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必修1《函数的基本性质》专题复习(精心整理)

时间:2016-11-16


必修 1 《函数的基本性质》专题复习
(一)函数的单调性与最值
★知识梳理 1.函数的单调性定义: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说

y ? f ( x) 在区间 I 上是

单调增函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调增区间
如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就 说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调减区间 2.函数的最大(小)值 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A 如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值; 如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点 1 函数的单调性
【例】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

2 在区间(1,+ ? )上的单调性. x ?1

【巩固练习】证明:函数 f ( x) ?

2x 在区间(0,1)上的单调递减. x ?1

1

考点 2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 .

2. 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间( ? ∞,4)上是减函数,求 a 的取值范围.

【巩固练习】 1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( ). A . (??, 2] B. [2, ??) 2.在区间(0,2)上是增函数的是( A. y=-x+1 B. y= x C.
2

C. [3, ??) ). D. y=
2 x

D. (??,3]

y= x -4x+5

(-?, 1) 3. 已知函数 f(x)在 上单调递减,在 [1 单调递增,那么 f(1),f(-1),f( 3 )之间的 , +?)
大小关系为. 4.已知函数 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f (1 ? 3x) ,求 x 的取值范围.

5. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 2 在区间( ? ∞,2)上具有单调性,求 a 的取值范围.

2

考点 3 函数的最值
5 3 【例】求函数 y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] 的最大值和最小值: 2 2

【巩固练习】
4 在区间 ?3,6? 上是减函数,则 y 的最小值是___________. x?2 3 2. 已知函数f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ?[0, ] 的最大(小)值情况为( ). 2 3 3 A. 有最大值 ,但无最小值 B. 有最小值 ,有最大值 1 4 4 19 C. 有最小值 1,有最大值 D. 无最大值,也无最小值 4 3. 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采 用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减 少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.

1.函数 y ?

4. 已知函数 y ? x ? 2x ? 3 在区间 [0, m ] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围.
2

3

(二)函数的奇偶性
★知识梳理 1.函数的奇偶性的定义: ① 对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 , 则称 f ( x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ② 对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 , 则称 f ( x) 为偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 ③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域原点关于对称(也 就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) ★热点考点题型探析 考点 1 判断函数的奇偶性 【例】判断下列函数的奇偶性: 1 (1) f ( x) ? x3 ? ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x 2 ? x3 . x

考点 2 函数的奇偶性综合应用 【例 1】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?
1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

【例 2】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.

4

【例 3】 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且在区间 (??,0) 上是减函数。 试判断函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上的单调性,并给予证明。

【巩固练习】 1.函数 y ? x(| x | ?1) (|x|≤3)的奇偶性是( ). A.奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2.若奇函数 f ( x) 在[3, 7]上是增函数,且最小值是 1,则它在 [?7, ?3] 上是( A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1 C. 减函数且最大值是-1 D. 减函数且最小值是-1 3.若偶函数 f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数,则下列关系式中成立的是( )

).

3 2 3 3 C. f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) ;D. f (2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2 2

A. f (? ) ? f ( ?1) ? f (2) ;B. f (?1) ? f ( ? ) ? f (2) ;

3 2

4. 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数,f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? x ,

则 f (7.5) 为.
5.已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 , f (?2) ? 10 ,则 f (2) ? . 6.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) 。求函数 f ( x) 的解析式。

练习题: 一、选择题: 1.下面说法正确的选项( ) A.函数的单调区间一定是函数的定义 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

5

2.在区间 (??,0) 上为增函数的是( A. y ? 1 B. y ?

) D. y ? 1 ? x 2 )

x ? 2 C. y ? ? x 2 ? 2x ? 1 1? x

3.函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ? 2 D. b ? ? 2 )

4.如果偶函数在 [ a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有( A.最大值 B.最小值

C .没有最大值 D. 没有最小值 ) D.与 p 有关 )

5.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是( A.偶函数 B.奇函数

C.不具有奇偶函数

6. 函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数, 若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) , 且 x1 ? x 2 那么 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 7.函数 f ( x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是( A. [3,8] B. [?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] 8.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则( A. k ? ? ) D. b ? 0 )

1 2

B. k ? ?

1 2

C. b ? 0

9. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在区间 [?1,0] 上为递增, 则 ( A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) )



10.已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 (

A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 二、填空题: 11.函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 f ( x) ?
2

x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x) ? .

12.函数 y ? ? x ? | x | ,单调递减区间为,最大值和最小值的情况为.

6

13.定义在 R 上的函数 s( x) (已知)可用 f ( x), g ( x) 的和来表示,且 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,则 f ( x) =. 14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为;. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知 f ( x) ? ( x ? 2) 2 , x ? [?1,3] ,求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.

16. (12 分)判断下列函数的奇偶性 ①y?x ?
3

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③ y ? x ? x;
4

? x 2 ? 2( x ? 0) ? ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ?? x 2 ? 2( x ? 0) ?
2005

17. (12 分)已知 f ( x) ? x

? ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

18. (12 分) )函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ;
7

② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

19. (14 分) 在经济学中, 函数 f ( x) 的边际函数为 Mf ( x) , 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,
2 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置。 生产 x 台的收入函数为 R( x) ? 3000x ? 20x (单

位元) ,其成本函数为 C ( x) ? 500x ? 4000(单位元) ,利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) ; ②求出的利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) 是否具有相同的最大值; ③你认为本题中边际利润函数 Mp( x) 最大值的实际意义.

2 20. (14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,且 g ( x) ? f [ f ( x)] ,G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问,

是否存在实数 ? ,使得 G ( x) 在 (??,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.

8


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