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高中数学(理科)知识点总结


高中数学基础知识 -----献给高 2009 级 1 班同学们
第一章 集合及简易逻辑 1、集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2.用描述法表示集合时,注意区分集合中的元素.如: {x | y = lg x} —函数的定义域; { y | y = lg x} —函数的值域; {( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集. 3、集合的性质: ①任何一

个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子 集,记为 ? ? A .③空集是任何非空集合的真子集;注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要 遗忘了 A = ? 的情况 4、集合的运算:交、并、补 n n n 5、 (1)含 n 个元素的集合的子集数为 2 ,真子集数为 2 -1;非空真子集的数为 2 -2; 讨论的时候不要遗忘了 A = φ 的情况。 (2)A ? B ? A I B = A ? A U B = B; 注意: 6、原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ; 原命题与逆否命题真假性相同如: sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的 “ 条件.(可以转化 为它的逆否命题来判断) 7、四种条件:充分而不必要条件;必要而不充分条件;充要条件,既不充分也不必要条件 8、小范围推出大范围;大范围推不出小范围.例:若 x f 5,? x f 5或x p 2 第二章 函数 1、集合 A 到集合 B 的映射满足: (1)集合 A 中的每个元素在集合 B 必须有唯一的象; (2) 集合 A 中多个元素在集合 B 可以对应同一个象(3)集合 B 的元素可以没有原象。 2、构成函数的三大要素:定义域,值域,对应法则(解析式) ,其中定义域指自变量的取 值范围,值域指值函数的取值范围,对应法则是联系定义域与值域的纽带。 3、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 > 0 ,底 数 > 0 且 ≠ 1 ;零指数幂的底数 ≠ 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合函数 f [ g ( x)] 定义, 域由 a ≤ g ( x) ≤ b 解出;若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ∈ [a, b] 时 g ( x) 的值域. 4、.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②观察法(简单函数);③换元法(特别注意 新元的范围).④判别式法; ⑤不等式法(均值不等式)⑥单调性法;⑦ 导数法(一般适用 于高次多项式函数). 5、三类重要函数:分段函数(常考察分类讨论) ,复合函数,抽象函数(常与函数的性质考 察) 6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵方程的思想----对 已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。 7、函数的性质 (1) 、单调性:证明用比较法;求单调区间用导数法(注意和定义域找交集) ;增函数的反 函数是增函数;复合函数的单调性法则:同则增,异则减。 (2)奇函数: f (? x) = ? f ( x) 偶函数: f (? x) = f ( x) 证明用代入法,计算 f (? x) 。奇函数的 图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 ( 3 ) 周 期 性 : f ( x + T ) = f ( x) ( x ∈ R) , 常 数 T 叫 周 期 。 y = f ( x) 对 x ∈ R 、 时, f ( x + a ) = ? f ( x) 或 f ( x + a ) = ?
1 f ( x)
1

,则 y = f ( x) 的周期 T= 2 | a | ;

8、反函数 (1) 、求反函数的方法:先解方程求出 x,然后 x 与 y 交换位置,最后确定定义域(看原函 数的值域) ( 2 ) 反 函 数 的 性 质 : y = f ( x) 与 函 数 y = f ?1 ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y = x 对 称 , 且 、

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a
9. 指数函数: y = a ( a > 0且a ≠ 1) 的图象和性质
x
王新敞
奎屯 新疆

a>1
6

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 10、对数函数: (1) a = N ? log a N = b( a > 0, a ≠ 1, N > 0) 、
b

(4)在 R 上是减函数

(2)对数的性质: log a 1 = 0 , log a a = 1 (3) 对数的运算性质: a ( M ? N ) = log a M + log a N (1) log a M = log a M ? log a N log a M n = n log a (M )12) log
N

(4)对数函数: y = log a x ,它与 y = a x ( a f 0, a ≠ 1 )互为反函数。 (5)对数函数图象的性质: a>1
3 3 2.5 2.5

0<a<1

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0
-0.5 -1 -1.5

1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

性 质

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x = 1 时, y = 0

2

x ∈ (0,1) 时 y < 0

王新敞
奎屯

新疆

x ∈ (0,1) 时
王新敞
奎屯 新疆

y>0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ∈ (1,+∞) 时 y > 0

x ∈ (1,+∞) 时 y < 0
王新敞
奎屯 新疆

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

11、函数图象的几种常见变换 ⑴平移变换:左右平移---------“左加右减” (注意是针对 x 而言) ;上下平移----“上加 下减”(注意是针对 f ( x) 而言). ⑵翻折变换: f ( x) →| f ( x) | ; (下翻上) f ( x) → f (| x |) .(左向右看齐) (3)对称变换:函数 y = f ( x) 与 y = f (? x) 的图像关于直线 x = 0 ( y 轴)对称;函数

y = f ( x) 与函数; y = f (? x) 的图像关于直线 y = 0 ( x 轴)对称。
第三章 数列

? S1 (n = 1) ? 1.由 S n 求 an , an = ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不 * ? S n ? Sn ?1 (n ≥ 2, n ∈ N ) ? 符合要 单独列出.
2.等差数列 {a n } 的通项公式 an = a1 + ( n ? 1) d = dn + a1 ? d ( n ∈ N )
*

其前 n 项和公式 sn =

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2

3.等差数列{an}中,如果 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,特殊地,2m=p+q 时,则 2am= ap+aq,am 是 ap、aq 的等差中项。 n-1 4.等比数列的通项公式:an= a1q (q≠0)

? a1 (1 ? q n ) ,q ≠1 ? 其前 n 项的和公式 sn = ? 1 ? q ?na , q = 1 ? 1
5.等比数列{an}中,如果 m+n=p+q,则 aman=apaq,特殊地,2m=p+q 时,则 am = apaq,am 是 ap、 aq 的等比中项。 6.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列、等比数列求和公式
2

1 + 2 + 3 + L + n = 1 n(n + 1) , 1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1) = n 2 , 2
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在 一起,再运用公式法求和. (3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通 项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差 数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法,将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意: 一般错位相减后,其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”) !(这也是等比 数列前 n 和公式的推导方法之一). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 1 =1? 1 , ② = 1 (1 ? 1 ) n(n + 1) n n + 1 n( n + k ) k n n + k
第四章 三角函数
3

1. α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) ? 第一象限的角:2k π < α <2k π + x 轴上的角: α = k π

α = θ + 2 kπ ( k ∈ Z )

π
2

其中 k ∈ z 其他象限依此类推。

y 轴上的角: α = k π +

π
2
2

其中 k ∈ z

2 o 2.弧长公式: l =| α | R ,扇形面积公式: S = 1 lR = 1 | α | R ,1 弧度(1rad) ≈ 57.3

2

3.三角函数符号特征是:一全正、二正弦、三两切、四余弦. 4、同角三角函数的基本关系式 sin
2

θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =

5、三角函数诱导公式的本质是:奇变偶不变,符号看象限.(角 α 视为锐角) 6、和角与差角公式 : (注意逆用) sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ;

sin θ ,tan α ?cot α =1 cosθ

cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 m tan α tan β 变用:tan α ±tan β =tan( α ± β )(1 m tan α tan β )
7、二倍角公式: (注意逆用) sin2α=2sinαcosα.

cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 2 tan α tan 2α = 1 ? tan 2 α
8、三角函数变换主要是:角、函数名、次数,其核心是“角的变换”! 角的变换主要有: 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角 的变换.如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , 2α = (α + β ) + (α ? β ) , 9.重要结论:a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) 其中 tan ? =
b a

) 重要公式:sin2 α = 1 ? cos2α ; ;
2

cos 2 α =

1 + cos 2α 2

(降次公式)---------用于求最值中的变形

10.三角函数性质、图像及其变换: (1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 函数 y = A sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = A cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠ 0,ω>0)的周期 T =



ω

;若ω未说明大于 0,则 T =

2π |ω |

注意:正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影响:一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶 函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变; 其他不定. 如 y = sin 2 x, y = sin x 的周期都是 π , 但 y = sin x + cos x y = sin x + cos x 的周期为 π , y=|tanx|的周期不变, 2 (2)三角函数图像及其几何性质:

y = A sin(ω x + y=Asin(ωx+φ)? ) y
O x

x3

x4
邻中心轴相距

注意: y = A cos(ω x + ? ) 完全相同

x=x1 T
4

x=x2
4

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定

(3)三角函数图像的变换:两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换. 注意:先伸缩后平移,一定要提系数。 (4) y = sin x 的单调递增区间为 ? 2kπ ?

? ?

π
2

, 2 kπ +

π?
2? ?

k ∈ Z 单调递减区间为

π 3π ? π ? ? 2kπ + 2 , 2kπ + 2 ? k ∈ Z ,对称轴为 x = kπ + 2 (k ∈ Z ) ,对称中心为 ( kπ , 0 ) (k ∈ Z ) ; ? ?
y = cos x 的单调递增区间为 [ 2kπ ? π , 2kπ ] k ∈ Z 单调递减区间为 [ 2kπ , 2kπ + π ] k ∈ Z ,
对称轴为 x = kπ (k ∈ Z ) ,对称中心为 ? kπ +

? ?

π

? , 0 ? (k ∈ Z ) ; y = tan x 的单调递增区间为 2 ?

π π? k ? ? kπ ? , kπ + ? k ∈ Z ,对称中心为 ( π , 0)(k ∈ Z ) (结合图象理解记忆) 2 2? 2 ?
11、三角函数的值域最值的求法: ① 对于形如 a sin α + b cos α 的三角函数可以先进行合一变形,然后考虑角的范围, 利用三角函数的图象求出函数的值域最值。 ② 对于形如 y=asin
2

α +bsin α +c 的函数,可以用换元法,令 sin α =t,(注意 t 的范
利 用 重 要 公 式 sin2 α = 1 ? cos2α ;
2

围)转化成二次函数来求函数的值域和最值。 ③ 对 于 形 如 含 y=a

cos 2 α =

1 + cos 2α 2

和 重 要 结 论 : a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) 变 形 为

y = A sin(ω x + ? ) +B
12 正弦定理: 解.
2 2 2 (b + c) ? a 2 2 2 13 余弦定理: a = b + c ? 2bc cos A,cos A = b + c ? a = ? 1 等, 2 2

a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C

注意:已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两

2bc 2bc 1 1 1 14、三角形的面积公式: S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2

第五章 平面向量 1、向量的基本概念:向量的模,平行向量(共线向量) ,单位向量。 2、向量的加法和减法:平行四边形法则,三角形法则(数形结合) 3、如果 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) 则 a ± b = ( x1 ± x 2 , y1 ± y 2 ) 4、如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 )

5

5、向量 a、b 的数量积 a·b=|a|| b |cos≈ 6、向量 a、b 的夹角 cos< a, b>=
2

a ?b ab

7、

2

a

=

a

8.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 (1)a||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . (2)a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 9.平面两点间的距离公式:

PQ = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2

x1 + x2 ? ?x = 2 ? (λ = 1) 10、中点坐标公式: ? ? y = y1 + y 2 ? 2 ?

第六章

不等式

1、不等式的性质 (1)同向不等式的可加性和可乘性(没有可减性和可除性) (2)若 ab > 0 , b > a ,则
1 a

>

1 b

.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改

变. (3)如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定, 要注意分情况讨论。 (4)含绝对值不等式的性质: a、b 同号或有 0 ? | a + b |=| a | + | b | ≥ || a | ? | b ||=| a ? b | ; a、b 异号或有 0 ? | a ? b |=| a | + | b | ≥ || a | ? | b ||=| a + b | . 2、均值不等式 (1)利用均值不等式 a + b ≥ 2 ab 以及变式 ab ≤ ( a + b ) 等求函数的最值时,务必注意
2

2

a,b ∈ R + (或 a ,b 非负) ,和“等号成立”时的条件,且积 ab 或和 a+b 其中之一应是定
值(一正二定三等), 常用的方法为:拆、凑、平方等。 那么当 x = y 时和 x + y 有最小值; 如果和 x + y 是定值, 那么当 x = y (2) 如果积 xy 是定值, 时积 xy 有最大值 3、解不等式 (1)解不等式的基础是:会解一元一次、一元二次、一元高次及绝对值不等式,其它不等 式通过转化解决。 ;不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的 端点值. (2)解一元高次不等式的方法:数轴标根法(要求最高项系数为正) (3)解分式不等式 f (x ) > a(a ≠ 0) 的一般解题思路移项通分,然后除变乘 g (x ) (4)解绝对值不等式:①公式法∣ax+b∣>c (c>0) ? ax + b > c 或 ax+b<-c 2 2 ②平方法∣ax+b∣>∣cx+d∣ ? (ax+b) >(cx+d) (5)用分类讨论的思想解含参数的不等式 4.证明不等式常用方法:⑴比较法( A ? B ≤ 0 ? A ≤ B )⑵综合法:由因导果⑶分析法: 执果索因(将结论等价变形)
6

5、不等式恒成立问题(转化成最值问题)

(2)若不等式 f ( x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) max < B 6、解决和不等式有关的选择题常用取特殊值的方法。 第七章 直线和圆的方程 一、基础知识 ; 1、直线的倾斜角 α 的范围是 [0, π) 2、斜率的计算公式: k = tan α (α ≠ )
2

(1)若不等式 f ( x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) min > A

π

k=

y2 ? y1 (已知直线上两点的坐标) x2 ? x1

3.直线方程五种形式: ⑴点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,它不包括垂 直于 x 轴的直线 ⑵斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y = kx + b ,它不包括垂 直于 x 轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 1 括垂直于坐标轴的直线.(很少使用,因为可以使用斜截式) ⑷截距式: 已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为 +
a x y b

y ? y1 y2 ? y1

=

x ? x1 x2 ? x1

,它不包

= 1 ,它不包括垂直于

坐标轴的直线和过原点的直线. ⑸一般式:任何直线均可写成 Ax + By + C = 0 ( A, B 不同时为 0)的形式. 注意:直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零,截距不是距离,截距相等时不要忘 了过原点的特殊情形 4、两直线的位置关系 (1) l1 // l2 ?

= AB B {bk ≠ bk (k 、k 都存在时) ? {A C = A C ≠A
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1 1

(2) l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1( k1、k2都存在时) ? A1 A2 + B1 B2 = 0 5、到角和夹角公式: ⑴ l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 θ ,

θ ∈ (0, π ) 且 tan θ =

k 2 ? k1 1 + k1k 2

(k1k2 ≠ ?1) ;
π
k 2 ? k1 1 + k1 k 2

⑵ l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 θ ,θ ∈ (0, ] 且 tan θ =|
2

| (k1k2 ≠ ?1) .

6.点到直线的距离公式 (1)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式 d = 是一般形式) (2)两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离是 d =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2

; (直线方程要求

C1 ? C2 A2 + B 2

.(系数对应

相等才能使用) 7.线性规划中几个概念:约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解. 求解线性规划问 题的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式组和目标函数; (2)作出可行域, (3) 确定目标函数的最优位置(令 Z=0 作出直线,然后上下平移),从而获得最优解. 8、.圆的方程:
7

(1)标准方程: ( x ? a ) + ( y ? b) = R ; (优点是可以看出圆心坐标和半径)
2 2 2

(通过配方变为标准方程) (2)一般方程: x + y + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) ;
2 2

? x = a + r cos θ ( θ 为参数),其中圆心为 (a, b) 半径为 r (往往用于求最 ⑶圆的参数方程: ? ? y = b + r sin θ 值) 9、直线和圆相交计算弦长时,注意抓住半径、半弦长、弦心距构成直角三角形 10.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x 轴垂直 的直线. 11.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,① d > r ? 相离 ②d =r ? 相切 ③ d < r ? 相交(d 利用点到直线的距离公式计算) 12.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距 为 d ,(利用两点间的距离公式计算)两圆的半径分别为 r , R : d > R + r ? 两圆相离; d = R + r ? 两圆相外切; | R ? r |< d < R + r ? 两圆相交; d =| R ? r |? 两圆相内切; d <| R ? r |? 两圆内含; d = 0 ? 两圆同心. 注意:求两个相交圆公共弦的方程时,只需要将两个圆的方程相减即可。
13、曲线 C1 : f ( x, y ) = 0 与 C2 : g ( x, y ) = 0 的交点坐标 ? 方程组

{gf ((xx,, yy)) == 00

的解;

14、有关对称的一些结论 ⑴ 点 ( a , b) 关 于 x 轴 、 y 轴 、 原 点 、 直 线 y = x 的 对 称 点 分 别 是 (a, ?b) , (?a, b) , (?a, ?b) , (b, a) . ⑵ 曲 线 f ( x, y ) = 0 关 于 下 列 点 和 直 线 对 称 的 曲 线 方 程 为 : ① 点 ( a , b ) : f (2a ? x, 2b ? y ) = 0 ; ② x 轴 : f ( x, ? y ) = 0 ; ③ y 轴 : f ( ? x, y ) = 0 ; ④ 原 点 : f ( ? x, ? y ) = 0 ;⑤直线 y = x : f ( y , x) = 0 ;⑥直线 y = ? x : f ( ? y, ? x) = 0 ;⑦直线 x = a : f (2a ? x, y ) = 0 . 第八章 圆锥曲线

1、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及性质对比表 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和 为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的 轨迹 2.与定点和直线的距离之比 为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定 值 2a(0<2a<|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距 离之比为定值 e 的点的 轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相 等的点的轨迹. 抛物线





方 程 范围 中心

x2 y2 + 2 = 1 ; x = a cos θ 2 y = b sin θ a b
( a > b >0)

{

x2 y2 ? =1 a2 b2 a > 0, b > 0
x ≥ a, y ∈ R
原点 O (0, 0)

y 2 = 2 px ( p > 0)

? a ≤ x ≤ a, ? b ≤ y ≤ b
原点 O (0, 0)

x≥0

8

顶点 对称轴 焦点 离心率

(a, 0);(? a,0);(0, b);(0, ? b)
x 轴, y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b

(a, 0);(? a,0)
x 轴, y 轴; 实轴长 2a ,虚轴长 2b

(0, 0)
x轴

F1 (c, 0) , F2 (?c, 0) e= c (0 < e < 1) a

F1 (c, 0) , F2 (?c, 0) e= c (e > 1) a

p F ( ,0) 2
e =1

准线

a2 x= ± c

a2 x= ± c
y=±

x=?

p 2

渐近线 焦半径

b x a r = x+ p 2

r = a ± ex

r = ± (ex ± a)

2、圆锥曲线焦点位置的判断:椭圆看分母的大小,双曲线看正负,抛物线看一次项。 3、.圆锥曲线的两个定义:如果涉及到其两焦点(两相异定点),那么将优先选用圆锥曲线第 一定义;如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率,那么将优先选 用圆锥曲线第二定义。 注意:圆锥曲线第二定义是: “点点距为分子、点线距为分母” ,椭圆 ? 点点距除以点 线距商是小于 1 的正数,双曲线 ? 点点距除以点线距商是大于 1 的正数,抛物线 ? 点点 距除以点线距商是等于 1 x2 y 2 b 4.共渐近线 y = ± x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 = λ ( λ 为参数, λ ≠ 0 ). a a b 5、.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 1 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 1 + 2 | y1 ? y2 | ( 弦 端 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 方 程 k

? y = kxc + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 , Δ > 0 , k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不 ? F ( x, y ) = 0 ? 求”的思想,最后利用根与系数的关系解决。 7.求轨迹方程的常用方法: ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) = 0 ,是求轨迹的最基本的方法. (2)代入法(一个点在已知曲线上运动,求另一个动点的轨迹). (3) 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出 方程. 第九章 排列、组合及二项式定理 1.两个原理:加法原理(分类) ;乘法原理(分步)---解决排列组合的基础
2.排列(与顺序有关) An = n( n ? 1) ?L ? ( n ? m + 1) = :
m

n! 。 (n ? m)!

n n 当 m = n 时为全排列 An = n! = An = n ! = n(n ? 1)(n ? 2)L 2 ? 1

3.组合(与顺序无关) Cn = :
m

n(n ? 1) ?L ? (n ? m + 1) n! = 。 1 ? 2 ?L ? m m !(n ? m)!
9

m n 4、组合的两个性质: (1) Cn = Cn ?m (m ≤ n), (2) Cn = Cn?1 + Cn?1 (m ≤ n) , , 5.解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合 6 解排列组合问题原则: “三先三后”——先分类后分步,先取后排,先分组后分配(元素 有多余的) 。 7.排列组合主要解题方法: ①优先法: 特殊元素优先或特殊位置优先; ②捆绑法(相邻问题); ③插空法(不相邻问题) ;④间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不 符合条件的所有情况去掉)⑤先选后排,先分再排(注意等分分组问题);⑥先选后排,先分 再排(注意等分分组问题)

m

m

m?1

8.二项式定理:(a + b) = Cn a + Cn a
n 0 n 1

n ?1

r n b + L + Cn a n ? r b r + L + Cn b n ,展开式共有 n+1 项,

且每一项是积的形式;其中各二项式系数就是组合数 Cn --它是第 r+1 项的二项式系数;, 其中第 r+l 项 Tr +1 = Cn a b ;某项“加数 b ”的指数 ≡ 组合数的上标. 9、二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质: ⑴与首末两端等距离的二项式系数相等; (对称性)
r r n?r

r

⑵若 n 为偶数,中间一项(第 + 1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第
2

n

n ?1
2

+1



n +1
2

+ 1 项)的二项
n n

1 r 0 2 1 3 n ?1 C0 (3) n + Cn + L + Cn + L + Cn = 2 (二项式系数和) Cn + Cn + L = Cn + Cn + L = 2 .

10、二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数” 。二项式系数指的是组合数,而项的 系数指的是字母前的数字,求指定项的系数用分配原则(注意符号) 11、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和:如 f ( x) = (ax + b) n 展开式的各项系数和为

f (1) ,奇数项系数和为

1 2

[ f (1) ? f (?1)] ,偶数项的系数和为 [ f (1) + f (?1)]
2

1

第十章 概率与统计 1.必然事件 P(A)=1,不可能事件 P(A)=0,随机事件的定义 0<P(A)<1。 2.等可能事件的概率:P(A)=

m n

---经常利用排列组合的知识计算 m 和 n

3.互斥事件的概率计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B) ;----分类讨论的思想 4.对立事件的概率计算公式是:P( A )=1-P(A) ;----一般“至少”问题常使用 5、独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B)----可以理解为分步 6.独立事件重复试验 (表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率) 的概率计 ....... 算公式是: Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k

---每次发生的概率必须相等,否则只能分类讨论。

7.掌握抽样的三种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)(2)系统样, ; 也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 8.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地, 样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; ----注意频数与频率的区别 9、概率分布列(关键确定 ξ 的取值及计算对应的概率)

ξ
P

x1 P1

X2 P2

… …
10

xn Pn

注意: p1 + p2 + … + pn = 1 期望值 E ξ = x1p1 + x2p2 + … + xnpn 第十一章 数学归纳法和极限 1、 数学归纳法的本质:递推关系 2、 数学归纳法:和正整数有关的命题 3、 用数学归纳法证明一个命题的步骤: (1)验证 n 取第一个值时成立(递推的基础) (2)假设 n=k 时成立(作为已知使用) ,证明 n=k+1 时也成立(递推的根据) 注意:注意步两步缺一不可 4、.数列极限:⑴掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件:一是数列 {an } , {bn } 的极限 都存在;二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和 (或积),再求极限.

1 = 0 , lim q n = 0 ( | q |< 1 , q 为常数). n→∞ n →∞ n 6、函数的极限: ⑴当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x ) = lim f ( x ) = a .
5、 常用的几个数列极限:lim C = C ( C 为常数);lim
n →∞
n → +∞ n → ?∞

⑵当 x → x0 时函数的极限为 a ? lim f ( x) = lim f ( x) = a .⑶掌握函数极限的四则运算 ? +
x → x0 x → x0

法则. 7、 .函数的连续性: ⑴如果对函数 f ( x) 在点 x = x0 处及其附近有定义,且有 lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0

就说函数 f ( x) 在点 x0 处连续 第十一章 导数
x = x0

1.导数的定义: f ( x) 在点 x0 处的导数记作 y ′

= f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + Δx ) ? f ( x0 )

Δx → 0

Δx

.

2、函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义是指:曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处切线

的 斜 率 , 即 曲 线 y = f ( x) 在 点 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ′( x0 ) , 切 线 方 程 为 y ? f ( x0 ) = f ′( x0 )( x ? x0 ) . 但是 y = f ( x) 在点 x0 处连续却不一定可导 5. 常 见 函 数 的 导 数 公 式 : C ′ = 0 ( C 为 常 数 ) ; ( x n )′ = nx n ?1 ( n ∈ Q ) . (sin x)′ = cos x ;

3.可导与连续的关系:如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导,那么函数 y = f ( x) 在点 x0 处连续,

(cos x)′ = ? sin x ; (a x )′ = a x ln a ; (e x )′ = e x ; (log a x)′ = 1 log a e . (ln x)′ =
x

1

x
2

6.导数的四则运算法则: (u ± v)′ = u ′ ± v′ ; (uv)′ = u ′v + uv′ ; ( )′ =
v

u

u′v ? uv′ v

.

′ ′ x 7.复合函数的导数: y x = yu ? u ′ . 8.导数的应用 (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ′( x) > 0 ,那么 f ( x) 为增函数; 如果 f ′( x) < 0 ,那么 f ( x) 为减函数; 如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,那么 f ( x) 为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ′(x) ;②求方程 f ′( x) = 0 的根;③检验 f ′(x) 在 如果左正右负,那么函数 y = f ( x) 在这个根处取得极大值; 方程 f ′( x) = 0 根的左右的符号, 如果左负右正,那么函数 y = f ( x) 在这个根处取得极小值; ②将 y = f ( x) 在 (3) 求可导函数最大值与最小值的步骤: ①求 y = f ( x) 在 (a, b) 内的极值; 各极值点的极值与 f (a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
11

第十二章 复数 1.理解复数、实数、虚数、纯虚数和复数的几何表示(复平面) 2.熟练掌握与灵活运用以下结论: a + bi = c + di ? a = c 且 c = d (a, b, c, d ∈ R) ; ⑴ ⑵复数是 实数的条件: z = a + bi ∈ R ? b = 0(a, b ∈ R ) ; (3)复数是纯虚数的条件: z = a + bi 是 纯虚数 ? a = 0 且 b ≠ 0(a, b ∈ R ) 3、复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设 z1 = a + bi , z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R ) ,则

z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i , (多项式的加减)z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = (ac ? bd ) + (ad + bc)i ,
(多项式的乘法类似)
z1 ac + bd bc ? ad = + i ( z2 ≠ 0) .(分母实数化) z2 c 2 + d 2 c 2 + d 2
1+ i 1? i

4、注意以下结论:⑴ (1 ± i ) 2 = ±2i ;⑵ 周期 T=4。 第十三章

=i,

1? i 1+ i

= ?i (3) i1 = i , i 2 = ?1, i 3 = ?i , i 4 = 1,

立体几何

1、判定两线平行的方法: (1)平行于同一直线的两条直线互相平行(公理 4) (2)垂直于同 一平面的两条直线互相平行(线面垂直的性质) (3)如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(线面平行的性质) (4)如果两 个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平(面面平行的性质) 2、.判定线面平行的方法: (1)据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点(2)如果平面 外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行(最常用) (3)两 面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(4)平面外的两条平行直线中的一 条平行于平面,则另一条也平行于该平面(5)平面外的一条直线和两个平行平面中的一个 平面平行,则也平行于另一个平面. 3、判定面面平行的方法: (1)定义:没有公共点(2)如果一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面,则两面平行(最常用) (3)垂直于同一直线的两个平面平行(4)平行于 同一平面的两个平面平行. 4、面面平行的性质: (1)两平行平面没有公共点(2)两平面平行,则一个平面上的任一直 线平行于另一平面(3)两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行(4)垂直于两平行平 面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面. 5、判定两线垂直的方法: (1)定义:成 90° 角(2)直线和平面垂直,则该线与平面内任一 直线垂直(最常用) (3)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 么它也和这条斜线垂直(4)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么 它也和这条斜线的射影垂直(5)一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一 条垂直. 6、.判定线面垂直的方法: (1)定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线 面垂直(2)如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直(最常用) (3)如 果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面(4)一条直线垂直于 两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面(5)如果两个平面垂直,那么在一个 平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 (6) 如果两个相交平面都垂直于另一个平面, 那么它们的交线垂直于另一个平面. 7、.判定面面垂直的方法: (1)定义:两面成直二面角,则两面垂直(2)一个平面经过另一

12

个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面. (最常用) 8、.面面垂直的性质: (1)二面角的平面角为 90° (2)在一个平面内垂直于交线的直线必垂 直于另一个平面(3)相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 规律:①线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行;②线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直; 9、三垂线定理及其逆定理是立体几何中应用非常广泛的定理,只要题设条件中有直线和 平面垂直时,就往往需要使用三垂线定理及其逆定理.每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如: 证明异面直线垂直, 确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. 10、线线角 θ ∈ ?0, ? ,平移成角;线面角 θ ∈ ?0, ? ,斜线与射影;二面角 θ ∈ [ 0,π ] , 2 2 求法有:①定义法;②垂面法;③“两垂一连三垂线” (最重要) ; 11.空间距离的求法: ⑴两异面直线间的距离, 高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直 证明公垂 线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面 是关键; 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 12.棱柱:上下底面平行全等,侧棱平行。最重要的是四棱柱。

? π? ? ?

? π? ? ?

{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}
1 棱锥:最重要的是三棱锥和四棱锥(注意正棱锥的性质) 13. S球面 = 4π R ;V球 =
2

4 3 π R . 面心距 d = R 2 ? r 2 。 3 2 3 6 3 1 a ( a 为棱长) h = a; R外 = h; r = h ; 12 3 4 4

14.正四面体的相关数据: V =

高中数学易错、易混、易忘问题备忘录 1.在应用条件 A∪B=B ? A ? B A∩B=A ? B ? A 时,易忽略A是空集Φ的情况. 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 3.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 4.解对数不等式时,易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件. 5. 用判别式判定方程解的个数(或交点的个数) 时, 易忽略讨论二次项的系数是否为0. 尤 其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 6.用均值定理求最值(或值域)时,易忽略验证“一正二定三相等”这一条件. 7.用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性. 8.求反函数时,易忽略求反函数的定义域.
13

9.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不 能用集合或不等式表示. 10.用等比数列求和公式求和时,易忽略公比q=1的情况. 11.已知 sN 求 an 时, 易忽略 n=1的情况. 12.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况. 13.用到角公式时,易将直线l1、l2 的斜率k1、k2 的顺序弄颠倒. 14.在做应用题时, 运算后的单位要弄准,不要忘了“答”及变量的取值范围;在填写填空 题中的应用题的答案时, 不要忘了单位. 15.在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结. 16. 在解答题中, 如果要应用教材中没有的重要结论, 那么在解题过程中要给出简单的证明. 17.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式 表示. 18.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号 可倒”即a>b>o ? ab >0,a<b<o ? ab >0 19.分组问题要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题易忘除以 n!.同 时还要注意区分是定向分组还是非定向分组; 分配问题也注意区分是平均分配还是非平均分 配,同时还要注意区分是定向分配还是非定向分配. 20. 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点; 如果直线与抛物 线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点.此时两个方程联立,消元后为一次方程. 21.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时,如果所求的角为 90°, 那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法. 22.二项式(a+b) 展开式的通项公式中a与b的顺序不变. 23.使用正弦定理时易忘比值还等于 2R. 24.恒成立问题不要忘了主参换位以及验证等号是否成立. 25. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件,但这三个条件易混为一谈; 面面平行的判定定理易把条件错误地记为"一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的 两条相交直线分别平行"而导致证明过程跨步太大. 27.函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混:
n

14

(1)函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”;如函数 y=2x+4 的图象左移 2 个单位且下 移 3 个单位得到的图象的解析式为 y=2(x+2)+4-3.即 y=2x+5. (2)方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”; 如直线 2x-y+4=0 左移 2 个单位且下 移 3 个单位得到的图象的解析式为 2(x+2)-(y+3)+4=0.即 y=2x+5.

(3)点的平移公式:点 P(x,y)按向量 =(h,k)平移到点 P (x ,y ),则 x =x+ h,y = y+ k. 28.椭圆、双曲线a、b、c之间的关系易记混.对于椭圆应是a -b =c ,对于双曲线 2 2 2 应是 a +b =c . 29.“属于关系”与“包含关系”的符号易用混,元素与集合的关系用 a∈A,集合与集合 的关系用A ? B. 30.“点A在直线a上”与“直线a在平面α上”的符号易用混,如:A∈a,a ? α, AB ? α. 31. 两个向量平行与与两条直线平行易混, 两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合, 两条直线平行不包含两条直线重合. 32.各种角的范围: 角 两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角 斜线与平面所成的角 二面角 两条相交直线所成的角(夹角) l 1 到 l 2 的角 倾斜角 两个向量的夹角 锐角 第一象限的角 范围 0°<α≤90° 0 ≤α≤90° 0°<α< 90° 0°≤α≤180° 0°<α≤90° 0°<α< 180° 0°≤α< 180° 0°≤α≤180° 0°<α< 90° K·360°<α< K·360°+90°
0 2 2 2

/

/

/

/

/

15

33.二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率与二项分布的 分布列三者易记混.
r n

通项公式:Tr+1=

c

a n ? r b r (r=0,1,2,…n)(它是第r+1项而不是第r项).

事件 A 发生 k 次的概率:Pn(k)=

c

k n

p k (1 ? p) n ?k

分布列: η ~ B(n, p ) ,P( ξ = k ) =

c

k n

p k q n ? k 其中k=0,1,2,3,…,n,且 0<p<1,p+q=1.

34. 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第r+1项的二项式系数为 系数为

c

r n

,第r+1项的

c

r n

a n ? r b r 中 x 的系数.

35.二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混.二项式系数最大项为中间一项或两项; 展开式中系数最大项的求法为用解不等式组 ? ?

? Tr +1 ≥ Tr 来确定r. ? Tr +1 ≥ Tr + 2
2

36.点 P 在椭圆(或双曲线)上,椭圆中△PF1F 2 的面积 b tan
2

α
2

与双曲线中△PF1F 2 的面积 b

cot

α
2

易混(其中点 F1\F 2 是焦点).

16


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