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指数与指数幂的运算PPT课件-数学高一上必修1第二章2.1.1人教版


第二章

基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数

2.1.1
指数与指数幂的运算

学习目标
1.掌握n次方根及根式的概念. 2.正确运用根式的运算性质进行根式运算. 3.理解分数指数幂的含义. 4.学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 5.理解有理数指数幂的含义及其运算性质. 6.了解无

理数指数幂的意义.

探究1:n次方根的概念
探究点1 由初中所学知识及示例完成下面填空
示例:① (±2)2=4,则称±2为4的 平方根 ; ② 23=8,则称2为8的 立方根 ;

类似地,(±2)4=16,则±2叫做16的 4次方根 ;
25=32,则2叫做32的 5次方根 . xn =a,其中n>1,且n∈N﹡

归纳总结:n次方根的概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根, 其中n>1,且n∈N﹡.

练习:
-2 (1) -32的五次方根等于_____.
±3 (2)81的四次方根等于____. 0 (3)0的七次方根等于_____.

方根的性质
1.正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根 是一个负数;0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个,且互为相反数;负数 没有偶次方根;0的偶次方根是0. 3.方根的表示方法:
n x ? ? a (a ? 0) 当n为奇数时,

当n为偶数时,x ?

n

a( a ? R )
n

0的任何次方根都是0,记作

0 =0.

探究2:根式的概念
探究点2
在方根的表示中,你知道式子
n

a 叫什么吗?

式子 n a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方

数.
根指数 根式

n

a

被开方数

探究3:根式的运算性质
探究点3 你能根据方根的意义确定下面式子的值吗?
1、 ( 3 2)3 ,( 5 ?2)5 ,( 4 2)4

( 2) =2, ( 5 ?2)5 ? ?2, ( 2) ? 2
4 4

3

3

结论:( n a )n ? a

2、求下列各式的值

(1) 2 ?
5 5

2



3

(?2)3 ? ?2

.
( ?3) 2 ? ?3

n n 结论:a 开奇次方根,则有

a n ? a.

(2) 3 ? 3 ,
2

(?3) 2 ? 3
4 4

. .
4

(3) 2 ?
4 4

2 ,

(?2) ? 2
n

( ?2) 4 ? ?2

结论:an开偶次方根,则有

an ?| a | .

归纳总结: 根式的运算性质

⑴当n为任意正整数时,( a ) ? a
n n

⑵当n为奇数时, n a n ? a

当n为偶数时,

n

? a ,( a ? 0 ) a ?| a |? ? . ? ? a ,( a ? 0 )
n

例1 求下列各式的值:
3 ( ? 8) ( 1) ; 3

2 ( ? 10) ( 2) ;

4 ( 3) (3 ? ? ) 4 ;

(4) (a ? b)2 (a ? b). 注意符号

解:(1)3 (?8)3 ? ?8;

(2) (?10) 2 ? ?10 ? 10;
(3)4 (3 ? ? )4 ? 3 ? ? ? ? ? 3; (4) (a ? b) 2 ? a ? b ? a ? b (a ? b).

【总结提升】
根式化简或求值的注意点:

解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇
次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化

简或求值.

探究4:分数指数幂
根据示例完成
5

a10 ? 5 a
a
12

4

? ? ?a ? ? a ? a ? ______________
2 5

? a2 ? a
3

10 5

观察根式与 (a>0) (a>0)

分数指数幂
之间有什么

4

3 4

12 4

关系?

下列根式能写成分数指数幂的形式吗?
3

a2 ? a b ?b
1 2

2 3

(a>0)
(b>0) (c>0)

根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除哦

4

c ?c
5

5 4

探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢?

我们规定正数的正分数指数幂的意义是:

a ? a
n

m n

m

(a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)
*

注意指 数位置

我们规定正数的负分数指数幂的意义是:
a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N* , 且n ? 1)

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

思考1.分数指数幂与根式有何关系?

提示:分数指数幂是根式的另一种形式,它们可以
互化,通常将根式化为分数指数幂的形式,方便化简

与求值.
思考2. 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念 就可以从整数指数推广到了什么数集? 有理数集

例2 把下列的分数指数式化为根式,把根式化成

分数指数式.

(1)4 ?
3 2

3 5

5

4

3
2 3

; ;

(2)7

?5 3

?

1 3 5 7
9 7

;

(3) a ? a

(4) 7 a 9 ? a

.

规定了正数的分数指数幂的意义,我们就可
以实现分数指数幂与根式之间的相互转化

探究5:指数幂的运算
类比整数指数幂的运算性质我们能得到有理数指数幂

的哪些性质?
(1) ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q);
(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q);

(3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
r r r

3 ? 1 16 ?5 例3 求值:8 ; 25 ( ; )( , )4 . 2 81 ?

2 3

1 2

解析:8 ? (2 ) ? 2
? 1 2 ? 1 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

? 22 ? 4;

注意 数的 转化

1 2 ?1 25 ? (5 ) ? 5 ?5 ? ; 5 1 ?5 ( ) ? (2?1 ) ?5 ? 25 ? 32; 2 3 4?( ? ) 16 ? 3 2 2 ?3 27 4 4 ( ) ? ( ) ? ( ) ? . 81 3 3 8

1 2?( ? ) 2

例4 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

a3 ? a ; a 2 ? 3 a 2 ;

a3 a.

解题关键:将根式转化为有理数指数幂,根据 有理数指数幂的运算法则解决.
3 3 解析: a ? a ? a ?a ? a 1 2 3? 1 2

?a ;
?a ;
2 3
8 3

7 2

分清层次 由里向外

a2 ? 3 a2 ? a2 ? a ? a
1 1 3 2

2 3

2 2? 3

a 3 a ? (a ? a ) ? (a ) ? a .

4 1 3 2

例5.计算下列各式(式中字母都是正数):

(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b );

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2) (m n ) .

1 4

?

3 8 8

分析:根据有理数指数幂的运算法则和负分数指 数幂的意义求解.
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

解: (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
? [2 ? (?6) ? (?3)]a
1 4 ? 3 8 8

熟记运 算性质

2 1 1 ? ? 3 2 6

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab0 ? 4a;

2 m (2) (m n ) ? (m ) (n ) ? m2 n ?3 ? 3 . n ?

1 4 8

3 8 8

例6.计算下列各式:

(1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25;
(1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 解:

(2)

a2 a? a
3 2

(a ? 0).

? (5 ? 5 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ?5
2 1 ? 3 2 1 6

2 3

3 2

1 2

2 3

1 2

3 2

1 2

熟记运

?5

3 1 ? 2 2

算性质

? 5 ? 5 ? 6 5 ? 5;
(2) a2 a? a
3 2

?

a2 a ?a
1 2 2 3

?a

1 2 2? ? 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

探究6:无理数指数幂
探究点3 知道了有理数指数幂的意义,那么 无理数指数幂我们该如何理解呢? 观察表格: 5 2 是否表示一个确定的实数?

5 2的近似值

2 的不足近似值

9.518 9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738

269 699 171 305 461 508 516 517 517 …

694 729 039 174 907 928 765 705 736

1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …

的过剩近似值 1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
2

5 2 的近似值

11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752 …

由表格可以看出:5

2

可以由 2 的不足近

似值和过剩近似值进行无限逼近.
? a (a ? 0, ? 是无理数) 一般地,无理数指数幂 是一

个确定的实数,可以由有理数指数幂无限逼近而得到。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 幂指数的范围又扩

大到了实数

动笔练一练
1.设x+x-1=2,则x2+x-2的值为( D )

A. 8

B.±2

C. 4

D. 2

【解析】因为x+x-1=2,

所以(x+x-1)2=22,
即x2+x-2+2=4. 所以x2+x-2=2. 如何求x

?

1 2

?x

1 2

的值

呢?

2

2.用分数指数幂表示下列各式:
(1) (m ? n) 4 (m ? n)= (m ? n)2 ;

(2) p q ( p ? 0)= p 3 q
6 5

5 2

;

5 m3 (3) = m2 m

.

3. 计算下列各式的值:
36 3 (1) ( ) 2 = 49

216 343 ;

(2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12=

6

.

3 3 2? 36 6 6 3 216 2 2 解:(1)( ) ? ( ) ? ( )? ; 49 7 7 343
1 1 1? ? 3 3 1 1 1 ? ? 2 3 6

(2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 ? 2

?3

? 6.

4.求下列各式的值.
(1)(0.064)
? 1 3

7 0 ? (? ) ? ? 8
1

4 ? ?( ?2) 3 ? 3

?

? 16

?0.75

? ?0.01 ;

1 2

? 3 ?3 (2)( ?3 ) ? (0.002) 2 ? 10( 5 ? 2) ?1 ? ( 2 ? 3 ) 0 . 8

2

解析:(1)原式=
(2)原式=

0.4 ?1 ? 1 ? ( ? 2) ?4 ? 2 ?3 ? 0.1 ?
2 1

10 1 1 1 143 ?1? ? ? ? ; 4 16 8 10 80

27 ? 3 1 ?2 10 (? ) ? ( ) ? ?1 8 500 5?2 27 ) ? 10( 5 ? 2) ? 1 8 4 167 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? ? . 9 9 ?(
? 2 3 1 ? (500) 2

5.已知 100a ? 50,10b ? 2 ,求2a+b的值. 解析:∵ 100a ? 50,?102a ? 50

又∵ 10b ? 2,?102a ?b ? 100 ? 102
∴2a+b=2

小结:根式
根式

n次方根

根式的定义

根式的性质

底数的要求不同哦
幂指数
正整数 指数 零指数

定 义
an=a·a·…·a
n个

底数的取值范围
a∈ R a∈R且a≠0 a∈R且a≠0 m为奇数 m为偶数 a∈ R a≥ 0 a∈ R且 a≠0 a>0

a0=1
a ?n ?
n m

负整数 指数
正分数 指数 负分数 指数

1 (n ? N*) an

a ? m a n (m, n ? N*, 且m, n互质)
? n m

a

a 且m, n互质)

?

1
m n

(m, n ? N*,

m为奇数
m为偶数

小结:指数幂含义及运算
实 数 指 数 幂

整数指数幂
有理数指数幂 正分数指数幂 负分数指数幂

无理数指数幂
(1) ar ? as ? ar? s (a ? 0, r , s ? R);

运算法则

(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r , s ? R);

(3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R).

课后练一练

请同学们独立完成配套课后练习题。

下课!
谢谢同学们!


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