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时间:2015-01-28


幂函数
【教材分析】 本节内容选自人教版高中数学必修一第二章三节—幂 函数,是三类重要的且常用的基本初等函数之一。在此之前,学生已 经学习了一次函数、二次函数、反比例函数,其特殊形式将为幂函数 的学习做了铺垫。教材通过一般的量与量之间的函数关系,其函数所 具有的共同特征,引出一般的幂函数形式,循序渐进,符合学生的认 知水平。 【学情分析】 学生在此之前已经接触了部分幂函数,使学生已经对 幂函数有了初步的理解,相对于指数函数与幂函数具有易接受性。学 生也已经掌握了对于函数图像与性质的探索方法, 将对本节课有很大 的帮助。 【教学目标】 知识与技能: 掌握一般幂函数 像及性质。 过程与方法:通过几种特数量的函数关系,引入幂函数的定义。并对 常见的几个幂函数的图像及性质进行研究。 情感态度价值观:感受数学具有规律性,数学的对称美。 【教学重点】 对幂函数定义的理解和一般幂函数的图像和性质的掌 握。 【教学难点】理解常量 a 的变化对幂函数的图像和性质的影响 【教学方法】参与式教学 的定义和五种特殊的幂函数的图

【教学过程】 教学 环节 观察以下几个函数关系: 通过实际 教学内容 设计意图

1.如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需 案 例 中 数 要支付 p=w 元,这里 p 是 w 的函数; 2.如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积=^2, 这里 s 是 a 的函数; 案 例 3.如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V=^3, 引入 这里 V 是 a 函数; 4.如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方 形的边长 a=^(1/2) 这里 a 是 S 的函数; 5.如果人 t s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均 速度 v=^(?1) km/s 这里 v 是 t 的函数. 思考:以上量与量之间的函数关系,如果全部看做是 y 与 x 之间的函数关系,他们有什么样共同特征? 一般地,函数 =^ 叫做幂函数,其中 是自变量,a 从 形 式 上 引 出 是常数。 概念 特点: 1.系数为 1 2.底数是自变量 3.指数是常数 严格给出 幂函数的 定义。 量存在的 函数关系 入手, 让学 生找出它 们的一般 特征, 为幂 函数定义 的引入做 铺垫。

我们现在讨论 α =1,2,3, 在坐标系中分别画出 分类 讨论

,–1 时的情形:

掌握常见 的几个幂 函数的图

y ? x ,y ? x 2 ,y ? x 3 ,y ? x ,y ? x ?1
的图像。前面我们已经学过一次函数、二次函数、反比 例函数的图像性质。今天将着重对 y ? x
1 2

1 2

像与性质。

和y ? x3

自 主 的图像与性质进行学习。 探究 动手操作:利用列表-描点-连线的方法画出 y ? x 和
1 2

y ? x 3 的图像并得出其性质。
从定义域、值域、单调性、奇偶性角度出发,得出幂 函数的性质。 当 α >0 时,幂函数 有下列性质: 讨论一般 情况下 a 的 a、图像都经过点(1,1)(0,0) ; 大小对幂 b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数; 函数性质 当 α <0 时,幂函数 思维 拓展 有下列性质: 的影响。

a、图像都通过点(1,1) ; b、图像在区间(0,+∞)上是减函数; 当 a=0 时,幂函数 a、 有下列性质:

的图像是直线 y=1 去掉一点(0,1) 。

它的图像不是直线。(

没有意义)

如果 a=p/q,且 p、q 互质,q 和 p 都是整数, 则 x^(p/q)=q 次根号下(x 的 p 次方) ,如果 q 是奇数, 函数的定义域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是 [0,+∞) (a>0)或是(0,+∞) (a<0)

1.判断下列函数是否为幂函数:
(1) y ? x 4 , (2) y ? 12 x
1

加深对知 识的理解, 提升学生 的数学思 维能力。

, y ? ?x2 ,

(4) y ? x 2 , (5) y ? 2 x , (6) y ? x3 ? 2

2.求下列幂函数的定义域:
(1) y ? x
2 3

; (2) y ? x 2 。 ,0) 是 增 函 数 的

?

3

巩 固 3. 下 列 函 数 中 , 在 (- ∞ 练习

是:(

)
3

A. y ? x3 B. y ? x2 C. y ? 1 D. y ? x 2
x

课堂 小结 【板书设计】

进行知识 梳理。

2.3 幂函数
定义:

习题演练去


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