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湖北省黄冈中学2010届高考数学(理科)模拟预测卷(二)

时间:2015-08-12


黄冈中学 2010 届高考模拟预测试卷 数学(理科)(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第Ⅰ卷 50 分, 第Ⅱ卷 100 分, 卷面共计 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、下列不等式中,若

将“>”换成“≥”后不等式的解集不发生改变的是( )

A.

B.|x2-4x+4|>4

C.

D.

2、 已知不等式|x-m|<1 成立的一个充分不必要条件是 是( )

, 则实数 m 的取值范围

A.

B.

C.

D.

3、设复数 A.第一象限 C.第三象限

,(a,b∈R),那么点 P(a,b)在( ) B.第二象限 D.第四象限

4、设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知 则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形



5、已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+1)≤f(x)+1,f(x+ 5)≥f(x)+5,则 f(6)的值是( A.6 C.7 ) B.5 D.不能确定

6、已知 x,y 满足

且目标函数 z=2x+y 的最大值为 7,最小值为 1,则

=( A.-2 C.1



B.2 D.-1

7、定义:一个没有重复数字的 n 位正整数(n≥3,n∈N*),各数位上的数字从左到右依次 成等差数列,称这个数为期望数,则由 1,2,3,4,5,6,7 构成的三位数中期望数出 现的概率为( )

A.

B.

C.

D.

8、椭圆 ( )

上一点 P 到两焦点的距离之积为 m,当 m 取最大值时,P 点坐标为

A.(5,0),(-5,0)

B.

C. D.(0,-3),(0,3) 9、取棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,依次进 行下去,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多 面体,则此多面体:①有 12 个顶点;②有 24 条棱;③有 12 个面;④表面积为 3a2;⑤

体积为

.以上结论正确的是( )

A.①②⑤ C.②④⑤

B.①②③ D.②③④⑤

10、定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为 d-c,其中 d>c,已知实数 a>b,

则满足

的 x 构成的区间长度之和为( B.a-b D.2



A.1 C.a+b

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

11、已知 f(x)=|x+3|+|x-7|的最小值为 m,则 __________.

展开式中的常数项是

12、设 x,y,z 是正实数,满足 xy+z=(x+z)(y+z),则 xyz 的最大值是__________.

13、已知函数 f(x)是区间[-1,+∞)上的连续函数,当 x≠0 时, f(0)等于__________.

,则

14、已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是 曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围为__________. 15、如图所示,已知∠AOB=1rad,点 A1,A2,…在 OA 上,B1,B2,…在 OB 上,其中 的每一个实线段和虚线段均为 1 个单位,一个动点 M 从 O 点出发,沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速运动, 速度为 1 单位/秒, 则质点 M 到达 A10 点处所需要的时间为____ 秒.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=[2sin(x+

)+sinx]cosx-

sin2x.

(1)若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a(a>0)对称,求 a 的最小值;

(2)若存在 17、(本小题满分 12 分)

,使 mf(x0)-2=0 成立,求实数 m 的取值范围.

甲盒有标号分别为 1、2、3 的 3 个红球;乙盒有标号分别为 1,2,…,n(n≥2)的 n

个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球,抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为 (1)求 n 的值;



(2)现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球,抽得红球的得分为其标号数;抽得黑球, 若标号数为奇数,则得分为 1,若标号数为偶数,则得分为零,设被抽取的 2 个小球得 分之和为 ξ,求 ξ 的数学期望 Eξ. 18、(本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, ∠ABC=∠ADC=90° , ∠BAD =120° ,AD=AB=a,若 PA=λa(λ>0).

(1)求证:平面 PBD⊥平面 PAC;

(2)当

时,求点 A 到平面 PDC 的距离;

(3)当 λ 为何值时,点 A 在平面 PBD 的射影 G 恰好是△PBD 的重心? 19、(本小题满分 12 分) 若存在实常数 k 和 b,使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b, 则称直线 l: y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线”. 已知 h(x)=x2, (x)=2elnx(其中 e 为自然对数的底数).

(1)求 F(x)=h(x)-

(x)的极值;

(2)函数 h(x)和 请说明理由.

(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,

20、(本小题满分 13 分)

设椭圆方程为

(a>b>0), PQ 是过椭圆左焦点 F 且与 x 轴不垂直的弦, PQ

的中点 M 到左准线 l 的距离为 d.

(1)证明:

为定值;

(2)若

,b=1,在左准线上求点 R,使△PQR 为等边三角形.

21、(本小题满分 14 分) 已知数列{an}中的相邻两项 a2k 1,a2k 是关于 x 的方程 x2-(3k+2k)x+3k· 2k=0 的两个


根,且 a2k 1≤a2k(k=1,2,3,…).


(1)求 a1,a3,a5,a7; (2)求数列{an}的前 2n 项的和 S2n;

提示: 1、利用排除法,易知选 C.

2、由|x-m|<1,可得 m-1<x<m+1,所以





,经检验两端点处均符合要求,



.

3、 4、

,故

在第一象限.

设 D 为 BC 中点,故 形.

,即有 AD⊥BC,故 AB=AC,△ABC 为等腰三角

5、f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤…≤f(x)+5,又 f(x+5)≥f(x)+5, 故 f(x+5)=f(x)+5,则 f(6)=f(1)+5=6. 6、结合图像,最大值在 ax+by+c=0 与 x+y=4 的交点处取得,最小值在 ax+by

+c=0 与 x=1 的交点处取得, 联立方程组

, 解得



故直线 ax+by+c=0 过点(3,1) , (1,-1) ,所以

,可得





.

7、公差为 1 或-1 时,有 10 个;公差为 2 或-2 时,有 6 个;公差为 3 或-3 时,

有 2 个;则概率

.

8、设两焦点为 F1,F2,则 |PF1|=|PF2|时取等号,此时 P 为短轴端点.

,当且仅当

9、每条棱的中点都是一个顶点,共 12 个,①正确;一个顶点出发的截面有 3 条棱, 所以共有 8×3=24 条棱,②正确;一个顶点出发的截面为 1 个侧面,故共有 8 个,③错

误;表面积

,④错误;

体积

,⑤正确.故正确的命题是①②⑤.

10、不等式化简为



设 x1,x2 为方程 不等式的解为 ,故区间长度之和为

的两根,且 x1<x2,根据图像知 .

注:本题也可以利用特殊值法,这样更为简单. 答案:

11、210

12、

13、

14、a>0 或 a<-1

15、65 提示:

11、

,则 m=10,

故展开式通项 T7=210.

,令 r=6,可得常数项

12、由 xy+z=(x+z)(y+z),可得 xy+z=xy+z(x+y)+z2,化简得 x+y+z=1.



.

13、

14、



根据题意,有 a<-1.

,所以-1+2a>-1 或 1+2a<-1,解得 a>0 或

15、到达 A10 点时,所走的实线段共长 10 个单位,圆弧共长 1+2+3+…+

10=

个单位,故共需要(10+55)÷1=65 秒.

18、解法一:(1)设 AC,BD 交于 O,根据题意 AC⊥BD,而 PA⊥BD 为 BD 平面 PBD,因此,平面 PBD⊥平面 PAC.

BD⊥平面 PAC,因

(2)因为 DC⊥AD,PA⊥DC

DC⊥平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PCD.

过 A 向 PD 作垂线 AH,垂足为 H,则 AH⊥平面 PCD, ∴AH 就是点 A 到平面 PDC 的距离.

由 PD·AH=PA·AD



(3)连接 OP,重心 G 在 OP 上,且 PG=2GO,连接 AG,

由题意知,AG⊥平面 PBD,因此,PA2=PG·PO=

PO2.

. 解法二:设 AC,BD 交于点 O,以 O 为原点,以 CA 所在的直线为 x 轴,以 DB 所在 的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示.

(1)根据题意知 O(0,0,0),A(

,0,0),B(0,

,0),D(0,

,0),

P(

,0,λ a),C(

,0,0),平面 PAC 的法向量为

=(0,

,0),

设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z),

则 n·

=0,n·

=0,则 n=(-2λ ,0,1),

又 n·

=(-2λ ,0,1)·(0,

,0)=0,

所以 n⊥

,故平面 PBD⊥平面 PAC.

(2)设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z),则 m·

=0,m·

=0,

19、 (1)∵F(x)=h(x)-

(x)=x2-2elnx(x>0),



.

∵当 0<x<

时,F′(x)<0,此时函数 F(x)递减;

当 x>

时,F′(x)>0,此时函数 F(x)递增.

∴当 x=

时,F(x)取极小值,其极小值为 0.

(2)解法一: 由(1)可知函数 h(x)和 和

(x)的图像在 x=

处有公共点, 因此若存在 h(x)

(x)的隔离直线,则该直线过这个公共点.

设隔离直线的斜率为 k,则直线方程为 y-e=k(x-

),即 y=kx+e-



由 h(x)≥kx+e-

(x∈R),可得 x2-kx-e+

≥0 当 x∈R 时恒成立.

∵△=(k-

)2,∴由△≤0,得 k=



下面证明

在 x>0 时恒成立.

解法二:由(1)可知当 x>0 时,h(x)≥

(x)(当且仅当 x=

时取等号).

若存在 h(x)和

(x)的隔离直线,则存在实常数 k 和 b,使得 h(x)≥kx+b(x∈R)和

(x)≤kx+b(x>0)恒成立,

令 x=

,则 e≥

+b 且 e≤

+b,



+b=e,即 b=e-

.后面解题步骤同解法一.

21、 (1)方程 x2-(3k+2k)x+3k· 2k=0 的两个根为 x1=3k,x2=2k, 当 k=1 时,x1=3,x2=2,所以 a1=2;当 k=2 时,x1=6,x2=4,所以 a3=4; 当 k=3 时,x1=9,x2=8,所以 a5=8;当 k=4 时,x1=12,x2=16,所以 a7=12.


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