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3[1].1.1方程的根与函数的零点

时间:2015-02-02


问题探究
探究1:求下列一元二次方程的实数 根,画出相应二次函数的简图,并写 出函数图象与x轴交点的坐标。

(1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

y ? x ? 2x ? 3
2

(2) x ? 2 x ? 1 ? 0
2

y ? x ? 2x

? 1
2

(3) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

y ? x ? 2x ? 3
2



x ? 2x ? 3 ? 0 ? x1 ? ?1, x2 ? 3
2



x ? 2x ?1 ? 0 ? x1 ? x2 ? 1
2



x ? 2x ? 3 ? 0
2

无实数根

y

y

y

-1 O

3

x

1
O 1

2 x
O

1
2

x

y ? x ? 2x ? 3
2

y ? x ? 2x ? 1
2

y ? x ? 2x ? 3

思考:方程根与相应函数图象有什么联系?

探究归纳

规律:
二次方程如果有实数根,那么方程 的实数根就是相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标。

一、函数零点的定义:
对于函数 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0的实数 x
叫做函数 y ? f ( x)的零点.

零点指的是一个实数. 思考:零点是不是点? 函数y ? f ( x)的零点
?

方程f ( x) ? 0的实数根
?

函数y ? f ( x)图象与x轴交点的横坐标

探究2 如何求函数的零点? 例1:求下列函数的零点

(1) f ( x) ? x ? 3x ? 4
2

(2) f ( x) ? log 2 x

1 方程法 2 图象法

求下列函数的零点:

?1? f ( x ) ? x ? 1 ?3? f ( x ) ? 2
x

?2? f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ?4? f ( x ) ? log2 x ? 1
( 2) x ? 1,x ? 3

?4

答案: (1) x ? ?1

( 3) x ? 2

( 4) x ? 2

观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)=
f(-2) f(1)

5 ,f(1) = -4 <
0 (填“>”或“<”)-2

y
2 1 1 -1 -2 2 3 4

发现在区间(-2,1)上有零点 2. f(2)=

-1

-1 0 -3 -4

x

-3 ,f(4) = 5

< 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(2,4)上有零点 3
f(2) f(4)

思考:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与 函数零点是否存在某种关系? 观察函数f(x)的图像
y x

有 有/无)零点; 1. 在区间(a,b)上____( f(a)· f(b) ____ < 0(填<或>). 有 有/无)零点; 2 .在区间(b,c)上____( < 0(填<或>). f(b)·f(c)____

0

猜想: f(a)· f(b)< 0 若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立, 那么函数在区间(a,b)上有零点。

二、函数零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有

f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c) =0, 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。

定理理解:判断正误 错 (1) f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
(2) 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,则f(a)· f(b)<0。 错 错 (3) f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
y y
2

y

a
0

a
-5

0

0

b

x

a
-2

x1

b

x

0

b

x

函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。
-4

2 定理不可逆。

3 至少存在一个零点。 -6

函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 在下列哪个区间 上有零点( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析: f ?1? ? ?4
f ?3? ? ln 3 ? 0 ? f ?2? ? f ?3? ? 0 f ?2? ? ln 2 ? 2 ? 0 f ?4? ? ln 4 ? 2 ? 0

例1:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数?
例 1:求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. x f(x) 由 表 格 可 知 f(2)<0,f(3)>0 , 即 f(2) 〃f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3) 内有零点.由 于函数 f(x) 在定义域 (0,+∞ ) 内是增函 数,所以它仅有一个零点. 1 2 3 4 5 解:用计算器作出 x、f(x) 的对应值表.

例1:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.
解法2:

函数 y ? f ( x )的零点个数等于方程 y ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根个数
则ln x ? ?2 x ? 6
2

该方程的解个数等于函 y ? ln x与y ? ?2 x ? 6 的交点个数,如图



1
0

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

故函 数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6有一 个零点

解法二:

ln x ? ?2 x ? 6

y 2
1
0

g ? x ? ? ?2 x ? 6

f ? x ? ? ln x

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

三、求函数零点或零点个数的方法:
(1)定义法:解方程 f(x)=0, 得出函数的零点。

(2)图象法:画出y= f(x)的图象,其图象
与x轴交点的横坐标。 (3)定理法:函数零点存在性定理。

练习3:下列函数在区间(1,2)上有零

点的是( D ) (A) f(x)=3x2-4x+5
(C) f(x)=lnx-3x+6

(B) f(x)=x? -5x-5 (D) f(x)=ex+3x-6

练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有

零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

【总一总★成竹在胸】

?

一元二次方程的根及其相应

二次函数的图象与x轴交点的关系;

? 函数零点的概念; ? 函数零点与方程的根的关系. ?函数零点存在性定理

课后作业:

p92

2


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