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清北学堂2012年暑假物理竞赛模拟题


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清北学堂 2012 年暑假物理竞赛模拟试题一? 命题人:方小敏教授?
一、 在光滑水平面上静置一质量为 m 的箱子, 在箱内光滑的底面上质量也为 m 的滑块, 以初速 v0 开始运动,并与两壁反复碰撞,已知碰撞的恢复系数为 e =
4

1 ,试求: (1) 2

最多经过几次碰撞后,系统总能量

的损耗不大于 40% ?(2)从滑块开始运动到完成上 述碰撞过程中箱子的平均速度。?

? ? 二、 宇宙飞船沿椭圆轨道从地球飞往火星, 此轨道的近日点位于地球轨道上, 远日点在 火星轨道上,地球与火星绕日轨道可视为圆轨道,试求: (1)此时飞行的时间 t ; (2) 航天员在火星上至少要待多少时间才能沿原轨道返回地球?已知地球和火星的绕日周 期 T地 =365.25天 , T火 =687天 ? ?

? 三、 长度为 2L 的水平圆柱形容器被不导热的薄活塞分成体积相等的两部分,每部分都 盛有 n 摩尔,温度为 T 的单原子分子理想气体, 活塞两边有两根劲度系数为 k 的未形变 弹簧与两边器壁相连,整个容器除左边的底外,其余部分均绝热,而在底与一恒温器接 触,使左部分气体保持恒温,现将装在右部分的电热丝 p 通电加热,当加了热量 Q 后, 活塞向左移动了 ?

1 l 的距离,试求此过程中左部分气体向恒温器传递的热量 Q′ 。? 2

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? 四、 一位学生调好显微镜,发现当物品放在距物镜 u = 6.5mm 处时,他用眼可清楚地 看到物的像,已知物镜和目镜的焦距分别为 f1 = 6mm , f 2 = 26mm ,显微镜筒长

L = 100mm ,试问此学生平时戴什么眼镜??
? ? ? 五、 一平行板电容器两极板间距为 3d ,接到电动势为 E 的电源上,现将一导体板平行 地插入电容器中,使它到两极板的间距为 d 和 2d ,此导体板的面积与极板等大,且由 两块薄导体板前后紧贴构成,插入前此板带正电,电量与电容器极板上电量相等均为

Q ,插入后将其中一薄板(a) ,固定于此处,而将另一薄板(b)平移距离为 d ,使四
板两两相距为 d ,试问:将薄板(b)保持在此位置需施加多大的外力??

? ? 六、 在间距为 l 的水平平行导轨上,横放着两根与导轨垂直的平行导体棒,两棒的质量 均为 m ,电阻均为 R ,导轨无电阻,也无摩擦,空间存在一竖直向上的匀强磁场,磁 感应强度为 B ,开始左棒静止,而右棒以初速度 v0 开始向右运动,试求在以后运动中 (1)产生的最大焦耳热; (2)两棒间距的最大增量。? ?

? ? ? 七、 一运动粒子衰变成两个能量分别为 E1 和 E2 的 γ 光子,它们的夹角为 θ ,求此粒子 的静质量 m0 ?

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清北学堂 2012 年暑假物理竞赛模拟试题一参考答案?
一、 (1)设第 N 次碰后,两物速度为 v1 、 v2 ?

v1 ? v2 = e N v0 ? ? ? ? ? ? ? (1)? v1 + v2 = v0 ? ? 动量守恒? ? ? ? (2)?
1 1 1 mv12 + mv2 2 ≥ 0.6 × mv0 2 ? ? ? ? (3)? 2 2 2 由(1)(2)(3)式得 N ≤ 4.6 取 N = 4 次? 、 、
? (2)偶次碰后,质心系中箱子总位移为零,故平均速度等于质心速度 v = vC = 二、 (1)椭圆半长轴 a =

1 v0 ? 2

r火 +r地 2

2 2 T 2 T地 T火 ,由开普勒第三定律 3 = 3 = 3 ? a r地 r火

可得 t =

2 2 3 T 1 2 = (T地 3 +T火 3)=258.87天 ? 2 4 2

(2)在时间 t 内,地球超前火星的角位移 Δθ =

2π t ?π ? T地

∴Δt =

2π ? 2Δθ =454.28天 ? 2π 2π ? T地 T火

三、设右部气体温度升高了 ΔT ,由右、左部分气体状态方程以及活塞平衡可得:? ? ? ? ? (1)?

P左

l S = nRT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)? 2

(P右 ? P左)S=kl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)?
由(1)(2)(3)式解得? ? ΔT = 2T + 、 、 此过程气体对外做功 W = 2 ×

3kl 2 ? 2nR

1 l 2 1 2 k ( ) = kl ? 2 2 4 3 9 2 气体内能的增量? ΔU = nRΔT = 3nRT + kl ? 2 4

由热力学第一定律得? Q ? Q′ = ΔU + W ?

?

?

5 ∴ Q′ = Q ? ΔU ? W = Q ? 3nRT ? kl 2 ? 2
四、

1 1 1 uf1 + = ? ? ? ∴ v1 = = 78mm ? u v1 f1 u ? f1 1 1 1 u f + = ? ? ? ∴ v2 = 2 2 = ?143mm ? u2 v2 f 2 u2 ? f 2

u2 = L ? v1 = 22mm ? ? ? ? ∴

设明视距离 S0 = 25cm ,而此人眼的明视距离 S = 14.3cm ?



? S0 S 1 1 1 + = ?∴f = = ?33.4cm ? S0 ? S f S0 ? S

近视眼镜? ? 约 300 度? ? 五、设电容器极板面积为 S ,∴ Q = CE = 导体板插入后各面电荷面密度如图所示?

SE ? 4π k i3d

(?σ 1 + σ 2 )S = Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)? 4π kσ 1d + 4π kσ 2 2d = E ? ? ? ? ? (2)?

? 由(1)(2)式解得 σ 1 = 、

E E ? ? ? σ2 = ? 36π kd 9π kd ES ES 故薄板(a)(b)分别带电 qa = ? 、 ? ? qb = ? 36π kd 9π kd

?

薄板(b)移动后,各面的电荷面密度为 ±σ 1′ 、 ±σ 2′ 、 ±σ 3′ ?

q ?σ 1′ + σ 2′ = 1 ? ? ? ? (3)? S q2 ?σ 2′ + σ 3′ = ? ? ? ? ? (4)? S

4π k (σ 1′ + σ 2′ + σ 3′ )d = E ? ? ? ? (5)?
?

?

由(3)(4)(5)式解得? 、 、

σ 1′ =

Q 4Q 16Q ? ? ? ? ? ? σ 2′ = ? ? ? ? σ 3′ = ? S 9S 9S 40QE ? 81d

薄板 b 两侧所受电场力? F ′ = 2π kσ 3′σ 3′ S ? 2π kσ 2′σ 2′ S = 故所需外力 F = ? F ′ ? ? ? F 方向向左? ? 六、 ε = ε1 ? ε 2 = (v1 ? v2 ) Bl ? ????? I =

ε
2R

??????????

F = BIL = ∴a =

B 2l 2 (v1 ? v2 ) ? 2R

F ,取左棒为参照系(非惯性系) ,此系中右棒运动方程? m F B 2l 2 + a) = ? v′ ? (1)? m mR

? F ? ma = ma′ ? ? ? ? ? ∴ a′ = ?(
其中 v′ = v1 ? v2 ? (相对速度)?

由动量守恒? mv0 = 2mv ? ? ∴ v = 产生焦耳热? ? Q = ΔEk =

1 v0 ? 2

1 1 1 mv0 2 ? 2 × mv 2 = mv0 2 ? 2 2 4

由(1)式得

∑ Δv′ = ?

B 2l 2 ∑ Δx′ ? mR

B 2l 2 ∴ 0 ? v0 = ? Δx′ ? mR ∴Δx′ =
? 七、?

mv0 R ? B 2l 2

m0 v 1? v2 c2

=

E1 E cos θ1 + 2 cos θ 2 ? ? ? ? ? (1)? C C

E1 E sin θ1 = 2 sin θ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)? C C
m0C 2 v2 1? 2 c
?

= E1 + E2 ? ? ? ? ? ? ? (3)?

?

θ1 + θ 2 = θ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)?
由以上四式可解得, m0 =

1 2 E1 E2 (1 ? cos θ ) ? C2

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