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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 2.2向量的减法 训练案知能提升 新人教A版必修4

时间:2016-05-07


【优化方案】 2016 高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的减法 训练 案知能提升 新人教 A 版必修 4
[A.基础达标] 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE → → → → → → C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE → → → 解析:选 B.根据向

量的减法的定义可得EF=OF-OE. 2.下列式子不正确的是( ) A.a+0=a B.a+b=b+a → → C.AB+BA≠0 → → → → D.AC=DC+AB+BD 解析:选 C.根据向量加法的三角形法则,A 正确;向量加法满足交换律,B 正确; → → 因为AB与BA是一对相反向量,相反向量的和为零向量,所以 C 不正确;根据向量加法的 多边形法则,D 正确. → → 3.在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,则AD-AC等于( ) → → A.CB B.BC → → C.CD D.DC → 解析: 选 C.在△ABC 中, D 是 BC 边上的一点, 则由两个向量的减法的几何意义可得AD- → → AC=CD. → 4.如图,在任意四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,则EF → +EF=( ) → → → A.AB B.AB+DC → → → C.DC D.AD+BC → → → → → → → → → → → → 解析:选 B.因为EF=EA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,又EA与ED互为相反向量,BF与CF互 → → → → → → → → → → → → → → 为相反向量, 所以EA+ED=0, BF+CF=0.所以EF+EF=ED+DC+CF+EA+AB+BF=(ED+EA) → → → → → → +DC+AB+(BF+CF)=AB+DC. → → → 5.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 解析:

→ → → → → 选 C.当AB与AC不共线时,有BC=AC-AB(如图所示), 由三角形三边的不等关系可知 → 8-5<|BC|<8+5,
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→ 即 3<|BC|<13, → → → 当AB与AC共线反向时,|BC|=13; → → → 当AB与AC共线同向时,|BC|=3, → 所以 3≤|BC|≤13. → → → → → 6. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AC 与 BD 交于 O 点, 则BA-BC-OA+OD+DA=________.

→ → → → → 解析:BA-BC-OA+OD+DA → → → → → =(BA-BC)-(OA-OD)+DA → → → → =CA-DA+DA=CA. → 答案:CA → → → → 7.化简:(1)(AD-BM)+(BC-MC)=________. → → → → (2)(PQ-MO)+(QO-QM)=________. → → → → → → → → → → → → → → → 解析:(1)(AD-BM)+(BC-MC)=AD+MB+BC+CM=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC+CM= →

AD.
→ → → → → → → → → → → → → (2)(PQ-MO)+(QO-QM)=PQ+QO-(QM+MO)=PO-QO=PO+OQ=PQ. → → 答案:(1)AD (2)PQ → → 8.四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则|AB-AD|=________. → → → 2 2 解析:|AB-AD|=|DB|= 1 +1 = 2. 答案: 2 → → → → → → 9.如图,已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=f,试用 a,b,c,d,e,f 表示以下向量: → → → → → (1)AC;(2)AD;(3)DF+FE+ED. → → → 解:(1)AC=OC-OA=c-a. → → → → → (2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d. → → → → → → → → → (3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=0. → → → 10.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长等于 1,AB=a,BC=b,AC=c,试作出下列向 量,并分别求出其长度.

(1)a+b+c;(2)a-b+c. → → → 解:(1)由已知得 a+b=AB+BC=AC, → → → 又AC=c,所以延长 AC 到 E,使|CE|=|AC|.

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→ → 则 a+b+c=AE,且|AE|=2 2. 所以|a+b+c|=2 2. → → (2)作BF=AC,连接 CF. → → → 则DB+BF=DF, → → → → 而DB=AB-AD=a-BC=a-b, → → → → 所以 a-b+c=DB+BF=DF且|DF|=2. 所以|a-b+c|=2. [B.能力提升] 1.给出下列各式: → → → ①AB+CA+BC; → → → → ②AB-CD+BD-AC; → → → ③AD-OD+OA; → → → → ④NQ-MP+QP+MN. 对这些式子进行化简,则其化简结果为 0 的式子的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 → → → → → 解析:选 A.①AB+CA+BC=AC+CA=0; → → → → → → → → → → ②AB-CD+BD-AC=AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=0; → → → → → → → → ③AD-OD+OA=AD+DO+OA=AO+OA=0; → → → → → → → → → → ④NQ-MP+QP+MN=NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0. → → → → 2.平面内有四边形 ABCD 和点 O,若OA+OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 → → → → 解析:选 B.因为OA+OC=OB+OD, → → → → 所以OA-OB=OD-OC, → → 即BA=CD,又 A,B,C,D 四点不共线, → → 所以|BA|=|CD|,且 BA∥CD, 故四边形 ABCD 为平行四边形. → → → 3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB-CB+CD|=________ → → → → → → → → → 解析:因为菱形 ABCD 的边长为 2,所以|AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AC+CD|=|AD |=2. 答案:2 → → → 4.如图,在正六边形 ABCDEF 中,与OA-OC+CD相等的向量有________.

→ → → → → → → → → → → → ①CF;②AD;③BE;④DE-FE+CD;⑤CE+BC;⑥CA-CD;⑦AB+AE. 解析:因为四边形 ACDF 是平行四边形,

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→ → → → → → 所以OA-OC+CD=CA+CD=CF, → → → → → → → DE-FE+CD=CD+DE+EF=CF, → → → → → CE+BC=BC+CE=BE, → → → CA-CD=DA, 因为四边形 ABDE 是平行四边形, → → → 所以AB+AE=AD, → → → 综上知与OA-OC+CD相等的向量是①④. 答案:①④ → → → → → 5.在五边形 ABCDE 中,设AB=m,BC=n,CD=p,DE=q,EA=r,求作向量 m-p+n- q-r.

解:因为 m-p+n-q-r =(m+n)-(p+q+r) → → → → → =(AB+BC)-(CD+DE+EA) → → → → =AC-CA=AC+AC. → → → → 延长 AC 到 M,使|CM|=|AC|,则CM=AC, → → → → → 所以AC+AC=AC+CM=AM. → 所以向量AM为所求作的向量,如图所示.

6.(选做题)如图,已知点 O 是△ABC 的外心,H 为垂心,BD 为外接圆的直径.求证:

→ → (1)AH=DC; → → → → (2)OH=OA+OB+OC. 证明:(1)由题意,可得 AH⊥BC,DC⊥BC, 所以 AH∥DC. 又 DA⊥AB,CH⊥AB,所以 DA∥CH, 所以四边形 AHCD 为平行四边形. → → 所以AH=DC. → → → → → (2)在△OAH 中,OH=OA+AH,而AH=DC, → → → 所以OH=OA+DC.
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→ → → → → 又在△ODC 中,DC=DO+OC,而DO=OB, → → → 所以DC=OB+OC. → → → → 所以OH=OA+OB+OC.

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