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浙江省温州中学2014届高三10月月考数学理试卷


温州中学 2013 学年第一学期高三月考(10 月) 数学试题(理科)
参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么 的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ?

P ? B ?

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱

棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的


k k Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? k ? n?k

, ? k ? 0,1, 2,

, n?

棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

球的表面积公式 S ? 4? R
4 V ? ? R3 3 球的体积公式

2

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面

积,
h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

1.已知集合 A. ?

A ? { y | y ? log 2 ? x 2 ? 1? , x ? R}
B. (??,0]

,则 C R A ? (



C. (??,0)

D. [0, ??)

1 1 ? 2. “ 2 ? 2 ”是“ a b ”的(
a b

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件 3.在等差数列 A.20

{an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为(
B.22 C.24 D.28

ln( x ? 1) ?
4.若方程 A.? 1 1

2 x 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上,则 k 的值为(
B. 1 C.? 1 或 2 D. ? 1 或



5.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积是( )

A.8

20 B. 3

17 C. 3

14 D. 3

uu u r uuu r D ABC AB ? AC 6.在 中,已知
A .1 B. 2

uu u r uur AB ?CB

1,则| AB |的值为(
D. 2 )



C. 3

7. 用 8 个数字 1,1, 2, 2,3,3, 4, 4 可以组成不同的四位数个数是( A.168 B. 180 C. 204 D. 456

?1,0? 对 8.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点
称. 若对任意的 x, y ? R ,不等式

f x2 ? 6x ? 21 ? f y 2 ? 8 y ? 0 恒成立,则当
) C.

?

? ?

?

2 2 x ? 3 时, x ? y 的取值范围是(

A.

? 3, 7 ?

B.

?9, 25?

?13,49?

D.

?9, 49?

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 9. 已知双曲线 a 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于
A , B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若 AF ? 4FB ,则该双曲线的离心率为(


A.

5 5

2 5 B. 5
f ( x) ? e x , g ( x) ? ln

C.

10 5

2 10 D. 5

10.已知函数 则 b ? a 的最小值为( )

x 1 ? 2 2 ,对任意 a ? R, 存在 b ? (0, ??) 使 f (a) ? g (b) ,

A. 2 e ?1

e2 ?
B.

1 2

C. 2 ? ln 2

D.

2 ? ln 2

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

1 ? 2i ? 1? i (a, b ? R, i 为虚数单位) 11.已知 a ? bi ,则 ab =
3 12. (1 ? x)(1 ? x ) 展开式中 x 项系数为



6

.

13.若框图(右图)所给的程序运行结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填入

第 13 题

的关于 k 的条件是___________. 14.有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红球和 5 个黄球,一次摸出 5 个, 若颜色相同则得 100 分,若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得 50 分, 其他情况不得分,小张摸一次得分的期望是__ _ _______分.

15.已知实数 a , b 满足: 16.正方体

?a ? b ? 1 ? 0 ? ? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ?



z ? ? a ? b ? 1?

2

,则 z 的取值范围是_



ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是正方形 ABCD 所

AD 在平面内的一个动点,且满足 PM ? 2 , P 到直线 1 1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是
__________. 17.已知函数 f ( x) ? 2 且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g ( x) 为奇函数, h( x) 为偶函数,若
x

不等式 2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

温州中学 2013 年第二次模拟测试 数学(理科)试题卷 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 D

5 C

6 B

7 C

8 C

9 D

10 D

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11.

3 4

12.

16

13.

k ?8

14.

75 7

15.

1 ?z?4 4

[?
16. 两个点 17.

17 ,?? ) 12

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x( m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间;

f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B 4 4 ( Ⅱ ) ?ABC 中 , , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是
a, b, c ,且 C ? 600 , c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.
2 2 (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m ? 2 ,所以 m ? 2=2 .

?

?

π f ( x) ? 2sin( x ? ) 4 . 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , π π 3π 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2 4 2 ?k ? Z? , π 5π 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ 4 4 ?k ? Z? . 即

?π ? ? 4 ,π ? 0,π ? ? f ( x ) ?. 所以 在 上的单调递减区间为 ?
c 3 2R ? ? =2 3 sin C sin 60 R (2)设△ABC 的外接圆半径为 ,由题意,得 . π π f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B 4 4 化简 ,得
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

由正弦定理,得

2 R ? a ? b ? ? 2 6ab

, a ? b ? 2ab .
2



2 2 a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 由余弦定理,得 a ? b ? ab ? 9 ,即 ? . ②

将①式代入②,得 解得 ab ? 3 ,或
S?ABC ?

2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0
2



ab ? ?

3 2 (舍去) .

3 3 1 ab sin C ? 4 . 2

19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 (Ⅰ)求数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 .

{an } 的通项公式;
{bn } 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

(Ⅱ)若数列 解: (I)设

?an ? 首项为 a1 ,公差为 d,

a1 ? d ? 17 ? ? ?a1 ? 19 ?10(2a1 ? 9d ) ? 100 ? ? d ? ?2 2 则? 解得 ?

? an ? 19 ? (n ?1) ? (?2) ? 21 ? 2n
(II)∵

bn ? an cos(n? ) ? 2n = (?1)n an ? 2n
Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 22 ) ? (?a3 ? 23 ) ? ... ? (an ? 2n )

当 n 为偶数时,

n 2(1 ? 2n ) (?2) ? ? ? 2n?1 ? n ? 2 2 1 ? 2 =
当 n 为奇数时,

Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 22 ) ? (?a3 ? 23 ) ? ... ? (?an ? 2n )

2(1 ? 2n ) ?a1 ? (a2 ? a3 ) ? ...(an ?1 ? an ) ? 1? 2 =
?19 ? 2 ?
=

n ? 1 n ?1 ?2 ?2 n ?1 2 = 2 ? n ? 22

? 2n ?1 ? n ? 2(当n为偶数) ?Tn ? ? n ?1 (当n为奇数) ?2 ? n ? 22
ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC ,

20. (本小题满分 14 分)如图,在斜三棱柱 侧棱

AA1 与底面 ABC 成 60 0 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为

1 BE ? BC1 BC G 点, E 是线段 1 上一点,且 3 .
(Ⅰ)求证: GE //侧面 (Ⅱ)求平面

AA1 B1 B ;

B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值.
第 20 题图

1 1 1 ?B1 EC1 解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F, ∽△FEB,BE= 2 EC1,∴BF= 2 B1C1= 2 BC,
从而点 F 为 BC 的中点.

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 FA FB 3 1 ∵G 为△ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线.且 ,

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC. 又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, AA1=2, ∴∠B1BH=60°, BH=1, B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角.

sin 30? ?
∴ AH=AB+BH=3 , ∠ HAT=30° , ∴ HT=AH

3 2 . 在 Rt △ B1HT 中 ,

tan ?B1TH ?

B1 H 2 3 ? HT 3 ,

2 3 从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 3 .

解法 2: (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底 面 ABC 成 60°的角,∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图,



A ? 0, ?1, 0 ?



B ? 0,1, 0 ? C

1

?

3, 0, 0

? , A ? 0, 0, 3 ? ,
1

B1 0, 2, 3

?

?,C ?

3,1, 3

?.

? 3 ? ? 3 uur uuu r 3? G? , 0, 0 ? E? ? ? Q BE ? 1 BC1 ? 3 ,1, 3 ? ? 3 ?. ?, 3 ∵G 为△ABC 的重心,∴ ? ,∴ ?

uur ? r 3 ? 1 uuu CE ? ? ? 0,1, 3 ? ? ? 3 AB1 ? ? ∴ .

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.
uuu r ? ?n ? B1 E ? 0, r ? uuu ? ?n ? GE ? 0.
? 3 2 3 a ?b? c ? 0, ? ? 3 3 ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 得?

(2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 可取
n?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为

m ? ? 0, 0,1?
cos ? ? m?n 21 ? | m |?| n | 7 .

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则

由于 ? 为锐角,所以

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

2 7 2 3 tan ? ? 7 ,进而 3 .

2 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 3 .

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆
2

C1 :

y2 x2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b 的短轴长为 4 , 离心率为 2 ,
y

其一个焦点在抛物线 C2 : x ? 2 py( p ? 0) 的准线上 , 过 C2 的焦点 F 的直线交 C2 于 A、B 两点, 分别过 A、B 作 C2 的 切线,两切线交于点 Q . (Ⅰ)求 C1 、 C2 的方程;
A C F

B D

? QCD 面积的取值范围. (Ⅱ) 当点 Q 在 C1 内部运动时, 求

O Q

x

? 2b ? 4 ? ?a ? 2 2 2 ?c ? ? ? a 2 ?b ? 2 ? 2 2 2 ?c ? 2 ?a ? b ? c ? 21.解: (Ⅰ) 由椭圆条件得∴ , 解得 ? ,
ks5u

y2 x2 ? ?1 4 ∴ C1 : 8 .

p ?2 p ? 4 ,∴ C2 : x 2 ? 8 y . ∵抛物线的焦点 F 与 C1 的一个焦点重合,∴ 2 ,解得
(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在且过点 F (0,2) ,设其方程为 y ? kx ? 2 ,

? y ? kx ? 2 ? 2 x ? 8 y 消去 y 得, x 2 ? 8kx ? 16 ? 0 由?


A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )

,则 x1 ? x2 ? 8k , x1 ? x2 ? ?16 ,

1 1 1 1 1 1 2 y ? x 2 y ? x AQ : y ? x1 x ? x12 BQ : y ? x2 x ? x2 x ? 8 y 4 , 8 , 4 8 , 4 8 由 得,
2

联立 AQ、BQ 的方程解得, ∴Q

x?

1 x ?x 1 2 1 x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?2 ? 4k y ? x2 ? 1 2 ? x2 4 2 8 8 2 , ,

(4k , ?2) ,∴点 Q 恒在直线 y ? ?2 上,此直线与 C1 交于 (? 2 ,2)、 ( 2 ,2) 两点,

∵ 点 Q 在 C1 内 部 , ∴ ? 2 ? 4k ? 2 , ∴

?

2 2 1 ?k? 0 ? k2 ? 4 4 ,∴ 8, (也可由

(?2) 2 (4k ) 2 ? ?1 8 4 求得)
? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 x +y ? 8 消去 y 得, (2 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 由?

4k 4 x3 ? x4 ? ? x3 ? x4 ? ? 2 C ( x , y ) 、 D ( x , y ) 3 3 4 4 ,则 2?k , 2? k2 , 令

| CD |?

(1 ? k 2 )[(?
d?

4k 16 4 2(k 2 ? 1) 2 ) ? ] ? 2 ? k2 2 ? k2 k2 ? 2 ,
k ?1
2

| 4k 2 ? 4 |

Q 点到直线 CD 的距离
∴ ?QCD 的面积

? k 2 ?1


S?QCD ?

1 4 2(k 2 ? 1) 8 2(k 2 ? 1) k 2 ? 1 2 ? ? 4 k ? 1 ? ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

k 2 ? 1 ? t (1 ? t ?


3 2 ) 4

f (t ) ?
, 考 察 函 数

8 2t 3 t2 ?1

1? t ?


3 2 4



f ?(t ) ?

8 2t 2 (t 2 ? 3) ?0 (t 2 ? 1) 2 ,
[1, 3 2 108 3 2 4 2 ? f (t ) ? ) f (1) ? f (t ) ? f ( ) 17 , 4 上单调递增,∴ 4 ,∴
108 17 .
f ( x) ? a ? ex ? a ?1 ? 2(a ? 1) (a ? 0) x .

∴ f (t ) 在



4 2 ? S ?QCD ?

22. (本小题满分 15 分)已知函数

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 22. (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? e x ?

2 ?4 x



f ' ( x) ? e x ?

2 ' x2 ∴ f (1) ? e ? 2

∵ f (1) ? e ? 2 ∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: (e ? 2) x ? y ? 0 .

(Ⅱ)∵

f ( x) ? a ? e x ?

ax2ex ? (a ? 1) a ?1 ? 2(a ? 1) f ' ( x) ? x x2 ∴

2 x ' x 令 g ( x) ? ax e ? (a ? 1) ,则 g ( x) ? ax(2 ? x)e ? 0

∴ g ( x) 在 (0, ??) 上 ∵ g (0) ? ?(a ? 1) ? 0 ,当 x ??? 时, g ( x) ? 0 ∴存在 x0 ? (0, ??) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 且 f ( x) 在 (0, x0 ) 上 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上
ae x0 ? a ?1 x0 2

∵ g ( x0 ) ? ax0 e ? (a ? 1) ? 0 ∴ ax0 e ? a ? 1 ,即
2 x0 2 x0

∵对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立
f ( x)min ? f ( x0 ) ? a ? e x0 ? a ?1 ? 2(a ? 1) ? 0 x0 a ?1 a ?1 ? ? 2(a ? 1) ? 0 x0 2 x0


1 1 ? ?2?0 2 x0 x0





1 ? ? x0 ? 1 2 2 x ? x ? 1 ? 0 0 ∴ 0 ∴ 2

2 x0 ∵ ax0 e ? a ? 1 ∴

x02ex0 ?

a ?1 ?1 a

2 x0 令 h( x0 ) ? x0 e ,而 h(0) ? 0 ,当 x0 ? ?? 时, h( x0 ) ? ?? ks5u

∴存在 m ? (0, ??) ,使 h(m) ? 1
2 x0 ∵ h( x0 ) ? x0 e 在 (0, ??) 上

,∴ x0 ? m

∴ m ? x0 ? 1
2 x0 ∵ h( x0 ) ? x0 e 在 (m,1] 上

∴ h(m) ? h( x0 ) ? h(1)



1?

a ?1 1 ?e a? a e ?1 . ∴


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