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湖北省黄冈中学2010届高考数学(理科)模拟预测卷(一)


黄冈中学 2010 届高考模拟预测试卷 数学(理科)(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第Ⅰ卷 50 分, 第Ⅱ卷 100 分, 卷面共计 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、如果复数(2+a

i)i(i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a 的值为( ) A.-1 C.2 B.1 D.-2

2、函数

的反函数为 f(x),则 f(x)的一个单调增区间为( )

A.

B.

C.

D.

3、一个与球心距离为 1 的平面截球所得截面的面积为 π,则球的体积为( ) A.4π B.8π

C.

D.

4、已知集合 A={

∈N,且 n∈N},则集合 A 的真子集的个数为(



A.7 C.8

B.15 D.16

5、已知(1-2x)5 的展开式中的第二项小于第一项,但不小于第三项,则实数 x 的取值范 围是( )

A.

≤x<0

B.

<x≤0

C.

≤x≤0

D.

<x<0

6、若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)为增函数,那么

的图像是( )

7、在数列{an}中,a1=3,n≥2 时,点(an,an 1)在直线 x-y-6=0 上,Sn 为数列{an}的前 n


项和,则

=( )

A.3 C.1

B. D.0

8、若函数 f(x)=exsinx,则该函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角必为( ) A.零弧度角 C.钝角 B.直角 D.锐角

9、设 F 为椭圆

(a>b>0)的一个焦点,A、B、C 为该椭圆上三点,若 ( )

A.

B.

C.

D.

10、在一座水塔塔底的水平地面上的点 A 处测得塔顶的仰角为 θ,由此点向塔底沿直线 走 到达 B 处,再测得塔顶的仰角为 2θ,又向前走 17m 到达 C 处,又测得塔顶

的仰角为 4θ,则这一塔高是( ) A.10m C.20m B.15m D.与 θ 有关的值 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11、已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=__________.

12、已知

,则 sinβ=__________.

13、在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB=BC=a,BD⊥AC 于 D,以 BD 为棱折成直二面角 A-BD-C,P 是 AB 上的一点,若二面角 P-CD-B 为 60° ,则 AP=__________. 14、随机变量 ξ~N(μ,σ2),若 P(ξ<2)=a,且 P(ξ<10)=1-a,其中 a∈(0,1),则 μ 的值 为__________. 15、一个口袋中有 10 个互不相同的球,其中 4 个红球、6 个白球,若取一个红球记为 2 分,取一个白球记为 1 分,从中任取 5 个球,使得总分不少于 7 分的取法有__________ 种.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,且 (1)求角 A;



(2)若 m=(0,-1),n=(cosB, 17、(本小题满分 12 分)

),试求|m+n|的最小值.

如图所示,五面体 A-BCC1B1 中,AB1=4,底面△ABC 是正三角形,AB=2,四边 形 BCC1B1 是矩形,二面角 A-BC-C1 为直二面角.

(1)若点 D 在线段 AC 上运动,试确定 D 的位置使 AB1//平面 BDC1,并说明理由; (2)当 AB1//平面 BDC1 时,求二面角 C-BC1-D 的余弦值. 18、(本小题满分 12 分) 某中学号召学生在 2008 年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活 动”).该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.

(1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率; (3)从合唱团中任选两名学生,设 ξ 表示他们参加活动次数之差的绝对值,求随机变 量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 19、(本小题满分 13 分) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图所示.航天器运

行(按顺时针方向)的轨迹方程为

,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物

线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、M(0,

)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为

D(8,0).观测点 A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问: 当航天器在 x 轴上方时, 观测点 A、 B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令?

20、(本小题满分 13 分) 已知 a∈R,函数 f(x)=x2-2alnx. (1)当 a≤1 时,求 f(x)的单调区间和最值;

(2)若 a>0,试证明:“方程 f(x)=2ax 有唯一解”的充要条件是“ 21、(本小题满分 14 分)

”.

设函数 f(x)=3x2+1,g(x)=2x,现有数列{an}满足条件:对于任意自然数 n,an>0,

且 f(an+1) -f(an)=g(an 1+


), 又设数列{bn}满足条件:

(a>0 且 a≠1, n∈N*).

(1)求证:数列{an}为等比数列;

(2)设 k,l∈N*,

,k+l=M0,且 M0 是大于 3 的奇数.

①若 M0=5,试求数列{bn}的通项公式; ②判断从第几项起 an>1 恒成立,并证明你的判断.

提示: 1、(2+ai)i=2i-a,则有 2=-a,a=-2.

2、反函数与原函数有相同的单调性,又 符合要求.

,只有 D 答案

3、 截面圆的半径为 1, 则球半径

, 体积

.

4、n=1,2,3,6,则

,故集合 A 有 24-1=15 个真子集.

5、

.

6、 函数 g(x)定义域为 上单调递增,选 C.

, 排除 A, B, 又 a>1, 则

, 故 g(x)在

7、an-an-1=6,故 an=3+(n-1)×6=6n-3,

.



.

8、

,则切线斜率





,则 k<0,所以倾斜角为钝角.

9、因为 ,故

,故 F 为△ABC 的重心,不妨设 F 为右焦点,则有 ,则

10、设塔顶为 S,则有 SB=AB=

,SC=BC=17,设塔高为 h,

则有



所以 答案:

,故

.

11、-4

12、

13、 15、186 提示:

14、6

11、





.

12、

.

13、即∠PDB=60°,又∠PBD=45°,则∠BPD=75°,根据正弦定理,



,则

.

14、

.

15、可以是 4 红 1 白,3 红 2 白,2 红 3 白,共

种.

17、 (1)当 D 为 AC 的中点时,AB1//平面 BDC1,证明如下:

连接 B1C 交 BC1 于 O,连接 DO, ∵四边形 BCC1B1 是矩形,∴O 为 B1C 的中点, 又 D 为 AC 的中点,从而 DO//AB1,∵AB1 ∴AB1//平面 BDC1. (2)建立空间直角坐标系 Bxyz,如图所示, 平面 BDC1,DO 平面 BDC1,

则 B(0,0,0) ,A(

,1,0) ,C(0,2,0) ,D(

,0) ,C1(0,2,

) ,

18、由题图知,参加活动 1 次、2 次、3 次的学生数分别为 10、50、40.

(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为



(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率



(3)ξ 的取值为 0、1、2,且



∴随机变量ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2

由此求得数学期望



19、 (1)设曲线方程为

,由题意可知,0=a· 64+





∴曲线方程为



(2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知

得 4y2-7y-36=0,y=4 或

(不合题意,舍去),

∴y=4,得 x=6 或 x=-6(不合题意,舍去),

∴C 点的坐标为(6,4) ,|AC|=

,|BC|=4.

即当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为

、4 时,应向航天器发出变轨指令.

20、 (1) ∵f(x)在[1,+∞)上连续,

(x>1),若 a≤1,x>1,则 f′(x)>0,

∴f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数, ∴当 a≤1,x≥1 时,f(x)min=f(1)=1, ∴函数有最小值 1,无最大值. (2)记 g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,



①充分性:若

,则 g(x)=x2-lnx-x,

g′(x)=

(2x2-x-1)=

(2x+1)(x-1).

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是单调递减函数; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是单调递增函数. ∴当 x=1 时,g(x)min=g(1)=0,即 g(x)≥0,当且仅当 x=1 时取等号,

∴方程 f(x)=2ax 有唯一解. ②必要性:若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解. 令 g′(x)=0,得 x2-ax-a=0.

∵a>0,x>0,∴x1=

(舍去),x2=



当 x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上是单调递减函数; 当 x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数. ∴当 x=x2 时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2). ∵g(x)=0 有唯一解,∴g(x2)=0,

∴2alnx2+ax2-a=0,∵a>0,∴2lnx2+x2-1=0, (*) 设函数 h(x)=2lnx+x-1,∵在 x>0 时 h(x)是增函数, ∴h(x)=0 至多有一解.

∵h(1)=0,∴方程(*)的解为 x2=1,即

,解得



由①、②知,“方程 f(x)=2ax 有唯一解”的充要条件是“

”.


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