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1.2.2空间中的平行关系(2)

时间:2011-01-27


1.2.2空间中的平行关系(2) 空间中的平行关系( ) 空间中的平行关系
中国人民大学附属中学

二. 直线与平面平行 1. 直线在平面内: 直线在平面内: 文字语言: 文字语言:如果一条直线和一个平面有 两个公共点, 两个公共点,那么这条直线就在这个平 面内。 面内。 图形语言: 图形语言:
α
A B

符号语言: ∈ , ∈ , 符号语言:A∈α,B∈α, ? AB ? α

2. 直线与平面相交: 直线与平面相交: 文字语言:直线a和平面 和平面α只有一个公共 文字语言:直线 和平面 只有一个公共 相交, ,叫做直线与平面相交 点A,叫做直线与平面相交,这个公共点 叫做直线与平面的交点. 叫做直线与平面的交点
a

图形语言: 图形语言:
α

A

符号语言: 符号语言:a∩α=A.

3. 直线与平面平行: 直线与平面平行: 文字语言:直线 与平面 没有公共点, 与平面α没有公共点 文字语言:直线a与平面 没有公共点, 平行. 叫做直线与平面平行 叫做直线与平面平行
a

图形语言: 图形语言:
α

符号语言: 符号语言:a∩α=

?

3. 直线与平面平行的判定定理: . 直线与平面平行的判定定理: (1)文字语言:如果不在一个平面内的 )文字语言: 一条直线和平面内的一条直线平行, 一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行. 这条直线和这个平面平行
a

(2)图形语言: )图形语言:
b

(3)符号语言: )符号语言: a ?α,b ,

? , a // b, ?a //α. α, ,

α

已知 l ? α,m , 求证: 求证:l //α.

α, , ? ,l // m,
β
l

m 从正面思考这个问题, 从正面思考这个问题, P α 有一定的难度, 有一定的难度,不妨从 反面想一想。 反面想一想。 如果一条直线l和平面 相交, 和 一 和平面α相交 如果一条直线 和平面 相交,则l和α一

定有公共点,可设 定有公共点,可设l∩α=P。 。

再设l与 确定的平面为 确定的平面为β, 再设 与m确定的平面为 ,则依据平面 基本性质3, 一定在平面α与平面 基本性质 ,点P一定在平面 与平面 的 一定在平面 与平面β的 交线m上 交线 上。 于是l和m相交 这和l m矛盾 相交, 矛盾。 于是l和m相交,这和l // m矛盾。 所以可以断定l与 不可能有公共点 不可能有公共点。 所以可以断定 与α不可能有公共点。 即l // α.

证明直线与平面平行,三个条件必须具 证明直线与平面平行,三个条件必须具 才能得到线面平行的结论. 备,才能得到线面平行的结论. 三个条件中注意: 面外、面内、平行” 三个条件中注意:“面外、面内、平行” 线线平行 线面平行

运用定理的关键是找平行线; 运用定理的关键是找平行线; 找平行线 找平行线又经常会用到三角形中位线定理 找平行线又经常会用到三角形中位线定理. 三角形中位线定理

4. 直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果一条直线和一个平 )文字语言: 面平行, 面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行. 面相交,那么这条直线就和交线平行
a

(2)图形语言: )图形语言:

α
a//α (3) 符号语言: a ?β ) 符号语言: α∩β=b

b

? a//b

已知: 已知:l //α,l ,

?β,α∩β=m, , ,
β α
l m

求证: 求证:l //m. 证明:因为l , 证明:因为 //α,所以 l与α没有公共点, 与 没有公共点 没有公共点,

又因为m在α内 所以l与m也没有公共点 也没有公共点. 又因为m在α内,所以l与m也没有公共点. 因为l和 都在平面 都在平面β内 且没有公共点, 因为 和m都在平面 内,且没有公共点, 所以l 所以 //m. 这条定理, 这条定理,由“线面平行”去判断“线线平 线面平行”去判断“ 行”

已知空间四边形ABCD中,E,F分别 例1. 已知空间四边形 中 , 分别 的中点, 平面BCD. 是AB,AD的中点,求证:EF//平面 , 的中点 求证: 平面 证明:连接 , 证明:连接BD,在△ABD中, 中 因为E,F分别是 ,AD的中点, 分别是AB, 的中点 的中点, 因为 , 分别是 所以EF // BD, 所以 , 又因为BD ? 平面 平面BCD, 又因为 , EF ? 平面 平面BCD, , 所以EF//平面 平面BCD. 所以 平面
B C A E F D

求证: 例2. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线, 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 直线在这个平面内。 已知: 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, , ∈ , ∈ , , 求证: 求证:m ? α. 证明: 与 确定的平面为 确定的平面为β, 证明:设l与P确定的平面为 , 且α∩β=m’, , 则l //m’,又知l //m, ,又知 , m∩m’=P, ,
l

β

P

m

α

m'

由平行公理可知, 与 重合 重合. 由平行公理可知,m与m’重合 所以m 所以 ? α.
l

β

P

m

α

m'

例3.如图,正方体 ABCD? A′B′C′D′中,E为 DD′ .如图, 为 ′ 的中点, 与平面AEC的位置关系,并说明理 的位置关系, 的中点,试判断 BD与平面 的位置关系 由. D′ 证明:连接BD交AC于点 证明:连接 交 于点O, 于点 连接OE, 连接 在 ?DBD′中,E,O分别是 , 分别是 的中点. DD′, BD 的中点.
A′

E
D

B′

C′

C

∴ EO // BD′

? ? EO ? 平面 ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?

A

O

B

1.以下命题(其中a,b表示直线,α表示 以下命题(其中 , 表示直线 表示直线, 以下命题 平面) 平面) ?α, ∥ ①若a∥b,b?α,则a∥α ∥ , ?α ②若a∥α,b∥α,则a∥b ∥ ∥ ∥ ③若a∥b,b∥α,则a∥α ∥ , ∥ ∥ ?α, ∥ ④若a∥α,b?α,则a∥b ∥ ?α 其中正确命题的个数是( 其中正确命题的个数是( ) (A)0个 ) 个 (B)1个 ) 个 (C)2个 ) 个 (D)3个 ) 个

练习: 练习:

2.判断下列命题是否正确,若正确,请简述 判断下列命题是否正确,若正确, 判断下列命题是否正确 理由,若不正确,请给出反例. 理由,若不正确,请给出反例 (1)如果 、b是两条直线,且a∥b,那么 平行 如果a、 是两条直线 是两条直线, ∥ 那么 那么a 如果 于经过b的任何平面 的任何平面; ) 于经过 的任何平面;( 和平面α (2)如果直线 、b和平面 满足 ∥α, )如果直线a、 和平面 满足a∥ b∥α,那么 ∥b ;( ∥ 那么 那么a∥ )

(3)如果直线 、b和平面 满足 ∥b, a∥α, b 如果直线a、 和平面 满足a∥ ∥ 和平面α 如果直线 α,? ) 那么 b∥α;( ∥ (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( ) 有一条

D1

3.在长方体 . ABCD-A1B1C1D1中 -

C1 B1 C B

A1 D A

1.与直线 平行的平面是______. 与直线AB平行的平面是 与直线 平行的平面是______. 2. 和直线 1平行的平面是_____. 和直线AA 平行的平面是_____. 3.与直线 平行的平面是______. 与直线AD平行的平面是 与直线 平行的平面是______.

4.

长方体 ABCD-A1 B1C1 D1中,点 P ∈ BB1 异于 B、B1) ( PA I BA1 = M , PC I BC1 = N , 求证: 求证: MN // 平面ABCD
D1 C1

问题的关键是证明MN//AC, 问题的关键是证明 在⊿PAC中,证明 中 PM:MA=PN:NC.

A1

B1

P M D N C

A

B

证法1 证法1 A 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
1

D1

C1

B1

P M D N C

PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? = MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC1 N ? = NC CC1
A

B

PM PN ? = ? AC // MN MA NC

CC1 = AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

证明2:
连结AC、A1C1 长方体中 A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1
? AC // 面A1C1 B AC ? 面ACP
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B I PA = M ? ? ? 面ACP I 面A1C1 B = MN PC I BC1 = N ?

? AC // MN MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD


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