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数列 通项公式 的十种求法


一、公式法 例1 已知数列{an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项

公式, 得 n ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , n 1 2 2 2 2 2 3 1 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2n 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3 ? 2n 两边除以 2n ?1 , 得 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例2 已知数列{an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1

? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 例3

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
n

,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 已知数列{an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1
: 由



an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ?2 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ? 1.

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3

? 32 ? 31 ) ? ( n ? 1) ? 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 即得数列 {an } 的通 ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3n ?1 ,得 则

an ?1 an 2 1 , ? ? ? 3n ?1 3n 3 3n ?1

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 an ?3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? )? n ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? )? 32 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n ?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 ? ?1 ? ? ? 因此 n ? , 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 转化为 进而求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n?1 , n ?1 3 3 3 3

an an?1 an?1 an?2 an?2 an?3 ? n?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? )? n ?1 3 3 3 3 3 ?2 3n?3

?(

a2 a1 a1 ? an ? ? 1 ) ? ,即得数列 ? n ? 2 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例5 已知数列{an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ?2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!
n ?1

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n !.
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,进而求 an

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为



an an ?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 a2 ? ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

例6

(2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列{an } 满足

a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2)
② ①

? (n ? 1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2

? 4 ? 3]a2 ?

n! a2 . 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知
?n ? n! 。 2

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an ?1 ? ? an ?1 an ?2

?

a3 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 ? a2 , a2

通项公式。 四、待定系数法 例7 已知数列{an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n ?1

解:设 an?1 ? x ? 5

? 2(an ? x ? 5n )


n?1 n ,等式两边消去 ? 2 an ? 2 x? 5

将 an?1 ? 2an ? 3 ? 5 代入④式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5
n n

n n 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 x? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入④式得 , x ? ? 1,

n an?1 ? 5n?1 ? 2 ( an ? 5 )



由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则
1 n

an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n }是以 an ? 5n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3 ? 5 转化为 an?1 ? 5
n n n n ?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例8 已知数列{an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得



3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
1

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n

因此 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 13 ? 3
n

n ?1

,则 an ? 13 ? 3

n ?1

? 5 ? 2n ? 2 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例9

已知数列{an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2 2 2

解:设 an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z ) 将 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式,得
2



2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z ) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn2 ? 2 yn ? 2 z

等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn2 ? 2 yn ? 2 z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18)


由 a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 为以 an ? 3n2 ? 10n ? 18

a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18) ,从而可知数列

{an ? 3n2 ? 10n ? 18} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再
求出数列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法 例 10
n 5 已知数列{an } 满足 an?1 ? 2 ? 3 ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

n 5 n 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3 ? an 式两边取

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)



11 ○

3 将 ⑩ 式 代入 ○ 11 式 , 得 5 lgan ? n lg ?

lg? 2x n ? ( ? 1) y?

5( anlg ? xn ? y , 两 ) 边消去

5 l gan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5 x ? 4 ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式,得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 式, ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 比数列,则 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 6 1 4 n ?1 n 4

? (lg 7 ? lg 3 ? lg 3 ? lg 2 )5 ? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5
1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1

? lg 3 ? lg 3 ? lg 2
1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 1 1

? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4


n 5

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3 ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

六、迭代法 例 11
3( n ?1)2 已知数列{an } 满足 an?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an ?1 ? an ,所以 an ? an ?1

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n?2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2 )?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ?3
3

n?3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n?3)?( n?2 )?( n?1)

3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3

? ? a13 ? a13
n?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21? 2?
n ( n?1) 2

?( n?3)?( n? 2 )?( n?1)

n?1

?n!?2

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


3( n ?1)2n

评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an ?1 ? an 两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an , 即

lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an lg an ?1 lg an ? ? ? lg an ?1 lg an ?2
七、数学归纳法

n?1 lg a3 lg a2 ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



例 12 已知数列{an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列{an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? ? ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例 13 已知数列{an } 满足 an ?1 ? 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

列,因此 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( )n ?2 ? 3 ,得

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( )n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, bn ?1 ? bn ? 形式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 已知数列{an } 满足 an ?1 ?

例 14

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n ?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

则 an ?

1 ? 3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9
21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

?a ? 2? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 a ? 3 ? n ?
7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

例 15

已知数列{an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2 x2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( )n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, bn ?1 ? bn ? 形式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 已知数列{an } 满足 an ?1 ?

例 14

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n ?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( ) n ?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 a ? 3 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? n ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?
7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

例 15

已知数列{an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2 x2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3


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