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高中平面几何讲义


高中平面几何
(上海教育出版社 叶中豪)

知识要点
三角形的特殊点
重心,外心,垂心,内心,旁心,类似重心,九点圆心,Spieker 点,Gergonne 点,Nagel 点,等力点,Fermat 点, Napoleon 点, Brocard 点,垂聚点,切聚点,X 点,Tarry 点,Steiner 点,Soddy 点,Kie

pert 双曲线

特殊直线、圆
Euler 线,Lemoine 线,极轴,Brocard 轴,九点圆,Spieker 圆,Brocard 圆,Neuberg 圆,McCay 圆, Apollonius 圆,Schoute 圆系,第一 Lemoine 圆,第二 Lemoine 圆,Taylor 圆,Fuhrmann 圆

特殊三角形
中点三角形,垂三角形,切点三角形,切线三角形,旁心三角形,弧中点三角形,反弧中点三角形, 第一 Brocard 三角形,第二 Brocard 三角形,D-三角形,协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形
Simson 线,垂足三角形,Ceva 三角形,反垂足三角形,反 Ceva 三角形

重心坐标和三线坐标 四边形和四点形
质点重心,边框重心,面积重心,Newton 线,四点形的核心,四点形的九点曲线

完全四边形
Miquel 点,Newton 线,垂心线,外心圆,Gauss-Bodenmiller 定理

重要轨迹
平方差,平方和,Apollonius 圆

三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点,等角共轭线,等截共轭点,等截共轭线

几何变换及相似理论
平移,旋转(中心对称) ,对称,相似和位似,相似不动点,逆相似轴,两圆外位似中心及内位似中心

Miquel 定理
内接三角形,外接三角形,Miquel 点

根轴
圆幂,根轴,共轴圆系,极限点

反演
反演,分式线性变换(正定向和反定向)

配极
极点与极线,共轭点对,三线极线及三线极点,垂极点

射影几何
点列的交比, 线束的交比, 射影几何基本定理, 调和点列与调和线束, 完全四边形及完全四点形的调和性,Pappus 定理,Desargues 定理,Pascal 定理,Brianchon 定理

著名定理
三大作图问题,勾股定理,黄金分割,鞋匠的刀,P’tolemy 定理,Menelaus 定理,Ceva 定理,Stewart 定理, Euler 线,Fermat- Torricelli 问题,Fagnano- Schwarz 问题,Newton 线,Miquel 定理,Simson 线, Steiner 定理,九点圆,Feuerbach 定理,Napoleon 定理,蝴蝶定理,Morley 定理,Mannheim 定理

例题和习题
1. 以△ABC 的 AB、AC 两边向形外作正方形 ABEP 和 ACFQ,AD 是 BC 边 上的高。求证:直线 AD、BF、CE 三线共点。 2.以△ABC 的 AB、 AC 两边为直角边, 向两侧作等腰直角三角形 ABD 和 ACE, 使∠ABD=∠ACE=90°。求证线段 DE 的中点的位置与顶点 A 的位置无 关。 3. 已知梯形 ABCD 中,AD∥BC。分别以两腰 AB、CD 为边向外侧作正方形 ABGE 和正方形 DCHF。连接 EF,设线段 EF 的中点为 M。求证:MA= MD。 4.△ ABC 中,AM 是中线,H 是垂心,N 是 AH 中点,过 A 作外接圆切线,交 对边于 D 点。求证:ND⊥AM。(06061602.gsp)
A

N

H B M C D

5.△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O、O1、O2 分别是△ABC、△ABD、 △ACD 的外心,求证:A、O、O1、O2 四点共圆。 (Salmon 定理) 6.△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O、O1、O2 分别是△ABC、△ABD、 △ACD 的外心,O′是 A、O、O1、O2 四点所共圆(Salmon 圆)的圆心。求证: (1)O′D⊥BC 的充要条件是:AD 恰好经过△ABC 的九点圆心!

A

O' O2 O1 Ni

B

D

C

(2)记△ABC 的九点圆心为 Ni 。作 O′E⊥BC,垂足为 E。则 Ni E∥AD!
(06051705.gsp) (06052901.gsp)

A O1 O'

O2 Ni

B

D

E

C

7.四边形 ABCD 中,P 点满足∠PAB=∠CAD,∠PCB=∠ACD,O1、O2 分别是△ABC、△ADC 的外心。求证:△PO1B∽△PO2D。 (06060301.gsp)

A

D B O1 O2

P

C

8.设 I 是圆外切四边形 ABCD 的内心,求证:△IAB,△IBC,△ICD,△IDA 的垂心共线。 9.已知凸四边形 ABCD 满足:AB+AD=BC+CD,延长 BA,CD 交于 E 点, 延长 BC, AD 交于 F 点。 求证: EB+ED=FB+FD (或 EA+EC=FA+FC) 。
(05123102.gsp)
E

A

B C

D

F

10. (06.8.9)设 A、B、C、D 是椭圆 的斜率之积

x2 y 2 ? ? 1 上四点。若直线 AB、CD a 2 b2

k AB ?kCD

b2 ? 2 a


b2 。 a2 x2 y 2 ? ? 1 的离 a 2 b2

则直线 AC、BC 或直线 AD、BC 的斜率之积也必等于

(注:这时经过 A、B、C、D 四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆

心率──

c a

。 ) (06080901.gsp) (06081201.gsp)

1.在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O1、O2 分别是△ABD、△ACD 的 外心,O′是经过 A、O1、O2 三点的圆之圆心。求证:O′D⊥BC 的充要条件 是:AD 恰好经过△ABC 的九点圆心。
A

O' O2 O1 Ni

B

D

C

【证明】取△ABC 的外心 O,则熟知 A、O、O1、O2 四点共圆(Salmon 圆) 。易知△AO1O2 ∽△ABC,且 O1O2 是 AD 的垂直平分线。作顶点 A 关于 BC 边的对称点 A′,易看出△AO′D ∽△AOA′。设 BC 边高的垂足为 G,再取 AO 连线的中点 L,则 LG 是△AOA′的中位线,进 而知△AO′D∽△ALG。得∠O′DA=∠LGA。……………①

A O1 O' L O2

O

B

D

G

C

A'

再作外心 O 关于 BC 的对称点 O′,由 AH=2OM=OO′知 A O′经过九点圆心 Ni。 (注: △AHNi ≌ △O′ONi) 由 LM∥A O′知∠ADC=∠LMG;在直角梯形 AOMG 中,得∠LMG=∠LGM。 故∠ADC=∠LGM。……………② 而∠LGM+∠LGA=90°。 将①、②代入得∠O′DA+∠ADC=90°。 ∴ O′D⊥BC。

A O' L

O

Ni

H

B

M

D

G

C

O'

2.在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O1、O2 分别是△ABD、△ACD 的 外心,O′是经过 A、O1、O2 三点的圆之圆心。记△ABC 的九点圆心为 Ni。作 O′E⊥BC,垂足为 E。则 Ni E∥AD。 (叶中豪提供)

A O1 O'

O2 Ni

B

D

E

C

【证明】作 LK⊥AH。由 AH=2OM,Ni F=(OM+HG)/2 易知 AK =Ni F。…………… ① 又因 O′L 在 BC 上的射影是 EF,而 AL 在 AG 上的射影是 AK,且两者夹角相等(都等于

1 O?L AL ?B ? ?C ) ? ,故 。……………② 2 EF AK
由①、②知 Rt△AO′L∽Rt△Ni EF。得∠AO′L=∠Ni EF。……………③
A O'

L

K

O

Ni H

B

E

M

F

G

C

而由下图,又易知∠AO′L=∠ADC。……………④ 由③、④得∠Ni EC=∠ADC, ∴ Ni E∥AD。
A

O' L

O Ni

B

D

E

C

3.△ABC 中,AH 是 BC 边上的高,D 是直线 BC 上任一点。O、O1、O2 分别是△ABC、△ABD、△ACD 的外心,N、N1、N2 分别是△ABC、△ABD、 △ACD 的九点圆心。设 O′是 A、O、O1、O2 所共圆(Salmon 圆)的圆心, 作 O′E⊥BC,垂足为 E。则 H、E、N、N1、N2 五点共圆。 (闵飞提供)
A

O' O1

O2 N O N1 N2

B
【证明】 引理

E

D

H

C

△ABC 中,记外心 O 关于 BC 边的对称点为 O′,则九点圆心 Ni 是 A O′的中点。

(证略)

A

O

Ni

B

C

O'

如下图,作 A、O、O1、O2 诸点关于 BC 边的对称点,这些对称点仍构成共圆四边形。再以 A 点为位似中心,作 1/2 的位似变换,即可知所得到点 H、N、N1、N2 一定共圆。 (且顺便得知 所共圆的大小恰是 Salmon 圆的一半! ) 再在 Salmon 圆上取 A″,使 AA″∥BC。因此 O′E 所在直线是 AA″的中垂线。作 A″关 于 BC 边的对称点 A″′。易知 AA″′的中点恰是 E,于是 E 也在上述位似后的圆上。

A'' O1 O'

A

O
N1

N

O2
N2

B

D

E

H

C

O'

O' 2

O' 1

A'''

A'

5.四边形 ABCD 中,P 点满足∠PAB=∠CAD,∠PCB=∠ACD,O1、O2

分别是△ABC、△ADC 的外心。求证:△PO1B∽△PO2D。 (叶中豪提供)
A

D B O1 O2

P

C

【证法 1】 (田廷彦提供)
Q

A

O1 B

O2

D

P

C

如上图,延长 CP 交△ABC 的外接圆于 Q。连接 QA、QB、QO1、AO2。 在等腰△O1BQ 和等腰△O2AD 中, 由于∠BO1Q=2∠BCQ=2∠ACD=∠AO2D, 故△O1BQ ∽△O2AD。………① 又在△PAQ 中,由正弦定理

PQ sin ?PAQ sin ? ?PAB ? ?BAQ ? sin ? ?DAC ? ?BCQ ? sin ? ?DAC ? ?DCA? ? ? ? ? PA sin ?PQA sin ?CBA sin ?CBA sin ?CBA ? sin ?180? ? ?CDA? sin ?CBA ? sin ?CDA AC / R2 R1 ? ? sin ?CBA AC / R1 R2

其中 R1、R2 分别是△BAC 和△DAC 的外接圆半径。 而 BQ ? 2R1 sin ?BCQ ,

DA ? 2R2 sin ?ACD ,


BQ R1 。 ? DA R2
PQ BQ , ? PA DA
△PQB∽△PAD。………②

由此

又∠BQP=∠BAC=∠PAD, ∴ 证毕。 【证法 2】 (柳智宇提供) 由①、 ②, 即可知 O1、 O2 是相似三角形 PQB 和 PAD 中的对应点, 从而得△PBO1∽△PDO2。

A

A'

D B O1 O2

P

C'

C

柳智宇证法

如下图,延长 AP、CP 分别交△ACD 的外接圆于 C′、A′。 首先证明△DA′C′∽△BAC,而 O1、O2 分别是这两个三角形的外心。然后说明 P 是这对 相似三角形中的自对应点,从而△PBO1∽△PDO2(具体过程略) 。

【证法 3】 (邓煜提供) 见下图,在 AB 上取点 Q,使得△APQ∽△ADC(具体过程略) 。

A

Q
P O1 O2 D

B

C
邓煜证法

重心坐标

??1 : ?2 : ?3?
其余三点的坐标分别为:

???1 : ?2 : ?3? , ??1 : ??2 : ?3? , ??1 : ?2 : ??3? 。

直线 d,d1,d2,d3 的坐标分别为:

?1 1 1? ? 1 1 1? ?1 1 1? ?1 1 1? ? : : ? , ?? ? : ? : ? ? , ? ? : ? ? : ? ? , ? ? : ? : ? ? ? 。 2 3? 3? ? 1 2 ? ?1 ?2 ?3 ? ? 1 2 3 ? ? 1
易算出 Newton 线 d0 的坐标为: ?

? 1 ??
2 1

:

1

?2

2

:

1 ? 。 ?3 2 ? ?


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