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用均值不等式求最值的方法和技巧1

时间:2012-10-26


用均值不等式求最值的方法和技巧
1. a ? b ? c ? 3 abc ? abc ?
3 3 3

a ?b ?c
3 3

3

3
3

( a 、 b 、 c ? R ), 当且仅当 a

?

= b = c

时,“=”

号成立; 2. a ? b ? c ? 3 3 abc ? abc ? ? ? 号成立. 熟悉一个重要的不等式链:
2 1 a ? 1 b
? ab ? a?b 2 ?
a?b?c? ? ? (a、 b、 c ? R ) 3 ? ?
2

,当且仅当 a = b = c 时, =” “

a ?b 2

2



二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ? 解析:
y ? x? 1 2( x ? 1)
2

1 2( x ? 1)
2

( x ? 1) 的最小值。

( x ? 1) ? ( x ? 1) ?

1 2( x ? 1)
2

? 1( x ? 1) ?

x ?1 2

?

x ?1 2

?

1 2( x ? 1)
2

? 1( x ? 1)

? 33

x ?1 x ?1 1 x ?1 1 3 5 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ,当且仅当 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时, = ” “ 2 2 2 2 2 2( x ? 1) 2 2( x ? 1) 2
5 2

号成立,故此函数最小值是 。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积 为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值: ① y ? x 2 (3 ? 2 x )(0 ? x ? )
2 3

② y ? sin 2 x cos x (0 ? x ?
3 2

?
2

)

解析: ①? 0 ? x ?
?[ x ? x ? (3 ? 2 x ) 3

3 2
3

,∴3 ? 2 x ? 0 ,∴ y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?
2

) ? x ? x ? (3 ? 2 x )

] ? 1 ,当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时, =”号成立,故此函数最大值 “

是 1。②? 0 ? x ?

?
2

,∴ sin x ? 0, cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求

y2 的最大值。
1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 y ? sin x ? cos x ? sin x ? sin x ? cos x ? (sin x ? sin x ? 2 cos x ) 2

?

1 2

?(

sin x ? sin x ? 2 cos x
2 2 2

3

) ?
3

4 27

, 当 且 仅 当 sin 2 x ? 2 cos 2 x ( 0 ? x ?

?
2

) ? t a nx ?

2, 即

x ? a r ca n t

2 时,不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是

2 3 9



评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为
1

常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进 行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y ? R ? ,求 f ( x ) ? x ?
4 x
( 0 ? x ? 1) 的最小值。

解法一: (单调性法)由函数 f ( x ) ? ax ? ( a、 b ? 0) 图象及性质知,当 x ? (0,1] 时,
x

b

函数 f ( x ) ? x ? 证明:

4 x

是减函数。

任取 x1 , x 2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? (
? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? x 2 ? x1 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 4 x1 x 2

4 x1

?

4 x2

)



∵ 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,∴ x1 ? x 2 ? 0,

x1 x 2 ? 4 x1 x 2

?0,
4 x

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,即 f ( x ) ? x ? 故当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?
4 x

在 (0,1] 上是减函数。

在 (0,1] 上有最小值 5。
4 x

解法二: (配方法) 0 ? x ? 1 , 因 则有 f ( x ) ? x ?
??
2 x ? x ? 0 且单调递减,则 f ( x ) ? ( 2 x
4 x
2

?(

2 x

?

x) ? 4 , 易知当 0 ? x ? 1 时,
2

? x ) ? 4 在 (0,1] 上也是减函数,即 f ( x ) ? x ?

4 x

在 (0,1] 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?
4 x

在 (0,1] 上有最小值 5。
4 x
2

解法三: (导数法) f ( x ) ? x ? 得 f ?( x ) ? 1 ? 由 则函数 f ( x ) ? x ? 值 5。 解法四: 拆分法)f ( x ) ? x ? (
4

, x ? (,] 当 0 1

时, f ?( x ) ? 1 ?
4 x

4 x
2

? 0,

4 x

在 (0,1] 上是减函数。故当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?

在 (0,1] 上有最小

1 3 1 3 当且仅当 x ? 1 ( 0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 , x x x 1 x

时“=”号成立,故此函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一 般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 4、条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足 ?
x 8 1 y ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。

解法一: (利用均值不等式)
x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y ) ? 10 ? ? x y y x
8 1 x 16 y
? 10 ? 2 x 16 y ? ? 18 y x

,当且仅当

?8 1 ?x ? y ?1 ? ? ? x ? 16 y ?y x ?



2

x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。

解法二: (消元法) 由
8 x ? 1 y ?1



y ?

x x?8

, 由
16

y?0

x ? x?8

又 0 ?

x

0 ?

x? 则8 ?

? 10 ? 18 。当 x?8 x?8 x?8 x?8 x?8 16 且仅当 x ? 8 ? 即 x ? 12, 此 时 y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 x?8
x ? 2y ? x ?

2x

? x?

2( x ? 8) ? 16

? x?2?

? ( x ? 8) ?

16

? 10 ? 2 ( x ? 8) ?

16

解法三: (三角换元法)
?8 2 8 ? ? x ? sin x ? x ? sin 2 x 令? 则有 ? ? ? 1 1 2 ? ?y ? ? cos x 2 ? ?y cos x ? ? 8 2 则 x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 8 csc 2 x ? 2 sec 2 x ? 8(1 ? cot 2 x ) ? 2(1 ? tan 2 x ) ? 10 ? 8 cot 2 x ? 2 tan 2 x sin x cos x

? 10 ? 2 (8 cot x ) ? (2 tan x ) ? 18 ,易求得 x ? 12, 此 时 y ? 3 时“ = ”号成立,故最小值是
2 2

18。 评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误 的求解方法: x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y ) ? 2
x y 8 1 8 1 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件 x y

不一致。 5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 解法一: 由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy ,即 ( xy ) 2 ?2 xy ?3 ? 0 解得
xy ? ? 1 (舍 )或 xy ? 3 ,当且仅当 x ? y且 xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的
x? y 2

取值范围是 [9, ?? ) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? (
) ? ( x ? y ) ? 4( x ? y ) ? 12 ? 0 ? x ? y ? ? 2(舍 )或 x ? y ? 6 ,当且
2
2

仅当 x ? y且 xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ?? ) 解法二: 由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 , 则y?
xy ? x ?

x?3 x ?1
x?3 x ?1 ?

,由 y ? 0 ?
x ? 3x
2

x?3 x ?1
2

? 0 ? x ? 1 ,则:
? ( x ? 1) ? 4 x ?1 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ?

x ?1

?

( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 4 x ?1

4 x ?1

? 5 ? 9 ,当

且仅当 x ? 1 ?
x? y ? x?

4 x ?1

( x ? 0)即 x ? 3 , 并求得 y ? 3 时取 =” 故 xy 的取值范围是 [9, ?? ) 。 “ 号,
x ?1? 4 x ?1 4 x ?1 4 x ?1 4 x ?1

x?3 x ?1

? x?

? x?

? 1 ? ( x ? 1) ?

? 2 ? 2 ( x ? 1) ?

?2?6, 当

且仅当 x ? 1 ?

4 x ?1

( x ? 0)即 x ? 3 , 并求得 y ? 3 时取 =” 故 xy 的取值范围是 [9, ?? ) 。 “ 号,
3

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数 分析:
1
2

y ? 3x ?
2

16 2? x
2

的最小值.

3x ?
2

16 2? x
2

是二项“和”的形式,但其“积”的形式不为定值. 1,因此可以先添、减项 6,即

而 2 ? x 可与 x
y ? 3x ? 6 ?
2

2

? 2 相约,即其积为定积
?6

16 2? x
2

,再用均值不等式.
2

解 : x ? 2 ? 0, y ? 3 x ?
2

16 2? x
2

? 3( x ? 2) ?
2 2

16 2? x
2

?6 ?6

? 2 3( x ? 2) ? ?8 3?6

16 2? x
2

当且仅当 最小值是 8
3?6.

3( x ? 2) ?
2

16 2? x
2

,即

x ?
2

4 3 3

?2

时,等号成立. 所以 y 的

评注 为了创造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧; 为了保证式子的值不变,添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3 x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值. 分析
lg x ? lg y ? lg( xy ) , xy 是二项“积”的形式,但不知其“和”的

形式 x ? y 是否定值, 而已知是 3x 与 2 y 的和为定值 12 ,故应先配系数,即将 xy 变形为
3x ? 2 y 6

,再用均值不等式.
4

解 : x ? 0, y ? 0 lg x ? lg y ? lg( xy ) ? lg
2

3x ? 2 y 6

? 1 ? 3x ? 2 y ? ? ? 1 ? 12 ? 2 ? ? lg ? ? ? ? ? lg ? ? ? ? 2 ? ? ?6 ? ?6 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? lg 6

当且仅当 3 x ? 2 y ,即 x ? 2, y ? 3 时,等号成立. 所以 lg x ? lg y 的最大值是
lg 6 .

评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利
?a?b? ab ? ? ? ? 2 ? 用
2

来解决.

3、 裂项 例 3 已知 x ? ? 1 ,求函数
y?

? x ? 5? ? x ? 2?
x ?1

的最小值.

分析 在分子的各因式中分别凑出 x ? 1 ,借助于裂项解决问题.
解 : x ? 1 ? 0y , ? ? ( x ? 1) ? ?9
x ?1 ? 4 x ? 1 ,即 x ? 1 时,取等号.

4 ? ? x ? 1? ? ? ? ? x ? ? ?? x ?1 4 x ?1

1 ??

? ?

1

4 x ?1

? 5 ? 2 ( x ? 1) ?

?5

当且仅当 4、 取倒数

所以 y min

?9

.

例 4 已知

0? x?

1 2

,求函数

y?

( x ? 1)

2

x (1 ? 2 x )

的最小值.

分析 分母是 x 与 (1 ? 2 x ) 的积,可通过配系数,使它们的和为定值; 也可通过配系数,使它们的和为 (1 ? x ) (这是解本题时真正需要的).于是 通过取倒数即可解决问题.

5

解 由

0? x?

1 2

,得1 ? x ? 0 , 1 ? 2 x ? 0 .
1 y ? x (1 ? 2 x ) (1 ? x )
2

?

1

3 1? x 1? x ? ? 1 ? ? 12 ? ?
x? 1 5 时,取等号.
2

?

3x

?

1? 2x

取倒数,得

1? 2x ? 3x ? 1 ?1? x 1? x ? ? 3? 2 ?
3x ? 1? 2x 1? x

当且仅当 1 ? x

,即

故 y 的最小值是 12 . 5、 平方 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且
2x ?
2

y

2

3

?8

求x

6? 2y

2

的最大值.

分析 条件式中的 x 与 y 都是平方式,而所求式中的 x 是一次式, y 是 平方式但带根号.初看似乎无从下手,但若把所求式 x 题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来解决.
解 :x 6 ? 2 y ) ? x (6 ? 2 y ) ? 3 ? 2 x (1 ? (
2 2 2 2 2 2 ? 2 y ? )? ? 2 x ? (1 ? 9 2 3 ? 3? ? ? 3( ) 2 2 ? ? ? ? ? ?
2

6? 2y

2

平方,则解

y

2

3

)

2

当且仅当 故x
6? 2y
2

2 x ? (1 ?
2

y

3

)

,即
3

x?

3 2



y?

42 2

时,等号成立.

9

的最大值是 2

.
6? 2y
2

评注 本题也可将 x 纳入根号内,即将所求式化为 x 数,再运用均值不等式的变式. 6、 换元(整体思想)
6

,先配系

例 6 求函数

y?

x?2 2x ? 5

的最大值.

分析 可先令 不等式来解决.

x ? 2 ? t ,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值

解 : 令 x ? 2 ? t t, ? y? t 2t ? 1
2

x0? ,t ?
2

则 2 ,

(t ? 0 )

当 t ? 0时 , y ? 0; 当 t ? 0时 , y ? 1 2t ? 1 t ? 1 2 2t ? 1 t ? 2 4

1 2 当 且 仅 当 2t = , 即 t ? 时 , 取 等 号. t 2 所以x ? ? 3 2 时 ,取 最 大 值 为 2 4 .

7、 逆用条件
1

例 7 已知

x

?

9 y

? 1( x ? 0, y ? 0)

,则 x ? y 的最小值是(

) .

分析 直接利用均值不等式,只能求 xy 的最小值,而无法求 x ? y 的最 小值.这时可逆用条件,即由 可解决问题.
解 : 由 x ? 0, y ? 0, x ? y ? ( x ? y )( ? 2 1 x ? 1 x 9 y ? )? 9 y y x ? 1, 得 ? 9x y ? 10

1?

1 x

?

9 y

,得

x ? y ? ( x ? y )(

1 x

?

9 y

)

,然后展开即

x

y 9x ? ? 10 ? 16 y y x ? 9x y , 即 x ? 4, y ? 12时 , 等 号 成 立 .

当且仅当

故 x ? y的 最 小 值 是 16.

1

评注 若已知 x ? 0, y ? 0, 则同样可运用此法.

x? y ?1

(或其他定值),要求 x

?

9 y

的最大值,

7

8、 巧组合 例 8 若 a , b , c ? 0 且 a ( a ? b ? c ) ? bc ? 4 ? 2
3 ,求 2a ? b ? c 的最小值

. +b 来

分析 初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用 a ? b ? 2

ab

解决.换个思路,可考虑将 2a ? b ? c 重新组合,变成 ( a ? b ) ? ( a ? c ),而
( a ? b ) ( a ? c )等于定值 4 ? 2 3

,于是就可以利用均值不等式了.

解 : 由 a , b , c ? 0, 知 2 a ? b ? c ? ( a ? b ) ? ( a ? c ) ? 2 ( a ? b )( a ? c ) ? 2 a ? ab ? ac ? bc
2

? 2 4 ? 2 3 ? 2 3 ? 2, 当 且 仅 当 b ? c , 即b ? c ? 3 ? 1 ? a时 , 等 号 成 立 .

故 2 a ? b ? c的 最 小 值 为 2 3 ? 2.

9、 消元
y
2

例 9、设 x , y , z 为正实数, x ? 2 y ? 3 z ? 0 ,则 xz 的最小值是. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
y? x ? 3z 2

y

2

,则可对 xz 进

行消元,用 x , z 表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题.
解 : 由 x , z ? 0y , ? y
2

x ? 3z 2 ?

可得 ,

xz6? xz 6 ? 3 , xz 4 xz 4 xz y 当 且 仅 当 x ? 3 z , 即 x ? y , z ? 时 , 取 “ =” . 3
2 2

=

x ? 9 z ? xz 6



y

2

xz

的 最 小 值 为 3.
4 [ ] 1 [ ]

练习: 1、试填写两个正整数,满足条件 的和最小。 2、试分别求: y ?
x ?1 x ? x ?1
2

?

=1 ,且使这两个正整数

( x ? 1)



y?

x ?1 x

最大值。

3、求 y ? 2 log 2 ( x ? 2) ? log 2 ( x ? 3) ? 1 最小值。
8

总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,要掌握 常见的变形技巧,掌握常见题型的求解方法,加强训练、多多体会,才 能达到举一反三的目的。

2011 年 1 月 2 日

9


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