.

4? ,2,

?
4
D.

2? ,2,

?
4

y ? 3cos(3x?
2.函数

?

) 2 的图象是把 y=3cos3x 的图象平移而得,平移方法是(



? A.向左平移 2 个单位长度; ? C.向右平移 2 个单位长度;

? B.向左平移 6 个单位长度; ? D.向右平移 6 个单位长度;

4 y ? cos( x ? ? ) 3 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象正好关于 y 轴对称,则 ? 的最 3.把函数
小正值是 ( )

4 ? A. 3 f ( x) ?
4.已知函数

2 ? B. 3

1 ? C. 3

5 ? D. 3

3 x x (cos ? 3 sin ) ? 3. 2 2 2

(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)指出 f (x) 的周期、振幅、初相;

? (3)说明此函数图象可由 y ? sin x在[0,2 ] 上的图象经怎样的变换得到.

11.三角恒等变换(1)
1.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 A. 1? 2 2.当 x ? [ ? B. 2 ? 1 C. 2 D. 2 ( ) ( )

? ?

, ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的 2 2

A.最大值为 1,最小值为-1 C.最大值为 2,最小值为-2 3.已知 tan(? ? ? ) ? 7, tan ? ? tan ? ?

B.最大值为 1,最小值为 ?

1 2

D.最大值为 2,最小值为-1

2 , 则 cos(? ? ? ) 的值 3
C. ?





A.

1 2

B.

2 2

2 2

D. ?

2 2
.

4.已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m ,则 cos2 ? ? cos2
2

? 的值为

5.在△ABC 中, tan A ? tan B ? tanC ? 3 3 , tan B ? tan A ? tanC 则 ∠B=__________. 6. sin(

?
4

? 3 x) ? cos(

?
3

? 3x) ? cos(

?
6

? 3x) ? sin(

?
4

? 3x) .

? ? 7.已知 0 ? ? ? ? ? 90 , 且 cos? , cos ? 是方程 x ? 2 sin 50 x ? sin 50 ?
2 ? 2 ?

1 ? 0 的两根, 2

求 tan(? ? 2? ) 的值.

12.三角恒等变换(2)
1.已知

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? ( 2 4 13 5 56 56 65 65 A. B.- C. D.- 65 65 56 56
? ? ?

?



2. sin 15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于





A.

3 4
? ?

B.
?

3 8
?

C.

1 8

D.

1 4


3. sin 20 cos70 ? sin 10 sin 50 的值是 A. 1
4
? ? ?

( C. 1
2

B. 3
2
?

D. 3
4

4. cos20 ? cos40 ? cos60 ? cos100 的值等于 . ? 5.已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos ? ? cos ? ? 1 ,则 tan( ? ? ) 的值为 4 3 6.已知α ,β ∈(0,π )且 tan(? ? ? ) ?

.

1 1 , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值. 2 7

7.已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B,

A?C 1 1 2 ? ?? 求 cos 的值. 2 cos A cosC cos B

13.三角恒等变换(3)
1. cos 75 ? cos 15 ? cos75 ? cos15 的值是
2 ? 2 ? ? ?





A.

5 4

B.

6 2

C.

3 2

D. 1 ?

3 4

2.已知 ? 为第Ⅲ象限象,则

1 1 1 1 ? ? cos ? 等于 2 2 2 2





A. sin
?

? 4
?

B. cos
?

?
4
?

C. ? sin

? 4

D. ? cos ( )

?
4

3. sin 20 ? sin 40 ? sin 60 ? sin 80 的值为 A.

1 16

B. ?

1 16

C.

3 16

D. ? .

3 16

4.已知 sin ? ? cos ? ? 5.化简
?

1 ,? ? (0, ? ), 则 cot ? 的值是 5
的结果是
?

cos100? cos5 ? 1 ? sin 100

.

6.已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos( ? ? ? ) 的值. 2 9 2 3 2

7.设 x ? [0,

?

], 求函数 y ? cos( 2 x ? ) ? 2 sin( x ? ) 的最值. 3 3 6

?

?

14.解三角形(1)
1. 在△ABC 中,若

a

A B C cos cos cos 2 2 2
B.等边三角形

=

b

=

c

,则△ABC 的形状是(

)

A.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形 )

2. 在△ABC 中,若 A=60°,b=16,且此三角形的面积 S=220 3 ,则 a 的值是( A.

2400

B.25

C.55

D.49

3. 在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角 4. 在△ABC 中,A=120°,B=30°,a=8,则 c= . 5. 在△ABC 中,已知 a=3 2 ,cosC=

1 ,S△ABC=4 3 ,则 b= 3

.

6.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求 AC 的长及△ ABC 的面积.

7.在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosB+ccosC=acosA,试判断△ ABC 的形状. ∴2cosBcosC=0.∵ 0<B<π ,0<C<π ,∴B=

? ? 或 C= ,即△ABC 是直角三角形. 2 2

15.解三角形(2)
1、设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( ) A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6 2 、 在 △ ABC 中 , 已 知 sinA ∶ sinB ∶ sinC=3 ∶ 5 ∶ 7, 则 此 三 角 形 的 最 大 内 角 的 度 数 等 于 ( ) A.75° B.120° C.135° D.150° 3、 ⊿ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( A.60° B.120° C.60°或 120° ) D.45° . .

a?b?c 4、 在△ABC 中,A=60°,b=1,面积为 3 ,则 = sin A ? sin B ? sin C
5、 在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,且边 b=2,则外接圆半径 R= 6、在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 , tan B ? . 4 5

7. 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的方向继 续前进,问此舰有没有角礁的危险?

???? ??? ??? ??? ? ? ? 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( ) ??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 ?? ? ?? ? ?? 0 ?? ? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2
3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,

16.平面向量(1)


? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ?? (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( ) b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 4.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 5.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
6.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a ,

?

??? ? ?

?

?

? ? ??? ??? ? b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .

7.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

? ?

?

?

8.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

17.平面向量(2)
1.下列命题中正确的是(

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? A. OA ? OB ? AB B. AB ? BA ? 0 ? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个



3.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 4.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4, 0
o

B. 4, 4 2

5.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

6.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

7.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 8.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

9.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

18.平面向量(3)
1.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



5? 6 ? 1 ? 3 ? ? 3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3
A. B. C. D. A. 30
0

? 6

? 3

2? 3



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

4.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?



5.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 6.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a? )b ? (a? )c ,求证: a ? d c b

? ? ? ?

?

?? ?

? ? ?

?

?

7.已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

?

(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

8.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

19.平面向量(4)
1.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0 ) D. a ? 2b ? 0 C. 2a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP ? ?cos? , sin ? ?, 1

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P P2 长度的最大值是( 1
A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 ) 3.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)



D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

4.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?



5.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________.

6.已知 a, b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

? ? ?

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角) ,方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量.

?

?

?

?

?

7.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

20.平面向量(5)
1.下列命题正确的是( A.单位向量都相等 ) )

? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 2.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(



3.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? C. D. 4 3 2 ? ? 4.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。
A. B. 5.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

? 6

?

?

? ?

? ?
?



6.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a? ? 5 ,则向量 b ? ______。 b 7.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为
0

?

? ?

?

?

?

?

? ?



8 . 平 面 向 量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 且x? x ? a ?( 2t ? ) b , y? ? k a? ,t b y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。 3

?

?

9.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ BC 的 与 夹角 ? 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

21.数列(1)
, 1.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21 34,55 中, x 等于(
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 ) )

2.等差数列 {an } , a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 an }前9 项的和 S9 等于( 中 { A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 ) 3.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 则 ?an ? 的前 4 项和为( , A. 81 C. 168 B. 120 D. 192

4.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?an ? 的公差为______________。 5.数列{ an }是等差数列, a4 ? 7 ,则 s7 ? _________ 6.成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数。

7. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0.3, a12 ? 3.1, 求 a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 的值。

8. 求和: (a ? 1) ? (a ? 2) ? ... ? (a ? n), (a ? 0)
2 n

22.数列(2)
1. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A. 1 B. ?1 C. ? 1 D. )

1 2

2.已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 , 那么 ? 13 A. 2

1 是此数列的第( )项 2 B. 4 C. 6 D. 8

3.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列 的前 8 项之和为( A. 513 B. 512 ) C. 510 D.

225 8

4.两个等差数列 ?an ? ? n ? ,b ,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5

5.在等比数列 ?an ? 中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________. 6.三个数成等差数列,其比为 3 : 4 : 5 ,如果最小数加上 1 ,则三数成等比数列,那么原三数为什 么?

7.求和: 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? nx
2

n ?1

8.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。

23.数列(3)
1.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10 )

2.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 B. ?1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
1 2



A. 1

C. 2

D.

3.若 lg 2, lg(2 x ? 1), lg(2 x ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A. 1 B. 0 或 32 C. 32 D. log2 5



4.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________。 5.数列 7,77,777,7777 ?的一个通项公式是______________________。 6.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,求 an

7.一个有穷等比数列的首项为 1 ,项数为偶数,如果其奇数项的和为 85 ,偶数项的和为 170 ,求 此数列的公比和项数。

8.在等比数列 ?a n ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 求 n 的范围。 ,

24.数列(4)
1.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 B. 99 C. 96

1 n ? n ?1

,则该数列的前(

)项之和等于 9 。

D. 97 )

2.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 )
n?2

3.在等比数列 ?an ? 中,若 a 2 ? 6 ,且 a5 ? 2a4 ? a3 ? 12 ? 0 则 an 为( A. 6 B. 6 ? (?1) n?2 C. 6 ? 2
n?2

D. 6 或 6 ? (?1) n?2 或 6 ? 2

4.等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m? n =_______。 5.已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________。
2 n 6.等比数列 ?an ? 前 n 项的和为 2 ? 1 ,则数列 an 前 n 项的和为______________。

? ?

7.设等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q

8.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,求 S15 ? S 22 ? S 31 的值。

25.数列(5)
2 1.已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m

等于( A. 38

) B. 20 C. 10 D. 9 )

2.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn
D.

A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4

3.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________。 4.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 5.三个不同的实数 a, b, c 成等差数列,且 a, c, b 成等比数列,则 a : b : c ? _________。 6 . 在 等 差 数 列

?an ?

中 , 公 差 d ?

1 , 前 100 项 的 和 S100 ? 45 , 则 2

a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________。
7.若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 S13 ? __________. 8. 一个等比数列各项均为正数, 且它的任何一项都等于它的后面两项的和, 则公比 q 为_________。

9、 {an } 是等差数列, bn } 是各项都为正数的等比数列, a1 ? b1 ? 1 , 3 ? b5 ? 21 , 5 ? b3 ? 13 设 且 { a a (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

26.不等式
1、设α ∈(0, A.(0,

? π π ) ∈[0, ] ,β ,那么 2α - 的范围是 2 2 3
B.(-

5π ) 6

π 5π , ) C.(0,π ) 6 6 a?b 、 2
ab 、

D.(-

π ,π ) 6

2、若 a、b 是正数,则

2ab 、 a?b

a2 ? b2 这四个数的大小顺序是2

________________________________________________
2 1 (a>2) ,q=2 ? a ? 4 a ? 2 ,则 a?2 A.p>q B.p<q C.p≥q D.p≤q 2 2 4、不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式 ax -bx+c>0 的解集为_______.

3、若 p=a+

1 2 x +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},则实数 m 的值为_______. 2 6、船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1 和在静水中的速度 v2 的大小关系为 ____________. 7、求实数 m 的范围,使 y=lg[mx2+2(m+1)x+9m+4]对任意 x∈R 恒有意义.
5、若关于 x 的不等式-

8、 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6 t,每吨面粉的价格为 1800 元,面粉的保管 等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 t 时,其价格可享受 9 折优惠(即 原价的 90%) ,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

27.简单的线性规划
1、点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是________________.

? x?0 ? 2、设 x、y 满足约束条件 ? x ? y ?2 x ? y ? 1 ?

则 z=3x+2y 的最大值是____________.

x-4y+3≤0, y 3x+5y-25≤0, 设 z= ,则 z 的最小值为_______,最大值为 3、变量 x、y 满足条件 x x≥1, _________. 4、 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 v n mile/h(4≤v≤20)从 A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去, 然后乘汽车以匀速 w km/h (30≤w≤100) B 港向距 300 km 的 C 市驶去.应该在同一天下午 自 4 至 9 点到达 C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h. (1)作图表示满足上述条件的 x、y 范围; (2)如果已知所需的经费 p=100+3×(5-x)+2×(8-y) (元) ,那么 v、w 分别是多少时 走得最经济?此时需花费多少元?

5、某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员. 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙型卡车每辆每 天可往返 8 次.甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元.问 每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低?

6、.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常 大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应 量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查, 得到关于这两种产品的有关数据如下表:
资 成 金 本 单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应量(百元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

28.空间几何体(1)
1.给出四个命题(1)各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; (2)各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; (3)有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; (4)长方体一定是正四棱柱。其中正确的有 个。 2.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 度。 3.一个圆柱的轴截面是正方形,其体积与一个球的体积之比为 3:2,则这个圆柱的侧面积与这个 球的表面积之比为 4.设地球半径为 R,若甲地位于北纬 45 度,东经 120 度,乙地位于南纬 75 度,东经 120 度,则 甲乙两地的球面距离为 5.在正三棱锥 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离 是 6.三棱锥 P-ABC 中,PA=a,AB=AC=2a, ? PAB= ? PAC= ? BAC=60 ? , 求三棱锥的体积。

7.一圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱 (1)求圆锥的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱侧面积最大,并求出最大值。

29.空间几何体(2)
1.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为 b,那么圆 柱被截后剩下部分的体积是 2.正三棱柱的底面边长为 a, 过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相平行的截面, 在这两个 截面间的斜三棱柱的侧面积为 3.正四棱台的斜高与上,下底面边长之比为 5:2:8,体积为 14,则棱台的高为 4.表面积为 S 的多面体的每个面都外切于半径为 R 的一个球,则这个多面体的体积为 5.长方体的表面积为 11,12 条棱的长度和为 24,则长方体的一条对角线长为 6.过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,求球面面积

7.四面体的一条棱长为 x, 其他各棱长为 1, 把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f ( x ) , 并求出 f ( x ) 的值域和单调增区间。

30.点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线 2.一条直线和一个平面平行,过此直线和这个平面平行的平面有 3.面 ? ? 面 ? =L,点 A ?? ,A ? ? ,则过点 A 可以作 个。 条直线与两个面都平行

4.若两平面平行,则平行于其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系是 5.若夹在两个平行平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是 6.空间四边形 ABCD 中,E,F 是 AB,AD 的中点,G,H 在 BC,DC 上,且 BG:GC=DH:HC=1:2 (1)求证:E,F,G,H 四点共面 (2)设 EG 与 HF 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线

7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,求异面直线 A1C1 与 B1M 所成角的余弦值

31.点、直线、平面之间的位置关系(2)
1.a,b 是异面直线,过 a 且与 b 平行的平面有 个。 2.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的长为 8,12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD,AC 的 截面四边形的周长为 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 是棱 A1B1,B1C1 的中点, 是棱 AD 上一点, P AP=

1 , 3

过 P,M,N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ= 4.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 L,则 L 与 A1C1 的位置关系是 5.若平行四边形的一组对边平行于一个平面,则另一组对边与这个平面的位置关系是 6.已知 A,B,C,D 四点不共面,M,N 是 ? ABD 和 ? CDB 的重心,求证:MN||面 ACD

7.面 ? ||面 ? ,P 是两面外的一点,直线 PAB,PCD 与面 ? , ? 相交于点 A,B 和 C,D (1)求证:AC||BD (2)若 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD 的长

32.点、直线、平面之间的位置关系(3)
1.空间四边形 ABCD,若 AB=AD,BC=CD,则 AC 与 BD 的位置关系是 2.在四棱锥的 5 个面中,两两互相垂直的平面最多有 对 3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个平面角的大小为 4.三棱锥 P-ABC 中,PA ? 面 ACB,? ACB=90 ? ,PA=AC=BC=1,则异面直线 PB 与 AC 所成的角 的正切值为 5.已知 Rt ? ABC 中, ? ACB=90 ? ,点 P 是面 ABC 外一点,若 PA=PC=PB,则点 P 在面 ABC 上 的射影位于 6.四面体 ABCD 中,AB ? CD,BC ? AD,求证:AC ? BD

7.四棱锥 V-ABCD 的底面为矩形,侧面 VAB ? 底面 ABCD,又 VB ? 面 VAD, 求证:面 VBC ? 面 VAC

33.直线与圆 (一)
1、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 450 ,1 B. 1350 , ?1 ) C. 90 ,不存在
0

D. 180 ,不存在 ) D. x ? 2 y ? 7 ? 0

0

2、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 )

3、已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 不通过( A.第四象限
2

B.第三象限
2

C.第二象限

D.第一象限 )

4、若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( A. m ? 0 B. m ? ?

3 2

C. m ? 1

D. m ? 1 , m ? ?

3 ,m ? 0 2

5、点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 6、若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 7、 求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线 方程。

8、过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 .

34.直线与圆 (二)
1、若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.

1 2



1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2 )

2、直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与 a, b,? 的值有关

3、两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为 4、已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 5、已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范 围是 6、函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值为



7、一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P(0,1) 点,求此直 线方程。

8、求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。

35.直线与圆 (三)
1、已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是
2 2 2、设集合 M ? ? x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R , N ? ?x, y ? x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集合

?

?

?

?

M ? N 中元素的个数为
3、直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x2 + y2 = 1 在第一象限内有两个不同的交点, 则 m 的取值范围是 4、如果直线经过两直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 3x ? y ? 2 ? 0 的交点,且与直线 y ? x 垂直,则原点 到直线 l 的距离是 5、直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点 6、直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 7、设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值。

8、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°, 求动点 P 的轨迹方程。

36.直线与圆 (四)
1、若 P(2,?1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( A、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0
2 2



B、 2 x ? y ? 3 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

2、已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3
2 2

B

k ? ?2
2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( 4
C
2

)

-2<k<3

D k>3 或 k<-2

3、圆 O:x +y =9 与圆 C:x +y -2x+8y-1=0 的位置关系是_ ____________ 4、已知圆 C: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1与圆 O: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1关于某直线对称,则直线的方程为 5、圆心为 C(1, 2)且与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是____________ 6、 若点( x,y)在直线3x ? 4 y ? 25 ? 0上移动,则x2 ? y 2的最小值为 7、求过点 P(1,6)与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 相切的直线方程。 。

8、已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 圆 C 的方程。

,求

37.直线与圆 (五)
1.圆: x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两点, 则 AB 的垂直平分线的方程是 2、对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的 位置关系是__ _______ . 。

3、动圆 x2 ? y 2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m 2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 4、实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则

y?2 的取值范围是 x ?1

5、已知两圆 x 2 ? y 2 ? 10x ? 10y ? 0, x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。

6、求以 A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

7、求过点 A ?1, 2 ? 和 B ?1,10? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

38.综合训练(一)
1.若集合 A={1,3,x},B={1, x },A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有( A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 2.集合 M={(x,y)| x>0,y>0},N={(x,y)| x+y>0,xy>0}则( ) A.M=N B.M N C.M N D.M ? N= ?
2



3.下列图象中不能表示函数的图象的是 ( )

A.

B.

C.
2

D. )

4.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( log 1 x )的定义域是( A. [ 1 ,1]
2

B. [4,16]

C.[ 1 , 1 ]
16 4

D.[2,4 ]

2 5.函数 f ( x) ? ( x ? 1 ) 0 ? | x ?1| 的定义域为( 2 x?2

) D. ( 1 , ??) 2

A. ( ?2, 1 ) 2

B.(-2,+∞)

C. ( ?2, 1 ) ? ( 1 , ?? ) 2 2

6.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f (?2), f (? ), f (?3) 的 大小关系是( )A. f (? ) > f (?3) > f (?2) C. f (? ) < f (?3) < f (?2) 7. a ? log0.7 0.8 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.1 ,那么(
0.9

B. f (? ) > f (?2) > f (?3) D. f (? ) < f (?2) < f (?3) ) D.c<a<b

A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<a<c

8.已知函数 f (n) ? ?n ? 3(n ? 10) ?

? f [ f (n ? 5)](n ? 10)

,其中 n ? N,则 f(8)=( )

A.6 B.7 C. 2 D.4 9.若函数 f(x)和 g(x)都为奇函数,函数 F(x)=af(x)+bg(x)+3 在(0,+∞)上有最大 值 10,则 F(x)在(-∞,0)上有( ) A.最小值 -10 B.最小值 -7 C.最小值 -4 D.最大值 -10
2 10.计算: (Ⅰ) lg 2)? lg5? 20 ?1 = ( lg

6 3 (Ⅱ)(3 2 ? 3) ? 2 2) ? ( ( 4

4

16 ? 1 4 0 )2 ? 2 ? 80.25 ? ? 2005) = ( 49

11.若函数 f ( x) ? log a ( 1 )(a ? 0且a ? 1 的定义域和值域都是[0,1],则 a= ) x ?1

2 ) ? x ? (x ? ?1 12.设函数 (x) ? x 2 ?〈x 2) ,若 f(x)=3,则 x= f ? ? ( 1〈 ?2(x ? 2) ? x
13.以下四个命题中,不正确的题号为 ①函数 f(x)= a (a>0 且 a≠1)与 g(x)=log ②函数 f(x)=x 与函数 g(x)=3
2

.

x

aa

x

(a>0 且 a≠1)定义域相同;

3

x

的值域相同;
x -1

③函数 f(x)=(x-1) 与 g(x)=2 在(0,+∞)上都是增函数; -1 -1 ④如果函数 f(x)有反函数 f (x) ,则 f(x+1)的反函数是 f (x+1). 14.y= f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, (x) ?4x 2 ? 8x ? 3 . f ? (Ⅰ)求 f(x)在 R 上的表达式; (Ⅱ)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明).

1? x , (x∈(- 1,1). 1? x (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性,并证明; (Ⅱ)判断 f(x)在(- 1,1)上的单调性,并证明.
15. 已知函数 (x) log 2 f ?

39.综合训练(二)
1.若等比数列 ?an ? 的前 3 项和 S3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ) )

2、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是(

A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0
? ? 3.在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? (



A. 3 ? 3

B. 2

C. 2

D. 3 ? 3

4 . 已 知 两 圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相 交 于 A, B 两 点 , 则 直 线 AB 的 方 程 是 .

5 、 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 S1 , 2S 2 , 3S3 成 等 差 数 列 , 则 ?an ? 的 公 比 为 . P 两条异面直线 l, m 外的任意一点,则( 6、若 ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面

? x ? y ≥ ?1 , ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( , ?3x ? y ? 3. ?
A.4 B.11 C.12 D.14 8、如图,正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 AB ,则异面直线 A B 1 1 1 与 AD1 所成角的余弦值为( A. )



D1

C1 B1
C
B

A1

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

D A

9、已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

10、已知实数列 ?an ? 是等比数列,其中 a7 ? 1 ,且 a4,a5 ? 1 , a6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,证明: Sn ? 128(n ? 1 2,?) . , 3,

2) 11、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 且斜率
为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请 说明理由.

??? ??? ? ?

??? ?

12 、 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , 侧 面 SBC ? 底 面 A B C D. 已 知

∠ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值.
S

C D A

B

40.综合训练(三)
6) 5) 1、已知向量 a ? (?5, , b ? (6, ,则 a 与 b (
A.垂直 B.不垂直也不平行 ) D.平行且反向 ) C.平行且同向

2、 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ?) 上为减函数, 且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, ( 则 ? A. f (6) ? f (7) 3、已知 sin ? ? cos ? ? B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 . 5 2 4 ? x 4、 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , ? R(其中 ? ? 0 ,? ? ) 的最小正周期是 ? , f 0 ? 且 ( ) 3 2
则( A. ? ? )



1 ? 1 ? ? ? ,? ? B. ? ? ,? ? C. ? ? 2,? ? D. ? ? 2,? ? 2 6 2 3 6 3
) C. 2b ? a ? ?b D. 2b ? a ? 2b

5、若非零向量 a, b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2a ? ?a ? b B. 2a ? 2a ? b

, 6、如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 120° AB ? 2,AC ? 1 , D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD ,
则 AD BC ? ·
2

???? ??? ?


2

7、函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos A. ? , ?

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

) D. ? ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

? ? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

? ? ?? ? 6 6?

8、下面给出的四个点中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 区域内的点是( )

? x ? y ? 1 ? 0, 2 ,且位于 ? 表示的平面 2 x ? y ?1 ? 0 ?

, A. (11)

, B. (?11)

, C. (?1 ? 1)

, D. (1 ? 1)

9、设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan

4 ? 的值. 5

10. 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 实数 a 的取值范围。

11 、 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , EA ? 平 面 ABC , DB ? 平 面 ABC , AC ? BC , 且 A C ? B C? B D 2 A EM 是 AB 的中点. ? , (I)求证: CM ? EM ; D E (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角.

E

H

A M B

C

12、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 PA? PB 的 PO PB 取值范围.

参考答案
【第 1 练】 1.D 2.C 3.D 4. ?? 11 ?6,?3,?2,0,1,4,9? , 8. (1) (??,3] 5. ??2,?2?? (2)254 个 6.a=0 或 a=1 (3)m>4

7.a=0 或 a=-1∕2 或 a=1∕3 【第 2 练】CDACD

2.按照对应法则 y ? 3x ? 1 , B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? 4, 7, a 4 , a 2 ? 3a

?

?

而 a ? N * , a4 ? 10 ,∴ a2 ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a4 ? 16, k ? 5 6.解:∵ f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?? ?x ?1 x ?1 1 ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2x 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ? 7.解:对称轴 x ?

a a ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, 2 2

则 f ( x)max ? f (0) ? ?4a ? a2 ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ; 当

a ? 1, 即 a ? 2 时, ?0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x)max ? f (1) ? ?4 ? a2 ? ?5 , 2
a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2

得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ?

则 f ( x) max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ?

a 2

5 5 5 ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 . 4 4 4

8.解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) , f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2

? x ?? 2 ? 0 ? 则 ?3 ? x ? 0 , 得 ?1 ? x ? 0 ? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
【第 3 练】1~4.DDBD 1. 对于 y ? 5. 2

ax ?1 a?x ?1 ax ?1 , f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ,为奇函数; a x ?1 a ?1 1 ? a x

2 2 x 对于 y ? lg(1 ? x ) ? lg(1 ? x ) ,显然为奇函数; y ? 显然也为奇函数; x x ?3 ?3 x

对于 y ? log a 3.

1? x 1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) ,为奇函数; , f (? x) ? log a 1? x 1? x 1? x
1 ? 1 1 ? 1 2

x ? x ?1 ? ( x 2 ? x 2 )2 ? 2 ? 3, x 2 ? x
? 3 2

? 5

x ?x

3 2

? ( x ? x )( x ? 1 ? x ?1 ) ? 2 5

1 2

?

1 2

4. 由 f (ln x) ? 3x ? 4 ? 3eln x ? 4 得 f ( x) ? 3e x ? 4 6. (1) (3? x )2 ? 6 ? 3? x ? 27 ? 0,(3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 , 得 x ? ?2
(2) ( ) ? ( ) ? 1, ( )
x x

2 3

4 9

2 3

2x

2 2 2 5 ?1 5 ?1 ? ( ) x ? 1 ? 0 由 ( ) x ? 0, 则( ) x ? , 得x ? log 2 3 3 3 2 2 3
1 2
x 2

7.解: y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? [( ) ] ? ( ) ? 1 ? [( ) ? ] ?
x x x x 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

3 , 4

1 1 ? ( )x ? 8 4 2 1 x 1 3 1 x 当 ( ) ? 时, ymin ? ;当 ( ) ? 8 时, ymax ? 57 2 2 4 2 3 ∴值域为 [ , 57] 4
而 x ?? ?3, 2? ,则 8.解:由已知得 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 7,
x x

即?

?4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 7 ?(2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0 ? ? , 得? x x x x ?4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?(2 ? 1)(2 ? 2) ? 0 ? ?
5. (1, ??)

x 即得 0 ? 2 ? 1 ,或 2 ? 2 ? 4
x

因此 x ? 0 ,或 1 ? x ? 2 。 【第 4 练】 1~4. DBBA

?0,1?

2.令 u ? 2 ? ax, a ? 0, ?0,1? 是的递减区间,∴ a ? 1 而 u ? 0 须 恒成立,∴ umin ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ; 5.(1) ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则 ?
2

?a ? 0 ,得 a ? 1 ?? ? 4 ? 4a ? 0

2 (2) ax ? 2 x ? 1 须取遍所有的正实数,当 a ? 0 时, 2 x ? 1 符合条件;

a?0 当 a ? 0 时,则 ? ,得 0 ? a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 ? ?? ? 4 ? 4a ? 0
6.解: f ( x) ? g ( x) ? 1 ? log x 3 ? 2 log x 2 ? 1 ? log x 当 1 ? log x

3 , 4

4 3 ? 0 ,即 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ,即 x ? 时, f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ,即 1 ? x ? 时, f ( x) ? g ( x) 。 3 4
7. (1) f ( x) ? x(

1 1 x 2x ? 1 x 2? x ? 1 x 2 x ? 1 ? )? ? x f ( ? x) ? ? ? ? x ? ? ? f ( x) ,为偶函数 2x ? 1 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2x ?1

8.解:由

2? x ≥0,∴1<x≤2,即 A=(1,2]. x ?1
2ax>0, 2ax<a+x. 由 a>0, 得 x>0, (2a-1)x<a.

由 lg(2ax)<lg(a+x), 得

1 a a 时,0<x< , ∴B=(0, ). 2 2a ? 1 2a ? 1 a 1 2 要使 A∩B=A,即 A ? B, ∴ >2, ∴ <a< . 2a ? 1 2 3 1 1 (2)当 2a-1<0,即 0<a< ,则 x>0,∴B=(0,+∞),此时显然 A∩B=A,∴0<a< . 2 2 1 (3)当 2a-1=0,即 a= 时,满足 A∩B=A. 2 2 综上可得 a 的取值范围是(0, ). 3
(1)当 2a-1>0,即 a> 【第 5 练】1~4 BB B B 5.1 和 2 6. ?

?m ? ?2 ?n ? 2

x?0

7. m ? ?1

【第 6 练】1~4 DDCD;5.2 12; 6. (1) P ? f ( x) ? ?

(0 ? x ? 100) ?60 ; ?60 ? 0.02( x ? 100) (100 ? x ? 500)

(2)利润 L ? ( P ? 40) x ? ?

?20x(0 ? x ? 100) ? x2 x?N , 22x ? (100 ? x ? 500) ? 50 ?

x ? 450 时, L ? 5850 元. 1 【第7练】1~6 BCCBCB;7. 8

4 3 5 4 8. 3 4 3 ? ? 0,sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 5 5 4

? ? 0,sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ?

3 5

9.如右图所示,角 ? 的集合为: {? | 2k? ?

?
6

? ? ? 2k? ?

?
4

, k ? Z}

?{? | 2k? ?

3? 7? ? ? ? 2k? ? , k ? Z} 4 6

【第8练】1~3 BAA 4.1 5.

?0,? ? ???4, ?? ?

6. ? sin ?

【第9练】1~3DCD;4.3, {x | x ? 6k ? 3, k ? Z } ; 5. ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z 4 4 ? ? 6. T ?

?

?

3 ?

2? 2? ? 2? ? ? 时, ymax ? 2 ;当 x ? ? 时, ymin ? ?2 ;奇函数 ,当 x ? 3 3 6 3 6

7.令 sin x ? cos x ? t,

? 2 ?t ? 2 且 t ?1 有

1 9 y ? t 2 ? t ? 2 ? (t ? ) 2 ? 2 4 9 ? y ? [? , 2 ] . 4
【第10练】1~3CBC 【第 11 练】 1.A 2.D 3.D 4. m 5.

? 3
3 3 4
4

6.原式= sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) ? sin( ? ? 3x) cos( ? ? 3x) = 2 ? 6 .
4

7. x ?

1 2 sin 50? ? (? 2 sin 50? ) 2 ? 4(sin 2 50? ? ) 2 ? sin(50? ? 45? ) , 2

? x1 ? sin95? ? cos5? ,

x2 ? sin5? ? cos85? ,

tan(? ? 2? ) ? tan75? ? 2 ? 3
【第 12 练】

1.B 2.C

3.A 4.

1 2

5.

3 7
3 2? ? ? ? ? ? . 4

6. tan ? ? 1 , 3

tan(2? ? ? ) ? 1,

7.由题设 B=60°,A+C=120°,设 ? ?
1 1 ? ? cos coC A s co? s co2?? s 3 4

A?C 知 A=60°+α , C=60°-α , 2
2 故 cos A ? C ? 2 . 2 2 2

? ?2 2 , 即 c o ? ? s

【第 13 练】 1.A 2.A 3.C 4. ?

3 4

5. ?

2

6.由已知 ? ? ? ? ? ? ? , 又 cos(? ? ? ) ? ? 1 故 sin(? ? ? ) ? 4 5 , 4 2 2 9 2 9

? 1 ??? ? ? 7 5 同理 cos( ? ? ) ? , 5 , 故 cos ? cos[( ? ) ? ( ? ? )] ? ? 2 3 2 2 2 27 ??? 239 故 cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 . ?1 ? ? 2 729
? 1 3 3 7. y ? ?2[sin( x ? ) ? ]2 ? , ? ymax ? , 6 2 2 2
【第 14 练】 1.B 2.C 3.D 4.

ymin ? ?

1 . 2

8 3 5. 2 13 3

6.解:在△ABC 中,∠BAD=150o-60o=90o,∴AD=2sin60o= 3 . A 在△ACD 中,AD2=( 3 )2+12-2× 3 × cos150o=7,∴AC= 7 . 1× B 1 3 ∴AB=2cos60o=1.S△ABC= × 3× 1× sin60o= . 3

2

D 1 C

2

4

7. 解: ∵ bcosB+ccosC=acosA,由正弦定理得:sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA, 即 sin2B+sin2C=2sinAcosA,∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA.∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA.而 sinA≠0,∴cos(B-C)=cosA,即 cos(B-C)+cos(B+C)=0, 【第 15 练】 1.B 2.B 3.B 4.

8 3 2 3 5. 3 3

6、解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? , 4
? AB 边最大,即 AB ? 17 .
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,

? ?

?? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.
sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 . 7、解:如图,过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D 由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中, AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中, CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴ AD-CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,?9 分∴BD ? ∴ 该军舰没有触礁的危险。

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0

3 5 ???? ??? ???? ??? ??? ???? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 6. DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ? b ? b ? a ? b 2 2 ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 ??? 1 ??? ? ? ???? 1 1 ? ? G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 7. (a ? 2b)? a ? 3b) ? a ? a? ? 6b ? ?72 ( b
【第 16 练】1-3 .DCC 4. (?3, ?2) 5. ( , ? )

4 5

?2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,

? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
8.设 A( x, y) ,

???? ??? ? AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? b ?AB 5 , 2 ? 得 A( 6 ? 3, A B ? ( ?4 , 2 ) A B ? ,0b c o s ? ??? ? , ) ? 10 AB
? ? ?? ? ? ?? CD 2 ? D ? A ? ? ??

【第 17 练】1-5. DCDDA 6. 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? C B C D ? ? A ? B? C ? B C D AC ?

65 7. 5
?

? ? a? b 13 ? a cos ? ? ? ? 65 b

8.设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a, c ?? cos ? b , c ?,

? ?

? ?

? 2 ? ?x ? ? ?x ? ?x ? 2 y ? 2x ? y ? 2 或? 得? 2 ,即 ? ? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2
2 2 2 2 ? c ?( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2

2 2 2 2

9.证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

? ? ???

? ?

??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2
??? 2 ??? 2 ? ? ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
【第 18 练】 1-3.D BD 4. 120
0

3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3 ? ? ?2 a ?b ? a 1 ? ? ? ?2 ? ? (a ? b ) a ? 0 , a ? ?a b? 0 , c o s ? ? ? ? ? ? ? ? ,或画图来做 ? ? a b a b 2

5. (2, ?1)

? 设c ? xa

?

?

? y ,则 ( x , 2x ? ? y ,y3? ) x? b ) ( 2 (

y2 x 2 y ? ) , ? 3

( 4 , 1)

x ? 2 y ? 4 , 2x ? 3y ? 1 x ? 2y ? ? 1 , ,
6.证明:? a? ? a? a? )b ? (a? )c ] ? (a? )(a? ) ? (a? )c ? d [( c b c b b a

? ?

?

?? ?

? ? ?

?? ? ?

? ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ? (a? )(a? ) ? (a? )(a? ) ? 0 c b c b

? ? ?a ? d
7. ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 8.(1)证明:?(a ? b )? a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 0 (

?

?

1 3

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )
? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

?

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?
【第 19 练】 1-3.CCD

?
2

4.

? ? ? ? ? 2a ? b ? (2cos ? ? 3, 2sin ? ? 1), 2a ? b ? 8 ? 8sin(? ? ) ? 16 ? 4 3
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? ( 1, 1)A C ?( 3 , 3?B A C , ? A) , ? 0? A,B A C
? ? ? ? ? ? ? ?

5.直角三角形

6.解: (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题

因为 a ? b ? a ? c , a ? (b ? c ) ? 0 ,仅得 a ? (b ? c )

? ?

? ? ? ? ?

?

? ?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角) ,方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量.这是一个假命题

?

?

?

?

?

?

?

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。

?

?

7.证明:设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ,则 x ?y ? ac ? bd , x ? 而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x?y ? x y ,得 ac ? bd ?

?

?

? ?

?

? a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a 2 ? b2 c 2 ? d 2

?(ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )
【第 20 练】 1-3 . CCC 4. (

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 2 2 2 2
2 2

设所求的向量为 ( x, y), 2 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 1, x ? y ? ?

2 2

5.

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
6. ( , ? ) 7.

4 5

23 8

? 3 4 3 2 2 设 b ? ( x, y ), 4 x ? 3 y ? 5, x ? y ? 1, x ? , y ? ? 5 5 5 ? ? ? ? ? ?2 ? ? b ( 3 ? 5 ? (ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a? ? 5b ? 0 a b )

3m ? ( 5 ? 3 ? 2 c o0s 6? ? 5 ?4 m 0 ,? m ) ? 0 8
8..解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

23

?

?

? ? ? ? 1 3 b ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta? ? k (t 2 ? 3)a? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

9. 解:? AB ? AC,? AB ? AC ? 0.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC) 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 1 ? ?a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ?a ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同时, BP ? CQ最大.其最大值为 . ) 0
【第 21 练】 1.C an ? an?1 ? an?2 2.B

a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

S9 ?
3.B

9 9 9 ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) ? ( 1 3? 9 ) 9 9 ? 2 2 2

a5 a2 3(1 ? 34 ) 3 ? 27 ? q , q ? 3, a1 ? ? 3, S4 ? ? 120 a2 q 1? 3
a5 ? a2 33 ? 9 ? ?d ?8 5?2 5?2
5. 49

4. 8

S7 ?

7 ( a1 ? a7) ? 7 a4 ? 4 9 2
2 2

6.解:设四数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,则 4a ? 26, a ? d ? 40

13 3 3 ,d ? 或? , 2 2 2 3 当 d ? 时,四数为 2,5,8,11 2 3 当 d ? ? 时,四数为 11,8,5, 2 2
即a ? 7. 解: a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 , a12 ? a5 ? 7d ? 2.8, d ? 0.4

a20 ? a12 ? 8d ? 3.1 ? 3.2 ? 6.3
∴ a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 ? 6.3? 5 ? 31.5

8. 解:原式= (a ? a2 ? ... ? an ) ? (1 ? 2 ? ... ? n)

? (a ? a 2 ? . .? a n ?) .

n( n ? 1 ) 2

? a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? 1 ? a ? 2 (a ? 1) ? ?? 2 ? n ? n (a ? 1) ?2 2 ?
【第 22 练】 1.C 2.B

x2 ? ( 2 ?1)( 2 ?1) ? 1, x ? ?1
x(3x ? 3) ? (2x ? 2)2 , x ? ?1或x ? ?4, 而x ? ?1 ? x ? ?4
q? 3x ? 3 3 1 3 ? , ?13 ? ?4 ? ( ) n ?1 , n ? 4 2x ? 2 2 2 2
3 2

3.C

1 ? q3 3 1 a1 (1 ? q ) ? 18, a1 (q ? q ) ? 12, ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2
2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? 1? 2

65 4. 12
5. ? 753 3

9 a5 2a5 a1 ? a9 2 (a1 ? a9 ) S9 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S "9 9?3 12 1 9 2

q6 ? 25, q ? ? 3 5, a10 ? a9 ? q ? ?75 3 5

2 6.解:设原三数为 3t , 4t ,5t ,(t ? 0) ,不妨设 t ? 0, 则 (3t ? 1)5t ? 16t , t ? 5

3t ? 1 5 , t4?

2 0t,? ∴原三数为 1 5 , 2 0 , 。5 5 25, 2
1 n(n ? 1) 2

7.解:记 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? ... ? nxn?1, 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 当 x ? 1 时, xSn ? x ? 2x ? 3x ? ... ? (n ?1) x
2 3 n?1

? nxn ,

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? ... ? xn?1 ? nxn , Sn ?

1 ? xn ? nx n 1? x

?1 ? x n ? nxn ( x ? 1) ? ? 1? x ∴原式= ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? 2 ?
8. 解: bn ? an ? ?

?11 ? 2n, n ? 5 n 2 ,当 n ? 5 时, S n ? (9 ? 11 ? 2n) ? 10n ? n 2 ?2n ? 11, n ? 6
n?5 (1 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10n ? 50 2

当 n ? 6 时, S n ? S5 ? S n ?5 ? 25 ? ∴ Sn ? ? 【第 23 练】 1.B

? 2 ?? n ? 10n, (n ? 5) ? 2 ?n ? 10n ? 50, (n ? 6)

a1a4 ? a32 ,(a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2)2 , 2a2 ? ?12, a2 ? ?6
S9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S5 5a3 5 9

2.A

3.D

lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1), 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2
x ( 2 2 ? 4 x2 ? 5 0x, 2 x 5 , ) ? ? ? ? 2

log 5

4. 38 5. a n ?

a3 ? a 5 ? a 2? a ? 38 6
7 (10 n ? 1) 9
1 9 , 9 9 , 9 9 9 , 9 9 9 9 . . . 120? 1 , 3 ? ? 10

7 14, ? 0 ?1 , 1 0 1 ? 9

1, 7

9

6. 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) 而 a1 ? S1 ? 5 ,∴ a n ? ?

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

7.解:设此数列的公比为 q, (q ? 1) ,项数为 2n , 则 S奇 ?

a (1 ? q 2n ) 1 ? (q 2 ) n ? 85, S偶 ? 2 ? 170, 1 ? q2 1 ? q2

S偶 S奇

?

a2 1 ? 22n ? q ? 2, ? 85, 22n ? 256, 2n ? 8, a1 1? 4

∴ q ? 2, 项数为 8

8.解: a1a3 ? a22 ? 36, a2 (1 ? q2 ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1 ? q2 ? 10, q ? ?3, 当 q ? 3 时, a1 ? 2, Sn ?

2(1 ? 3n ) ? 400,3n ? 401, n ? 6, n ? N ; 1? 3

当 q ? ?3 时, a1 ? ?2, Sn ? ∴ n ? 8, 且n为偶数 【第 24 练】 1.B

?2[1 ? (?3)n ] ? 400,(?3)n ? 801, n ? 8, n 为偶数; 1 ? (?3)

an ?

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n , Sn ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 1 ? n

Sn ? n ?1 ?1 ? 9, n ?1 ? 10, n ? 99
2.A

S4 ? 1, S8 ? S4 ? 3, 而 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 , S20 ? S16 , 成等差数列
即 1,3,5,7,9, a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? S20 ? S16 ? 9

3.D

a5 ? 2a4 ? a3 ? 2a2 ? 0, a5 ? a3 ? 2a4 ? 2a2 , a3 (q2 ?1) ? 2a2 (q2 ?1) a3 ? 2a2或q2 ?1 ? 0, q ? 2,1或 ?1 ,当 q ? 1 时, an ? 6 ;
当 q ? ?1 时, a1 ? ?6, an ? ?6 ? (?1)n?1 ? 6 ? (?1)n?2 ;

当 q ? 2 时, a1 ? 3, an ? 3 ? 2n?1 ? 6 ? 2n?2 4. 0 5. 18
2 ) Sn ? a n ? b该二次函数经过 (m ? n , 0 ,即 Sm?n ? 0 n

3a7 ? 1 7a 7 ? ,

17 ,a 1 1 9? 7 2 1 3? 7 k( ? 9 ) k ? ? ? , 3

2 a 7 , d ?7 , ak ? a, ? k ? 7 ? 9 9 3 18

d (

9)

6.

4n ? 1 3

Sn ? 2n ? 1, Sn ?1 ? 2n ?1 ? 1, an ? 2n ? 1, an 2? 4n ? , 1 1 ? 1, q ? 4, Sn ? a 2

1 ? 4n 1? 4

7. 解:显然 q ? 1 ,若 q ? 1 则 S3 ? S6 ? 9a1 , 而 2S9 ? 18a1 , 与 S 3 ? S 6 ? 2S 9 矛盾 由 S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q6 ) 2a1 (1 ? q9 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

1 2q 9 ? q 6 ? q 3 ? 0, 2(q 3 ) 2 ? q 3 ? 1 ? 0, 得q 3 ? ? , 或q 3 ? 1, 2
而 q ? 1 ,∴ q ? ?
3

4 2

?n ? 2 ? (?4), n为偶数 ??2n, n为偶数 ? Sn ? ? ,Sn ? ? , 8. 解: n ?1 2n ? 1, n为奇数 ? ? ? (?4) ? 4n ? 3, n为奇数 ? 2 ?

S1 5 ? 2 9 ,S 2 2? ? 4 4S , S15 ? S22 ? S31 ? ?76
【第 25 练】 1.C

31

? 6 1,

am ? am ? am2 ? 0, am (am ? 2) ? 0, am ? 2,
S2 m?1 ? 2m ? 1 (a1 ? a2 m?1 ) ? (2m ? 1)a2 m ? 38, 2m ? 1 ? 19 2 2n ? 1 (a1 ? a2 n ?1 ) S an 2an 2(2n ? 1) 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn 2n ? 1 (b ? b ) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 1 2 n ?1 2

2.B

3. ?

1 n

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ?1, ? ? ? 1 , ? ? , ? 是以 为首项,以 ?1 为 1 a1 an an?1 a? 1 an a ? ?n a n 1
公差的等差数列,

1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n, an ? ? an n

4. 100

a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? S12 ? S7 ? 122 ? 12 ? 1? (72 ? 7 ? 1) ? 100
a ? c ?2 b c? 2 b? a a b2 c?( 2 b2 )a2, a 5 a b4 , , ? ? ? ?2
a ? b a? 4 b c ?2 b , , ?

5. 4 : 1 : (?2)

b 0 ?

6. 10

S1 0 0?

100 (a ? a 1) 0? 45, a ? a ?10.9, a ? a 1? a 9 9a ? 1 0 1 00 2 50 50 S " ? (a1 ? a 9 9)? ? 0 . ? 1 0 4 2 2

? d ? 10.4, 1 00

7. 156 a3 ? a7 ? a10 ? a11 ? a4 ? 12, a3 ? a11 ? a10 ? a4 , a7 ? 12, S13 ?

13 (a1 ? a13 ) ? 13a7 2

8.

?1 ? 5 5 ?1 2 2 设 an ? an ?1 ? an ? 2 ? qan ? q an , q ? q ? 1 ? 0, q ? 0, q ? 2 2

9.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?

bn ? qn?1 ? 2n?1 .
(Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 Sn ? 1 ?

1 1 ? n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 1 1 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 ? 2 2 ? 2 2 1? 2
【第 26 练】 1、解析:由题设得 0<2α <π ,0≤ ∴-

?
3



π . 6

? ? π π ≤- ≤0.∴- <2α - <π . 6 3 6 3 答案:D 2、解析:可设 a=1,b=2,

1? 4 5 a2 ? b2 a?b 3 2ab 4 = , ab = 2 , = , = = = 2.5 . 2 2 2 2 2 a?b 3

答案:

a2 ? b2 2ab a?b ≤ ab ≤ ≤ 2 a?b 2

3、解析:p=a-2+

1 +2≥4,而-a2+4a-2=-(a-2)2+2<2,∴q<4.∴p>q. a?2

答案:A 4、解析:令 f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示,
y y f- ) =(x 3 - O 2 y fx = () 2 3 x

再画出 f(-x)的图象即可. 答案:{x|-3<x<-2} 5、解析:由题意,知 0、2 是方程- ∴-
2?m =0+2.∴m=1. 1 ? 2

1 2 x +(2-m)x=0 的两个根, 2

答案:1 6、解析:设甲地至乙地的距离为 s,船在静水中的速度为 v2,水流速度为 v(v2>v>0) ,则船在 流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t=
2v s s s + = 2 2 2 , v2 ? v v2 ? v v2 ? v
2 2 2s v 2 ? v = . v2 t

平均速度 v1=

∵v1-v2=

v2 2 ? v 2 v2 -v2=- <0, v2 v2

∴v1<v2. 答案:v1<v2 7、解:由题意知 mx2+2(m+1)x+9m+4>0 的解集为 R,则
?m ? 0, ? 2 4 ) ? ?Δ ? (m ? 1 ? 4m(9m ? 4) 0.

解得 m>

1 . 4

?a ? 0, 评述:二次不等式 ax2+bx+c>0 恒成立的条件: ? ?Δ ? 0.

若未说明是二次不等式还应讨论 a=0 的情况. 8、解: (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x t,由题意知,面粉的保管等其他费 用为 3[6x+6(x-1)+?+6×2+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元,则 y1=
900 900 ? 9 x +10809 +9x+10809≥2 x x

1 [9x(x+1)+900]+6×1800 x

=

=10989.

900 ,即 x=10 时取等号, x 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔 35 天,购买一次面粉,平均每天支付的总费用为
当且仅当 9x=

y2 元,则 y2= =

1 [9x(x+1)+900]+6×1800×0.90 x

900 +9x+9729(x≥35). x

100 (x≥35) , x x2>x1≥35,则 100 100 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ ) x1 x2
令 f(x)=x+
(x ? x1)(100 ? x1 x 2) = 2 x1 x 2

∵x2>x1≥35, ∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2) ,

100 ,当 x≥35 时为增函数. x ∴当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10989.∴该厂应该接受此优惠条件. 【第 27 练】
即 f(x)=x+ 1、解析: (-2,t)在 2x-3y+6=0 的上方,则 2×(-2)-3t+6<0,解得 t> 答案:t>

2 . 3

2 3
y y= 2 x - 1

2、解析:如图,当 x=y=1 时,zmax=5.
y= x

1 O 1 1 2 x

答案:5 3、 解析:作出可行域,如图.当把 z 看作常数时,它表示直线 y=zx 的斜率,因此,当直线 y=zx 过点 A 时,z 最大;当直线 y=zx 过点 B 时,z 最小.
y
3x y =0 +5 -25 5

A y B x-4 +3=0
9

-3 O 1 2 3 4 5 6 7 8

x



x=1, 3x+5y-25=0,得 A(1,

22 ). 5



x-4y+3=0, 得B (5, . 2) 3x+5y-25=0,

22 2 22 ∴zmax= 5 = ,zmin= . 1 5 5
答案:

2 5

22 5
50 300 ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100. y x


4、 剖析:由 p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围. 解: (1)依题意得 v=

∴3≤x≤10,

5 25 ≤y≤ . 2 2

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间,即 9≤x+y≤14.② 因此,满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
y 14 9 2.5 O 3 9 1014 x 2y+3x=38

(2)∵p=100+3· (5-x)+2· (8-y) , ∴3x+2y=131-p. 设 131-p=k,那么当 k 最大时,p 最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-

3 的 2

直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过点(10,4) ,即当 x=10,y=4 时,p 最小. 此时,v=12.5,w=30,p 的最小值为 93 元. 评述: 线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何 意义. 5、剖析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目 标函数,用图解法求其整数最优解. 解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆,车队所花成本费为 z 元,那么

x+y≤9, 10×6x+6×8x≥360, 0≤x≤4, 0≤y≤7. z=252x+160y, 其中 x、y∈N. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图.
y

O

l 0

l 1`

x x+y= 9 5x 4y 30 + =

作出直线 l0:252x+160y=0,把直线 l 向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在 y 轴 上的截距最小.观察图形,可见当直线 252x+160y=t 经过点(2,5)时,满足上述要求. 此时,z=252x+160y 取得最小值,即 x=2,y=5 时,zmin=252×2+160×5=1304. 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低. 评述:用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线 系 f(x,y)=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的 各整点. 6、解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有
y 15 10 M x

O

10

20

30x+20y≤300, 5x+10y≤110, x≥0, y≥0, x、y 均为整数. 由图知直线 y=-

3 1 x+ P 过 M(4,9)时,纵截距最大.这时 P 也取最大值 Pmax=6×4+8×9=96 4 8

(百元).故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元. 【第 28 练】 1.1 个 2.180 3.1:1 4.

2? R 3

5.

3 2 2 3 a 3

6.取 AB,AC 的中点 M,N,连接 PM, PN,得到正四面体 P-AMN,得到 V= 7. (1) 4 10? 故 S ? 2? ? 2 ? 【第 29 练】 1. ? r ( a ? b )
2

(2)设内接圆柱的底面半径为 r,则

6? x r ? 6 2

? ?

1 ? x ? x ,当 x=3 时,最大值为 6 ? 3 ?
1 SR 3

1 2

2.3ab

3.2

4.

5.5

6.设过 A,B,C 的截面中心为 O1,球心为 O,则 OO1 ? 面 ABC,设 AO=R,则 AO1=

4 64 3 2 3 ? R= ,则 R= ,S= 3 9 2 3

7.设四面体为 S-ABC,取 AS 中点 E,连 DE, f ( x) ?

x 3 ? x 2 (0 ? x ? 3) 12

值域为 ? 0, ? ,单调增区间为 ? 0, ? 2 ? ? 8? ? ? 【第 30 练】 1.平行或异面 2.一 3.一 4.平行或线在面内 5.平行或相交

? 1?

?

6?

6.(1)EF||GH 【第 31 练】

(2)P 为面 ABC 与面 ACD 的公共点

7.

10 10

1.一

2.20

3.

2 2 3

4.平行

5.平行或相交

6.延长 BM,BN 交 AD,CD 于 P,Q,连 PQ, 则 PQ||MN 【第 32 练】 1.垂直 2.5 3.相等或互补 4. 2

7.PD=

27 4

5.AB 的中点

6.作 AO ? 面 BCD 于 O,连 BO,交 CD 于 E,连 CO 交 BD 于 G,连 DO 交 BC 于 F,可以得证 7.VB ? VA,BC ? VA 可以得证 【第 33 练】 CACC 5、

3 2 ,6、 2 x ? y ? 5 ? 0 2

7、 2 x ? y ?

47 ? 0, 13

8、 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 【第 34 练】 A,B; 3、

7 3 10 ,4、 4 x ? 2 y ? 5 ,5、 k ? 2或k ? , 20 4

6、 10 ,

7、 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 ,8、 4 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? 1 【第 35 练】 1、 4 x ? 2 y ? 5 6、 4 5 2、2 7、1 3、1 < m < 2 4、 2 5、 (3,1)

8、 x2+y2=4 6、25;
2 2

【第 36 练】 2 2 AD 3、相交; 4、 y ? ? x ;5、(x-1) +(y-2) =25;
2 2

7、3x+4y-27=0;8、 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 【第 37 练】

1、 3x ? y ? 9 ? 0 ;2、相切或相交;3、 x ? 2 y ? 1 ? 0,( x ? 1) ;4、 ( , ??) ; 5、 2 x ? y ? 5 ? 0 , 2 30 ; 6、 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?17 ? 0 ; 7、 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 【第 38 练】 1~9. CADCC 10. 0;100

3 4

ACBC 11.1/2 12.

3

13. ②③④

14.解: (Ⅰ)设 x<0,则- x>0, f (? x) ? ?4(? x)2 ? 8(? x) ? 3 ? ?4 x2 ? 8x ? 3 ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x) ∴x<0 时, f ( x) ? ?4 x2 ? 8x ? 3

??4 x 2 ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) 2 ? 1( x ? 0) ? ? ?? 所以 f ( x) ? ? 2 2 ??4 x ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) ? 1( x ? 0) ? ?
(Ⅱ)y=f(x)开口向下,所以 y=f(x)有最大值 f(1)=f(-1)=1 函数 y=f(x)的单调递增区间是(-∞,-1

? 和[0,1]
?

单调递减区间是 [-1,0]和[1,+∞ 15.证明: (Ⅰ)

f (? x) ? log 2

1 ? ( ? x) 1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1 ? ( ? x) 1? x 1? x 1? x

又 x∈(-1,1) ,所以函数 f(x)是奇函数 (Ⅱ)设 -1<x<1,△x=x2- x1>0

? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log 2

1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? log 2 ? log 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

因为 1- x1>1- x2>0;1+x2>1+x1>0 所以

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?0 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
1? x 在(- 1,1)上是增函数 1? x

所以 ? y ? log 2

所以函数 f ( x) ? log 2 【第 39 练】

1. A 2、 D

3、A

4、 x ? 3 y ? 0 5、

1 3

6、B 7、B 8、D

9、解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? , sin 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理,得 cos C ? 2 AC ?BC ?
所以 C ? 60 .
?

( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ?BC 2

10、解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) , 由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1 a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , , 即q ?q
?3 ?1

? 2(q?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .
n ?1

1 ?1? 所以 q ? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 ? n?1 ? 64 ? ? q 2 ?2?



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a1 (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 (Ⅱ) Sn ? ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2
0) 2) 11、解: (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q(6, ,过 P(0, 且斜率为 k 的
2 2

直线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ?12x ? 32 ? 0 ,
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .
2 2



直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,

解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,? . 0 4 ? 4 ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①,

??? ??? ? ?

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 而 P(0 2) Q(6 0) PQ ? (6 ? 2) . ,, ,, ,

S

??? ?

所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

C A

O
B

3 . 4

D

由(Ⅰ)知 k ? ? ,? ,故没有符合题意的常数 k . 0

?3 ?4

? ?

S

C , 12、 (Ⅰ) S ⊥ 作O B 垂足为 O , 连结 AO , 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD , SO ⊥ 底面 ABCD . 得 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ,
又 ∠ABC ? 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,
?

C A

B

得 SA ⊥ BC . D (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得

SO ? 1 , SD ? 11 .

1 ?1 ? △SAB 的面积 S1 ? AB? SA2 ? ? AB ? ? 2 . 2 ?2 ?
连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2 ?

2

1 AB ?AD sin135? ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 , 3 3
解得 h ?

2.

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 . ? ? SD 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角正弦值为 【第 40 练】

22 . 11

7 8 4、D 5、C 6、 ? 7、A 8、C 25 3 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 9、解: (Ⅰ) f ( x) ? 6 2
1、 A 2、 D 3、 ?

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . ? 2 ? 2 6? ? ? ?
故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ;最小正周期 T ? (Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

2? ? ?. 2

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3
10. 解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]

上有解, a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a ≠ 0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=> f (?1) ? f (1) ? 0 或
?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? 或a?5 ? a ? 或 a≥1. ?? ? 4 ? 8a (3 ? a) ? 0 ?1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ?? 1 ? [?1.1] ? a ?

?3 ? 7 或 a≥1. 2 解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又

所以实数 a 的取值范围是 a ?

∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,? (2x2 ?1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? [-1,1]上有解, 问题转化为求函数 y ?

1 2 x2 ? 1 在 ? a 3 ? 2x

2 x2 ? 1 [-1,1]上的值域; t=3-2x,x∈[-1,1], 2x ? 3 ? t , 设 则 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 t∈[1,5], y ? ? ? (t ? ? 6) , 2 t 2 t 7 t2 ? 7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0, t t

此函数 g(t)单调递增,∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ,∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解

3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 2 a 11、 (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点,

?

所以 CM ? AB .又 EA ? 平面 ABC ,所以 CM ? EM . (II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连结 CH 交延长交 ED 于点 F ,连结 MF , MD . ∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. D E 因为 MH ? 平面 CDE , E 所以 MH ? ED , H 又因为 CM ? 平面 EDM , 所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . C A 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , M 在直角梯形 ABDE 中,

AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点,
所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ? 6a , 得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 ,
?

B

所以 MF ?

EM ?MD ? 2a . DE MF ? 1 ,所以∠FCM ? 45? , MC
?

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 . 12、解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2 . 得圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 1? 3
2

0) 0) (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 A(?2,,B(2, . 0) 0)
设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得 PO PB

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


??? ??? ? ? x2 ? y2 ? 2 . PA?PB ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ?1). ? (2 ?
? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

由于点 P 在圆 O 内,故 ?
2

0) 由此得 y ? 1 .所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, .

??? ??? ? ?