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第3章函数的应用测试题


第三章测试
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.二次函数 f(x)=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.不确定 )

解析:方程 2x2+bx-3=0 的判别式 Δ=b2+24>0 恒成立,所以方程有两个不等实根, 因而函

数 f(x)有两个零点. 答案:C 2.若函数 y=f(x)唯一的一个零点在区间(0,2),(1,2),(0,4)内,则下列命题中正确的是 ( ) A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(1,1.5)内有零点 C.函数 f(x)在区间(2,4)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,4)内无零点 解析:可用排除法,由题意知在(0,1)内没有零点,所以 A 错.B 不一定,因为在(1,4) 内一定有零点,所以 D 错,故 C 正确. 答案:C 3.(2010· 湖南岳阳高三第一次质检)根据表中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一 个根所在的区间是( ) x ex x+2 A.(-1,0) C.(1,2) 4.方程 lnx+2x-8=0 根的个数是( A.0 个 C.2 个
x 2
-2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4 B.(0,1) D.(2,3)

3 20.09 5

) B.1 个 D.3 个


解析:f(x)=e -x +8x,f(-2)=e -4-16<0,f(-1)=e 1-1-8<0,f(0)=e0=1>0, ∴f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点,故选 B. 答案:B 8.某商品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2-11x+3000,若每

台产品的售价为 25 万元,则生产者的利润取最大值时,产量 x 等于( A.55 台 C.150 台 解析:设产量为 x 台时,利润为 S 万元, 则 S=25x-y =25x-(0.1x2-11x+3000) =-0.1x2+36x-3000 =-0.1(x-180)2+240, ∴当 x=180 时,生产者的利润取最大值.故选 D. 答案:D 9.有一组实验数据如下表所示. t s 1 1.5 2 5.9 ) B.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 3 14.3 4 24.1 5 37 B.120 台 D.180 台

)

下列所给函数模型较适合的是( A.y=ax+b(a>1) C.y=logax(a>1)

解析:由表可知,函数为增函数,而且增长较快,因此可排除 A、C、D,故选 B. 答案:B 10.实数 a、b、c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数,且满足 a<b<c, f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为( A.2 超过 18 m3 的部分 B.奇数 9 元/m3 ) )

若某户居民本月交纳的水费为 48 元,则此户居民本月用水量( A.比 12 m3 少 B.比 12 m3 多,但不超过 18 m3 C.比 18 m3 多 D.恰为 12 m3 答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.函数 y=x2 与函数 y=xlgx 在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________. 解析:当 x>0 时,x>lgx,∴x2>xlgx, ∴在(0,+∞)上增长较快的一个是 y=x2. 答案:y=x2 14.下表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高 h 米处落下,弹跳高度 d 与下落

高度 h 的关系. h(米) d(米) 50 25 80 40 100 50 150 75 … …

写出一个能表示这种关系的式子为________. h 答案:d= 2 答案:①⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)设函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3 和 2, 求 f(x). 解:∵f(x)的两个零点是-3 和 2, ∴函数 f(x)的图象过点(-3,0)和(2,0), ∴9a-3(b-8)-a-ab=0,① 4a+2(b-8)-a-ab=0,② ①-②得 b=a+8③ ③代入②得 4a+2a-a-a(a+8)=0, 即 a2+3a=0. ∵a≠0,∴a=-3,b=a+8=5. ∴f(x)=-3x2-3x+18. 答案:-5 -1 9 31 (1,2) 区间 (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.1875) |1.1875-1.125|=0.0625<0.1 原方程的近似解可取 1.1875 19.(本小题满分 12 分)某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元, 每桶水进价为 5 元,销售单价与日销售量的关系如下表: 销售单价(元) 日销售量(桶) 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240 中点 m 1.5 1.25 1.125 1.1875 f(m)的符号 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

请根据以上数据作出分析, 这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?

解:设每桶水在进价的基础上上涨 x 元,利润为 y 元.由表格中的数据可知,价格每上 涨 1 元, 日销售量就减少 40 桶, 所以涨价 x 元后, 日销售桶数为 480-40(x-1)=520-40x>0, ∴0<x<13.则利润 y=(520-40x)x-200. =-40x2+520x-200 13 =-40?x- 2 ?2+1490. ? ? ∵0<x<13. ∴当 x=6.5 时,利润最大. 即当每桶的价格为 11.5 元时,利润最大值为 1490 元. 20.(本小题满分 12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用, 据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如下图所示的曲 线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫克血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效. ①求服药一次治疗疾病有效的时间; ②当 t=5 时,第二次服药,求服药后 30 分钟,每毫升血液中的含药量. 解:(1)把点 M(1,4)分别代入所给解析式可得
? ?4t, y=? 3-t ? ?2 ,

?0≤t<1?, ?t≥1?.

? ?0≤t<1, (2)①∵? 解得 0.0625≤t<1. ?4t≥0.25, ? ?t≥1, ? 又? 3-t 解得 1≤t≤5. ? ?2 ≥0.25,

综上知,0.0625≤t≤5. ②由题设知,第二次服药后血液中每毫升的含药量 1 - y= ×4+23 5.5 2 =2+0.177=2.177(微克). 21.(本小题满分 12 分)某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应.若公司 本次新产品生产开始 x 月后,公司的存货量大致满足模拟函数 f(x)=-3x3+12x+8,那么下

次生产应在多长时间后开始? 解:依题意,当存货为 0 时就要开始生产了,即求 f(x)=0 时 x 的值,也就是求 f(x)在(0, +∞)的零点. ∵f(0)=8>0,f(1)=17>0,f(2)=8>0, f(3)=-37<0, ∴f(x)在(2,3)内有一零点. 下面证明当 x>3 时,f(x)是单调的. 设 x1>x2>3, f(x1)-f(x2) =-3x13+12x1+8-(-3x23+12x2+8) =3(x23-x13)+12(x1-x2) =3(x2-x1)· 12+x1x2+x22-4) (x ∵x1>x2>3,∴x2-x1<0, x12+x1x2+x22-4>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(3,+∞)上是减函数. 因此,f(x)在(0,+∞)只有一个零点 x0∈(2,3). 为使货源不断,在两个月后就应该开始生产. 22.(本小题满分 12 分)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市.通过市场调查,得到西红 柿种植成本 Q(单位:元/100kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 50 150 110 108 250 150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的 变化关系. Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·t,Q=a· bt. b log (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 解:(1)由提供的数据知道,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不 可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=a·t,Q=a· bt 中的任意一个进行描述时都应 b log 有 a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取 二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述. 以表格所提供的三组数据分别代入 Q=at2+bt+c,

?150=2500a+50b+c, ? 得?108=12100a+110b+c, ?150=62500a+250b+c. ?

? ? 3 解上述方程组得?b=-2, ?c=425. ? 2
1 a= , 200 所以,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q= 1 2 3 425 t - t+ . 200 2 2

3 - 2 (2)t=- =150 天时,西红柿种植成本最低,最低种植成本为 1 2×?200? ? ? Q= 1 3 425 · 2- · 150 150+ =100(元/100 kg). 200 2 2


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