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2011版高中数学二轮专题复习学案-5.2椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)

时间:2011-04-04


专题五:解析几何
第二讲
【最新考纲透析】
1.圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质。 (4)了解圆锥曲线的简单应用。 (5)理解数形结合的思想。 2.曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)

【核心要点突破】
要点考向 1:圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程 考情聚焦:1.圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的 要求,但在选择题中仍然考查双曲线。 2.可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。 3.既可以以小题的形式考查(属中、低档题) ,也可以以解答题形式考查(属于中、高档题) 。 考向链接:1.已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。 2.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。 3.求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定 求 的值。 的等量关系,然后把 b 用 a、c 代换,

4.在双曲线中由于

,故双曲线的渐近线与离心率密切相关。

例 1: (2010·安徽高考理科·T19)已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上,离心率 e ?

1 。 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; 1 (3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由。 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单性质,点关于直线的对称性等知识,考查 考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平,探究意识,创新意识和综合运算求解能力. 【思路点拨】 (1)设出椭圆的标准方程,再根据题设条件构建方程(组)求解; (2)根据角平分线的性质求出直线 l 的斜率或直线 l 上的一个点的坐标,进而求得直线 l 的方程; (3)先假设椭圆 E 上存在关于直线 l 对称的相异两点,在此基础之上进行推理运算,求解此两点,根 据推理结 果做出判断。
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【规范解答】 (1)设椭圆 E 的方程为 由题意 e ?

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

c 1 4 9 ? , 2 ? 2 ? 1 ,又? c 2 ? a 2 ? b2 ,解得: c ? 2, a ? 4, b ? 2 3 a 2 a b

? 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 12

(2)方法 1:由(1)问得 F1 (? 2, 0), F2 (2,0) ,又 ? A ? 2, 3? ,易得 ?F AF2 为直角三角形,其中 1

AF2 ? 3, F1F2 ? 4, AF1 ? 5,
设 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 与 x 轴交于点 M , 根据角平线定理可知: 1

3 AF1 AF2 , 可得 F2 M ? , ? 2 F1M F2 M

1 ? M ( , 0) 2

1 x? y ?0 2 ,即 y ? 2 x ? 1 。 ? ? 直线 l 的方程为: 3?0 2? 1 2
方法 2:由(1)问得 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,又? A ? 2,3? ,? AF ? (?4, ?3) , AF2 ? (0, ?3) , 1

????

???? ?

???? ???? ? AF1 AF2 1 1 4 ? ? ???? ? ???? ? (?4, ?3) ? (0, ?3) ? ? (1, 2) , 3 5 | AF1 | | AF2 | 5

? kl ? 2 ,? 直线 l 的方程为: y ? 3 ? 2( x ? 2) ,即 y ? 2 x ? 1 。
(3)假设椭圆 E 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 、 Q , 令 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,且 P Q 的中点为 R( x0 , y0 )

? PQ ? l ,? kPQ ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 2

? x12 y12 ? 16 ? 12 ? 1(1) x 2 ? x12 y2 2 ? y12 ? ? ?0 又? ? ,两式相减得: 2 2 2 16 12 ? x2 ? y2 ? 1(2) ? 16 12 ?

?

x x2 ? x1 16 y2 ? y1 16 1 2 2 , ?? ? ? ? (? ) ? ,即 0 ? (3) y2 ? y1 12 x2 ? x1 12 2 3 y0 3

又? R( x0 , y0 ) 在直线 l 上,? y0 ? 2 x0 ?1 (4) 由(3) (4)解得: x0 ? 2, y0 ? 3 ,所以点 R 与点 A 是同一点,这与假设矛盾, 故椭圆 E 上不存在关于直线 l 对称的相异两点。 【方法技巧】 1、 求圆锥曲线的方程, 通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程, 再根据题设条件构建方程 (组)
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求解;. 2、利用向量表示出已知条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算; 3、对于存在性问题,其常规解法是先假设命题存在,再根据题设条件进行的推理运算,若能推得符 合题意的结论,则存在性成立,否则,存在性不成立。 要点考向 2:最值或定值问题 考情聚焦:1.以圆锥曲线为载体的最值或定值问题在高考题中几乎每年都涉及。 2.可与函数、不等式等知识交汇,体现知识间的联系。[来源:学.科.网] 3.多以解答题形式出现,属中高档题目。 考向链接:解析几何中的最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多样,但最常用的方法有以下几种: (1)利用函数,尤其是二次函数求最值; (2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值; (3)利用不等式,尤其是均值不等式求最值; (4)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值。 例 2: (2010·北京高考文科·T19)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离

心率是

6 ,直线 y ? t 与椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段 MN 为直 径作圆 P,圆心为 P. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. 【命题立意】 本题考查了求椭圆方程, 直线与圆的位置关系, 函数的最值。 要求学生掌握椭圆标准中 a, b, c 的关系,离心率 e ?

c .直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第(Ⅲ)问中 y 最大 a

值的求法用到了三角代换,体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出 c ,再利用离心率可求出 a , b 。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.

【规范解答】 (Ⅰ)因为

c 6 ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c2 ? 1 ? a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 2 2 由 ? x2 得 x ? ? 3(1 ? t ) 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t ) . 2 ? ? y ?1 ?3
| t |? 3(1 ? t 2 )
解得 t ? ?





3 3 .所以点 P 的坐标是(0, ? ). 2 2
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(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t)2 ? 3(1? t2 ). 因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。所以由图可知

3(1 ? t 2 ) ? xy2 ? t ? 3(1 ? t 2 )
当? ?



设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2

y

M P
O

N

x

【方法技巧】 (1)直线与圆 的位置关系: d ? r 时相离; d ? r 时相切; d ? r 时相交; (2)求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧. 要点考向 3:求参数范围问题 考情聚焦:1.与圆锥曲线有关的求参数范围问题在高考题中经常出现。 2.多在解答题中出现,属中高档题。 例 3: (2010·山东高考理科·T21)如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,以该 2 2 a b

椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆 的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1·2 ? 1 ; k (3)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立? 若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由. 【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线 的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试 题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3) 是一个开放性问题,考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】(1)根据离心率和周长构造含有 a, b, c 的方程组,可求出椭圆的方程,再根据双曲线为等轴双 曲线,且顶点是该 椭圆的焦点可求双曲线的方程;(2)设出点 P 的坐标,再将 k1 , k 2 用点 P 的坐标表示, 并利用点 P 在双曲线上进行化简; (3)设直线 AB 的斜率为 k ,则由(2)的结果可将直线 CD 的斜率用 k 表
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示,然 后设出直线 AB 与 CD 的方程,利用弦长公式将 AB 与 CD 表示出来,最后将 ? 用 k 表示出来,通 过化简可判断 ? 是否为常数. 【规范解答】 (1)由题意知,椭圆离心率为

c 2 ? ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) ,所以可解得 a 2

a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ;所以椭圆的焦点坐标为 8 4 x2 y 2 ? ?1. 4 4

( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为

(2)设点 P( x0 , y0 ) ,则 k1 =

y0 y0 y0 y0 , k2 = ,所以 k1·2 ? = ? k x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

x2 y2 y0 2 ,又点 P( x0 , y0 )在双曲线上,所以有 0 ? 0 ? 1,即 y02 ? x02 ? 4 ,所以 4 4 x0 2 ? 4

k1·2 ? k

y0 2 =1. x0 2 ? 4

(3)假设存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · k CD 恒成立,则由(2)知 k1·2 ? 1 ,所以设直线 AB 的 方程为 y ? k ( x ? 2) ,则直线 CD 的方程为 y ?

1 ( x ? 2) , k

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由方程组 ? x 2 y 2 消 y 得: (2k ?1) x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , ?1 ? ? 4 ?8
则由韦达定理得: x1 ? x2 ?
2

?8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 2 , 2k 2 ? 1 2k ? 1
2

4 2(1 ? k 2 ) 所以|AB|= 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = ,同理可得 2k 2 ? 1

1 ) 2 1 2 ' ' 2 k 2 = 4 2(1 ? k ) , |CD|= 1 ? ( ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = 1 k2 ? 2 k 2? 2 ?1 k 4 2(1 ?
又因为 AB ? CD ? ? AB · CD ,所以有 ? ?

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 ? = + | AB | | CD | 4 2(1 ? k 2 ) 4 2(1 ? k 2 )

=

3 2 3k 2 ? 3 3 2 ,所以存在常数 ? ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立。 ? 8 8 4 2(1 ? k 2 )

【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题 1、基本特征:要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论和参数无关. 2、基本策略:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导
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出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几 何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的. 注:与圆锥曲线的参数问题是高考考查的热点问题。解决这类问题常用以下方法: (1)根据题意建立参数的不等关系式,通过解不等式求出范围; (2)用其他变量表示该参数,建立函数关系,然后利用求值域的相关方法求解; (3)建立某变量的一元二次方程,利用判别式求该参数的范围; (4)研究该参数所对应几何意义,利用数形结合法求解。 要点考向 4:圆锥曲线综合问题 考情聚焦:1.圆锥曲线综合问题,特别是直线与圆锥曲线的关系,圆锥曲线与向量相结合的题目是 新课标高考重点考查的内容。[来源:Zxxk.Com] 2.呈现方式可以是选择题、填空题,属中档题,也可以是解答题,属中高档题。 例 4: (2010·江苏高考·T18)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右 9 5

顶点为 A、B,右焦点为 F。设过点 T( t, m )的直线 TA、TB 与此椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) , 其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。 【命题立意】本题主要考查求曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程及 其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。 【思路点拨】 (1)设出 P 点的坐标,然后代入 PF ? PB ? 4 ,化简即可;(2) 点 T 为直线 MT 和 NT 的
2 2

交点; (3)联立直线 MAT、直线 NBT 和椭圆方程,求出 M 和 N 的坐标,从而求出直线 MN 的方程,进而求证 结论. 【规范解答】 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2)将 x1 ? 2, x 2 ? 直线 MTA 方程为:

9 。 2

5 1 1 20 分别代入椭圆方程,以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:M(2, ) 、N( , ? ) 3 3 3 9

1 y ?0 x?3 ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3
5 5 y ?0 x ?3 ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

直线 NTB 方程为:

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?x ? 7 10 ? 联立方程组,解得: ? 10 ,所以点 T 的坐标为 (7, ) 。 3 ?y ? 3 ?
(3)点 T 的坐标为 (9, m) 直线 MTA 方程为:

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6

直线 NTB 方程为:

分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x? 20 ? m2 20 ? m2 方法一:当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 [来源:学科网] y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方 程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 方法二:若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m 2 10m ,得 kMD ? kND ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 ? m ? 2 3m ? 60 40 ? m2 ?1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。 【方法技巧】由于定点、定值是变化中得不变量,引进参数表述这些量,不变的量就是与参数无关的量, 通过研究何时变化的量与参数无关,找到定点或定值的方法叫做参数法,其解题的关键是合适的参数表示 变化的量. 当要解决动直线过定点问题时,可以根据确定直线的条件建立直线系方程,通过该直线过定点所满足 的条件确定所要求的定点坐标.

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【高考真题探究】
1. (2010·福建高考文科·T11)若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上 4 3

??? ??? ? ? 的任意一点,则 OP ? FP 的最大值为(
A.2 B.3 C.6

) D.8

【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点,设 P 为动点,依题意写出 OP ? FP 的表达式,进而转化为求解条件最 值的问题,利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选 C,设 P ? x0 , y0 ? ,则

??? ??? ? ?

x 0 2 y0 2 3x 2 ? ? 1即y0 2 ? 3 ? 0 ,又因为 F ? ?1,0? 4 3 4

??? ??? ? 1 1 2 又 2 ? OP ? FP ? x 0 ? ? x 0 ? 1? ? y02 ? x 0 2 ? x 0 ? 3 ? ? x 0 ? 2 ? ? 2 , x0 ???,2 4 4
所以

? , ?? OP ? FP ? ? ? 2, 6? ,

??? ??? ?

?OP ? FP ?

??? ??? ? ?

max

? 6.

2. (2010·安徽高考理科·T5)双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为( ) A、 ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义,考查考生对双曲线方程理解认知水平. 【思路点拨】方程化为标准形式 ? 确定实半轴 a 和虚半轴 b ? 由 c ? a2 ? b2 求半焦距 c

? 确定右焦点坐标 .
【规范解答】选 C,? 双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,
?

a ? 1, b ?

2 2 2 6 ,得 c ? a 2 ? b2 ? 12 ? ( , ) ? 2 2 2
? 6 ? ? 2 , 0 ? ,故 C 正确. ? ? ?
2

?

它的右焦点坐标为 ?

3. (2010·福建高考理科·T2)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

B. x ? y ? x ? 0
2 2

C. ? ? y ? x ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解.

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【思路点拨】 y 2 ? 2 px 的焦点为 F (

p ,0) ,求解圆方程时,确定了圆 心与半径即可. 2

【规范解答】选 D,抛物线的焦点为 F (1,0) ,又圆过原点,所以 R ? 1 , 方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 . 【方法技巧】方法一: (设圆的标准方程)? 抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? 圆心为 ?1,0 ? ,设圆的方程为

? x ? 1?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? ,又? 圆过原点 ? 0, 0 ? , ? ? 0 ? 1? ? 02 ? r 2 ? r ? 0 ? ,? r 2 ? 1 ,? 所求圆的方
2 2

2 程为 ? x ? 1? ? y ? 1 即为 x 2 ? 2x ? y2 ? 0 ;

方法二: (设圆的一般方程)设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,? 抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? 圆心

?D ? 2 ? 1 ?D ? 2 ? 2 ,? ? 为 ?1,0 ? , ? ? ,又圆过原点, F ? 0 ,? r ? 1 ,? 所求圆的方程为 x 2 ? 2x ? y2 ? 0 . ?E ? 0 ?E ? 0 ?2 ?
4. (2010·福建高考文科·T19)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2). (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由. 5

【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数方程思想、 数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程;第二步依题意假设直线 l 的方程为

y ? ?2x ? t ,联立直线与抛物线的方程,利用判别式限制参数 t 的范围,再由直线 OA 与直线 l 的距离等


5 列出方程,求解出 t 的值,注意判别式对参数 t 的限制. 5
2

2 【规范解答】 (I)将 ?1 ? 2 ? 代入 y ? 2 px ,得 ? ?2 ? ? 2 p ?1 ,? p ? 2 , ,

故所求的抛物线方程为 y ? 4 x ,其准线方程为 x ? ?1 ;
2

(II)假设存在符合题意的直线 l ,其方程为 y ? ?2 x ? t ,由 ?

? y2 ? 4x ? y ? ?2 x ? t

得 y ? 2 y ? 2t ? 0 ,因为直线
2

1 l 与抛物线 C 有公共点,所以 ? ? 4 ? 8t ? 0 ,解得 t ? ? 。另一方面,由直线 OA 与直线 l 的距离等 2
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t 5 5 ? 1 ? ? 1 ? 可得 ? ,?t ? ?1 ,由于 ?1? ? ? , ?? ? ,1? ? ? , ?? ? , ,所以符合题意的直线 l 存在, 5 5 5 ? 2 ? ? 2 ?

其方程为 y ? ?2 x ? 1 . 【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式 ? 的限制.因 为抛物与直线有交点,注意应用 ? ? 0 进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围. 5. (2010·重庆高考文科·T21)已知以原点 O 为中心, F ( 5,0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ? (1)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (2)如 图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y2 ) (其中 x2 ? x1 )的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交与 G , H 两点, 求 OG? OH 的值. 【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识,考查直线方程的基础知识,考查 平面向量的运算求解能力,体现了方程的思想和数形结合的思想方法. 【思路点拨】 (1)由 c 求出 a ,再由 c ? a ? b 求出 b ; (2)点 E 是关键点,根据点 E 的坐标求出直线
2 2 2

5 . 2

???? ????

MN 的方程,解两条直线组成的方程组的点 G,H 的坐标,即向量 OG , OH 的坐标,再进行向量的数量积运 算,化简、整理可得.

???? ????

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 【规范解答】(1)设 C 的标准方程为 a ( a , b ? 0 ),

则由题意知 c ?

5 ,又

e?

c 5 ? a 2 , 所以 a ? 2 ,

x2 ? y2 ? 1 2 2 b ? c ? a ? 1,C 的标准方程为 4
1 y?? x 2 ,即 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 .[来源:Zxxk.Com] C 的渐近线 方程为
(2) (方法一)由题意点 因此有

E( xE , yE ) 在直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 和 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 上,

x1xE ? 4 y1 yE ? 4 , x2 xE ? 4 y2 yE ? 4 , xE x ? 4 yE y ? 4 上,因此直线 MN 的方程为 xE x ? 4 yE y ? 4 ;
第 10 页 共 23 页

所以点 M,N 均在直线

设 G,H 分别是直线 MN 与渐近线 x ? 2 y ? 0 及 x ? 2 y ? 0 的交点,

4 4 ? ? ? xH ? x ? 2 y ? xG ? x ? 2 y ? ? E E E E ? ? 2 ?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 y ? 0 2 ?y ? ?y ? ? ? H G ? xE ? 2 y E x x ? 4 yE y ? 4 ? xE x ? 4 yE y ? 4 xE ? 2 y E ? 解方程组 ? E 及 得: ? ,? , ???? ???? 4 2 4 2 OG ? ( , ) OH ? ( , ) xE ? 2 yE xE ? 2 yE , xE ? 2 yE xE ? 2 yE ,[来源:学科网] 所以

???? ???? OG? OH ?


4 4 2 2 12 ? ? ? ? 2 xE ? 2 yE xE ? 2 yE xE ? 2 yE xE ? 2 yE xE ? 4 yE 2 ,

???? ???? 12 x2 OG? OH ? 2 ?3 ? y2 ? 1 2 2 xE ? 4 yE ? 4 ,所以 xE ? 4 yE 2 4 因为点 E 在双曲线 上,有 .

(方法二)设

E( xE , yE ) ,由方程组

? x1 x ? 4 y1 y ? 4 ? ? x2 x ? 4 y2 y ? 4

xE ?
解得

4( y2 ? y1 ) x1 ? x2 yE ? x1 y2 ? x2 y1 , x1 y2 ? x2 y1 ,

因为

x2 ? x1 ,所以直线 MN 的斜率
y ? y1 ? ?

k?

y2 ? y1 x ? E x2 ? x1 4 yE ,

故直线 MN 的方程为 因此直线 MN 的方程为 以下与解法一相同.

xE ( x ? x1 ) x x ? 4 y1 yE ? 4 , 4 yE ,注意到 1 E

xE x ? 4 yE y ? 4 .

【方法技巧】 (1)字母 运算是解答本题的主要特点; (2)已知与未知的相互转化,即关于点 E 的坐标两个 等式 x1 xE ? 4 y1 yE ? 4 和 x2 xE ? 4 y2 yE ? 4 ,通过转化 字母的已知与未知的关系, xE 和 yE 看作已知,点 (3)关键点 E 在解题中的关 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 代入方程 xE x ? 4 yE y ? 4 所得,简捷得到直线 MN 的方程; 键作用. 6. (2010·海南高考理科·T20)设 F1 , F2 分别是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率 a 2 b2

为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (Ⅰ)求 E 的离心率;[来源:学|科|网] (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 PA ? PB ,求 E 的方程. 【命题立意】本题综合考查了椭 圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时,一
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定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识. 【思路点拨】利用等差数列的定义,得出 AF2 , AB , BF2 满足的一个关系,然后再利用椭圆的定义进行 计算. 【规范解答】 (Ⅰ)由椭圆的定义知, AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 得

AB ?

4 a l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 3 ,

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A, B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b


化简得, (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2cx ? a2 (c2 ? b2 ) ? 0

x1 ? x2 ?

?2a 2c a 2 (c 2 ? b2 ) , x1 x2 ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?

2 x2 ? x1 ? 2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1x2 ? ? ?



4a 4ab2 c a 2 ? b2 2 2 2 ? 2 ,故 a ? 2b ,所以 E 的离心率 e ? ? . ? 2 3 a ?b a a 2
c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? . 2 3 2 a ?b 3

(Ⅱ)设 A, B 两点的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(Ⅰ)知 x0 ?

由 PA ? PB ,可知 kPN ? ?1 .即

y0 ? 1 ? ?1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3 . x0

x2 y 2 ? ? 1. 椭圆 E 的方程为 18 9
【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质,从题目中提取有价值的信息,然后列出方程组进行 相关的计算.

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是

? ?1,0? , ?1,0? ,并且经过点 ? 2, 0 ? ,则它的标准方程是
x2 y 2 ? ?1 4 C. 3 x2 y 2 ? ?1 3 D. 4





x2 y 2 ? ?1 3 A. 2

x2 y 2 ? ?1 2 B. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 2.已知椭圆 a 的长轴长是短轴长的 2 倍,斜率为 1 的直线 l 与椭圆相交,截得的
第 12 页 共 23 页

弦长为正整数的直线 l 恰有 3 条,则 b 的值为(



2 A. 2

B. 2

C.

3 2

D.

6 2

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 F、F F b 3.已知 1 2 分别是双曲线 a 的左、右焦点,过 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线
于 A 、 B 两点,若 (A)

?ABF2 为锐角三角形,则双曲线的离心率的范围是(
(B)

)

?1,1 ? 2 ?

?1 ?

2, ??

?

(C)

?1 ?

2,1 ? 2

?

(D)

?

2, 2 ? 1

?

5 x2 y2 6 , 且a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 a b 4.两个正数 a、b 的等差中项是 2 , 一个等比中项是 的离心率 e 等于
( )

3 A. 2
2

15 B. 2

C. 13

13 D. 3
( )

5.已知抛物线 y ? 4 x ,以 (1,1) 为中点作抛物线的弦,则这条弦所在直线方程为 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 2 y ? 3 ? 0

1 x2 y 2 e? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 ,左焦点为 F,A、B、C 为其三个顶点,直线 CF b 6.如图所示,椭圆 a 的离心率
与 AB 交于 D,则 tan ?BDC 的值等于 ( )

A. 3 3

B. ?3 3

3 C. 5

? 3 D. 5

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于两点 A、 B,交其准线于 C ,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3, 则此抛物线的方程为_______.

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8.某抛物线形拱桥的跨度为 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根柱支撑,其中最高支柱的 高度是 .
0 9.过双曲线 x ? y ? 2 的右焦点 F 作倾斜角为 30 的直线,交双曲线于 P,Q 两点,则|PQ|的值为

2

2

__________. 三、解答题(10、11 题 15 分,12 题 16 分)
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 10.如图、椭圆 a 的一个焦点是 F(1,0) 为坐标原点。 ,O

(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线任意转动,都有

OA ? OB ? AB
2 2

2

,求 a 的取值范围.

2 11.如图,倾斜角为α 的直线经过抛物线 y ? 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。

(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若α 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2α 为定值,并求此定 值。 12. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 F,F b 已知点 1 2 是双曲线 M: a 的左右焦点,其渐近线为 y ? ? 3x ,且右顶点到左焦点的
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距离为 3. (1)求双曲线 M 的方程; (2) 过

F2

? ??? ??? ? ? n ? (k , ?1),(k ? 0) ,且 OA ? OB ? 0 , 的直线 l 与 M 相交于 A 、 B 两点,直线 l 的法向量为

求 k 的值;

??? ??? ? ? ???? ? OA ? OB ? mF2C ,求 m 的值及△ (3)在(2)的条件下, 若双曲线 M 在第四象限的部分存在一点 C 满足
ABC 的面积

S?ABC .

参考答案
一、选择题 1.D2.C3.A4.D5.B6.B 二、填空题 7. 【解析】分别作 A、B 在 l 上的射影 A1、B1,∴|AA1|=|AF|=3,

|BB1|=|BF|=

|BC|. ∴ ∠ BCB1=30 ° , ∴ |AC|=2|AA1|=6, ∴ |FC|=3. ∴ p=

|FC|=

.∴抛物线方程为

y2=3x.答案:y2=3x 8.3.84 米 9. 4 2 三、解答题

OF ?
10. 【解析】(1)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形,所以 ---------------------2 分

3 MN 2 ,

3 2b ? , 解得b= 3. 即 1= 2 3

-------------------------------------------------------4 分

x2 y 2 ? ? 1. a2 ? b2 ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为 4 3 ----------------------------------6 分
(2)设

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
第 15 页 共 23 页

①当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),
2 2 2

因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

----------8 分

②当直线 AB 不与 x 轴重合时,

x2 y 2 x ? my ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1, a b 设直线 AB 的方程为:
整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0,
2 2 2 2 2 2 2 2

所以

y1 ? y2 ?
2

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 ? 2 a 2 ? b 2 m2 a ? b2 m2 ------------------------------10 分
2 2

因为恒有

OA ? OB ? AB

,所以 ? AOB 恒为钝角.

??? ??? ? ? OA? ? ( x1, y1 )? x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立. OB ( 即
x1 x2? y1 y2?( m y 1) ( m y 1)? ? ? 1 2
1

y y 2( m 1) 1y 2y ? ? ? 2

( 1y m?

2

)y 1 ?

2 (m 2 ? 1 )b( 2 ? a b 2 ) b 2 2 2 m ? 2 ?1 2 2 2 a ?b m a ? b m2 2 2 ?m 2 a 2 2? b ? a b 2 ?2a 2 b ? ? 0. a 2 ? b 2m 2 -------------------------------------- ---12 分 又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m ? R 恒成立. 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m ? R 恒成立. 当 m ? R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,

?

因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0,

1? 5 1? 5 1? 5 解得 a> 2 或 a< 2 (舍去),即 a> 2 , -------------------------15 分
2 11. 【解析】 :设抛物线的标准方程为 y ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4.

p p F ( ,0) x?? 2 因此焦点 2 的坐标为(2,0). 又准线方程的一般式为

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 ……………(6 分) (Ⅱ)解:如图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义知

第 16 页 共 23 页

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则
xx ? p p p 4 ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a , 解得

|FA|=|AC|= 类似地有

| FB |? 4? | FB | cos a

,解得

| FB |?

4 1 ? cos a

记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ? | FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a

| FP |?
所以

| FE | 4 ? cos a sin2 a
4 sin 2 a (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a sin 2 a ?8

| FP | ? | FP | cos 2a ?



………………………(15 分)

y2 x ? ?1 3 12. 【解析】 (1) 由题意得 .…………………………………………………………4 分
2

? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? ? y ? k ( x ? 2) (3 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 3) ? 0 (2) 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,由 ? 得 (*)
? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ? 3 ? k 2 ? ? 2 ? x ? x ? ? 4k ? 3 ? 1 2 3 ? k 2 ………………………………………………………………6 分 所以 ?

??? ??? ? ? OA ? OB ? 0 得 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 由



(1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 0

k ??
代入化简,并解得

3 5 (舍去负值)……………………………………………9 分

k?
(3)把

3 5 代入(*)并化简得 4 x 2 ? 4 x ? 9 ? 0 ,
第 17 页 共 23 页

? x1 ? x2 ? ?1 ? ? 9 ? x1 ? x2 ? ? 4 此时 ? ,
所以

| AB |? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? ? 4 ? ?

…………………………………11 分

1 ? ? x0 ? 2 ? m ? ? ??? ??? ? ? ???? ? y ? ? 15 ? C ( x0 , y0 ) ,由 OA ? OB ? mF2C 得 ? 0 m 代入双曲线 M 的方程解得 ? 设
m?? 3 3 15 C( , ? ) 2 (舍) 2 ,……………………………………14 分 ,m=2,所以 2

d?
点 C 到直线 AB 的距离为

3 2,

所以

S ?ABC ?

1 d ? | AB |? 6 2 .……………………………………………………16 分

【备课资源】

第 18 页 共 23 页

3. 点 M(5,3)到抛物线 x2=ay(a>0)的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是_______.

【解析】抛物线的准线方程为 y=- ,由题意知 3+ =6,∴a=12.∴抛物线方程为 x2=12y. 答案:x2=12y

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