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2014年高考数学(理)一轮总复习:专题三 数列综合题的解答

时间:2013-11-12


专题三

数列综合题的解答

本节目录

专 题 探 究 突 破 热 点

知 能 演 练 轻 松 闯 关

专题探究突破热点
方法综述 数列问题是每年高考的必考内容, 涉及选择题、 填空题、 解答题等多种题型,分值在 17 至 20 分之间.小题多是 考查等差数列与

等比数列的概念、性质、通项公式及前 n 项和公式等基础知识,大题多是考查数列的定义、数 列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列 与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题.

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解答数列问题时,既要熟记有关公式,能够运用 基本方法解决问题,又要善于运用数列的性质进 行巧解.此外,还要善于运用数列中蕴含的一些

重要思想方法,例如:函数与方程思想、分类讨
论思想、数形结合思想等,这些都是近几年高考 经常考查的思想方法.

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专题探究
专题1 数列的基本运算

数列的基本运算是新课标考查中最常见的题型,主要考
查两种数列的求和公式及通项公式,试题难度较小.

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例1

(2012· 高考山东卷)已知等差数列{an}的前 5 项和

为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数 记为 bm,求数列{bm }的前 m 项和 Sm .
【解】 (1)设数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Tn.

?5a + 5×?5-1?d=105 ? 1 2 由 T5=105,a10=2a5,得? , ?a1+9d=2?a1+4d? ?
解得 a1=7,d=7.因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1) =7n(n∈N*).
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(2)对 m∈N*,若 an=7n≤72m ,则 n≤72m 1. 因此 bm=72m 1, 所以数列{bm }是首项为 7,公比为 49 的等比数列. b1?1-qm? 7×?1-49m? 故 Sm= = 1-q 1-49 7×?72m-1? 72m 1-7 = = . 48 48
+ -



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专题2 数列求和
数列求和是近几年高考中的热点,基本题型一般先进行 简单运算,再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分 项求和”等常用方法对数列求和.

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例2

(2012· 高考湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为

-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,

?3a1+3d=-3, ? a3=a1+2d,由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ? ?a1=2, ?a1=-4, ? ? 解得? 或? ?d=-3, ?d=3. ? ?

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所以由等差数列的通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5 或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不 成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比 数列,满足条件.
?-3n+7,n=1,2, ? 故|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3.

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记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;当 n≥3 时, Sn =S2 +|a3|+|a4|+?+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 +?+(3n-7)=5+ = n - n+10. 2 2 2 当 n=2 时,满足此式.

?4,n=1, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n>1. ?
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专题3

数列与函数、不等式等知识的综合

数列与函数、不等式、导数、向量、解析几何等相结合,
通过不同知识点的交汇进行命题,以考查能力为主,以数 列为背景的不等式证明问题成为近年来高考的热点,要掌 握常见的证明不等式的方法,以便更好的解决问题.

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例3 (2013· 江西调研)已知函数 f(x)=x2+x-1,α、β(α>β)
是方程 f(x)=0 的两个根,f′(x)是 f(x)的导数,设 a1=1, f?an? an+1=an- (n∈N*). f′?an? (1)求 α、β 的值; an-β (2)已知对任意的正整数 n,都有 an>α,记 bn=ln (n an-α ∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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【解】

(1)由方程 x2+x-1=0 解得方程的根为

-1± 5 x1,2= . 2 又∵α、β 是方程的两个实根,且 α>β, -1+ 5 -1- 5 ∴α= ,β= . 2 2

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(2)∵f′(x)=2x+1,
2 2 an+an-1 an+1 f?an? ∴an+ 1=an- =an- = . 2an+1 2an+1 f′?an?

∵an>α>β(n∈N*),且 a1=1, -1- 5 1- 1-β 2 ?3+ 5?2 ∴b1=ln =ln =ln 4 1-α -1+ 5 1- 2 3+ 5 5+1 =2ln =4ln . 2 2

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2 an+1-β an-2βan-β+1 ∴bn+ 1=ln =ln 2 an+1-α an-2αan-α+1

?an-β? 2-β2-β+1 ?an-β? 2 =ln =ln ?an-α? 2-α2-α+1 ?an-α? 2 an-β =2ln =2bn.所以{bn}是以 b1 为首项,2 为公比的 an-α b1?1-2n? 等比数列.故数列{bn}的前 n 项和 Sn= 1-2 5+1 5+1 n+ 2 =(2 -1)· 4ln =(2 -4)ln . 2 2
n

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知能演练轻松闯关

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