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高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》教案


二 极坐标系 课题:1、极坐标系的的概念 教学目的: 知识目标:理解极坐标的概念 能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面 直角坐标系中刻画点的位置的区别. 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:理解极坐标的意义 教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体

、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将 它们引爆? 情境 2: 如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位 置惟一确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描 述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎 样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 这一思考, 能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度 来刻画点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础. 二、讲解新课: 从情镜 2 中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立: 在平面上取一个定点 O, 自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计 算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段 OM 的长度, 用 ? 表示从 OX 到 OM 的角度, 叫做点 M 的极径, ? ? 叫做点 M 的极角,有序数对(?,?)就叫做 M 的极坐标。 特别强调: 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范 围是[0,2 ? )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(?,?)建 立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中,极径 ? 允许取负值,极角 ? 也可以去任意的正角或负角 当 ?<0 时,点 M (?,?)位于极角终边的反向延长线上,且 OM= ? 。

M (?,?)也可以表示为 ( ? , ?

? 2 k ? ) 或 ( ? ? , ? ? ( 2 k ? 1)? )

(k ? z )

4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标(见教材 14 页) A(4,0)B(2 )C( ) D( )E( )F( ) G( ) ① 平面上一点的极坐标是否唯一? ② 若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A(3,0) B(6,2 ? )C(3,
5? 3

?
2

)D(5,

4? 3

)E(3,

5? 6

)F(4, ? )G(6,

点的极坐标的表达式的研究 例 2 在极坐标系中,(1)已知两点 P(5, (2)已知 M 的极坐标为(?,?)且 ?= 置。 变式训练 1、若 ? ABC 的的三个顶点为 A ( 5 ,
5? 2 ), B ( 8 , 5? 6 ), C ( 3 , 7? 6 ), 判断三角形的形状 .
5? 4

) (1, ,Q
R

?
4

)

,求线段 PQ 的长度;

?
3

,? ?

,说明满足上述条件的点 M 的位

2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ? 1 , ? 1 ), ( ? 2 , ? 2 ) 求 AB 的长以及 ? AOB 的面积。 (O 为极点) 例 3 已知 Q(?,?) ,分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 (1) P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; (2) P 是点 Q 关于直线 ?
?

?
2

的对称点;

(3) P 是点 Q 关于极轴的对称点。 变式训练 1.在极坐标系中,与点 ( ? 8 ,
A (8 ,

?
6

)

关于极点对称的点的一个坐标是
?
6 )

(

)

?
6

), B ( 8 , ?

5? 6

), C ( ? 8 ,

5? 6

), D ( ? 8 , ?

2 在极坐标系中,如果等边 ? ABC 的两个顶点是 A ( 2 , 的坐标。

?
4

), B ( 2 ,

5 4

),

求第三个顶点 C

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系 的基本要素是:极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关 系。 五、课后作业: 六.课后反思:本节学习内容对学生来说是全新的,因而学生学习的兴趣很浓, 课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维,感到有点吃力。后续教学还要加强基 础训练。 课题:2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的: 知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点:互化关系式的掌握 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1 ,
3)

,这个点如何用极坐标表示?

学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课: 直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 且在两坐标系中取相同 的长度单位。 平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x , y ) 和 ( ? , ? ) , 则由 三角函数的定义可以得到如下两组公式: {
x ? ? cos ? y ? ? sin ?

?

2

? x

2

? y y x

2

{

tan ? ?

说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 通常情况下, 将点的直角坐标化为极坐标时, ? ≥ 取 0, 0 ≤ ? ≤ 2 ? 。 3 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合;

2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三.举例应用: 例 1. (1)把点 M 的极坐标 ( 8 , (2)把点 P 的直角坐标 ( 变式训练 在极坐标系中,已知 A ( 2 ,
?
6 ), B ( 2 , ?
2? 3
6 ,? 2)

) 化成直角坐标

化成极坐标

?
6

),

求 A,B 两点的距离

例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. (1)已知 A 的极坐标 ( 4 ,
5? 3 ),

求它的直角坐标,

(2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 ( 2 , ? 2 ) 和 ( 0 , ? 15 ) 求它们的极坐标. ( ? >0,0≤ ? <2 ? ) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 ? >0,0≤ ? < 2 ? )
A ( ? 1,1 ), B ( 0 , ? 2 ), C ( 3 , 4 ), D ( ? 3 , ? 4 )

例 3.在极坐标系中,已知两点 A ( 6 , 求 A,B 中点的极坐标. 变式训练 在极坐标系中,已知三点 M 条直线上.
( 2 ,?

?
6

), B ( 6 ,

2? 3

)

.

?
3

), N ( 2 , 0 ), P ( 2

3,

?
6

) .判断 M , N , P

三点是否在一

四、巩固与练习:课后练习 五、小 结:本节课学习了以下内容: 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件; 2.互换的公式; 3.互换的基本方法。 五、课后作业: 六、课后反思:在教师的引导下,学生能积极应对互化的原因、方法,也能较好 地模仿操作,但让学生独立自主完成新的问题的解答,明显有困难,需要教师的

点拨引导。 这点可采取的措施是: 小组讨论, 共同寻找解决问题的方法, 很有效。 但教学时间不足。


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