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安徽省安庆一中2013届高三第三次模拟考试 数学文 Word版含答案


安庆一中 2013 届高三第三次模拟考试 数学(文科)试卷
第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 复数
4 ? 3i =( (2 ? i ) 2

) (B)-1 (C)i (D)-i

(A)1

2. 设全集U=R, A = { x | x( x - 2) < 0 } , B = { x | y = ln(1- x) } ,则 A ? CU B) ( 是( )
( ) A. ? 2, 1

B. [1, 2)

C. (?2, 1] )
开始

( D. 1, 2)

3. 执行如图所示程序框图,输出结果 S=( A.1 C.6 B.2 D.10

n=1,S=1,T=1 T>7? 否
n S=T一(-1) S



输出S

结束

T=T+2

n = n+1

4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为 ( )

5. 已知向量 a ? (?2,1) , b ? ( x ? 1, ?2) ,若 a ? b ,则 a + b ? ( A. 1 6. 如果数列 a1 ,
a 5 等于(

) D. 3 2

B. 2

C. 5

a a a2 , 3 ,?, n ,?是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a1 a2 an ?1

) B.64 C.-32 D.-64

A.32

7. 已 知 F1 , F2 为 双 曲 线 C : x2 ? y 2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 C 上 ,

| PF1 |? 2 | PF2 |, 则cos ?F1 PF2 =(
A.
1 4

) C.
3 5

B.

? )的图象向左平移 m(m>0)个单位后 6 所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为( ) ? ? ? ? A. B. C. D. 6 12 3 2
8.将函数 f(x)=l+cos 2x-2sin2(x- 9. 定义在 R 上的函数 f(x)= ex ? e? x ? x ,则满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的 取值范围是( A.(-2,2) ) B.(- ? ,2) C.(2, ?? )
? ? ?

3 4

D.

4 5

D.(-1,2)
? ?

?

10.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 AO = AB + AC 且 AO = AB ,则向量 AB 在
?

BC 方向上的投影为(
A.

) C. -

1 2

B.

3 2

3 2

D. -

1 2

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应 位置. 11.设 p:|4x-3|≤1,q: x 2 -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分而不必要条件, 则实数 a 的取值范围是____________. 12.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3b cos A ? c cos A ? a cos C , 则 tan A 的值是____________
1 13. 定义在 R 上 f ( x) 满足: f ( x ? 2)?f ( x) ? 1 ,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) = ( ) x , 2

则 f (2013) =

____________.

14.第 1 行:21+20 第 2 行:22+20,22+21 第 3 行:23+20,23+21,23+22 第 4 行:24+20,24+21,24+22,24+23 ? 由上述规律,则第 n 行的所有数之和为 . 15. 已知两点 M (0, ? 3)和N (0, 3) ,若直线上存在点 P ,使 | PM | ? | PN |? 2 ,则
0 ③ 称该直线为 “和谐直线” .现给出下列直线: x ? 2 ; x ? 2 y ?3 ? ; y ? ① ②

2 x; 2

④ 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,其中为“和谐直线”的是 (请写出符合题意的所有编 号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 16.(本小题满分 12 分) ? ? ? ? 已知函数 f(x)= a ? b ,其中 a ? (2cos x, 3sin x), b ? (cosx,-2cosx) (1)求函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间和最小值; (2)在△ABC 中, b, 分别是角 A, C 的对边, f a, c B, 且 (A) -1, = 求 的值. 17.(本小题满分 12 分) 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下 的列联表:
男 看营养说明 不看营养说明 合计 40 20 60 女 40 10 50 合计 80 30 110

b ? 2c a cs o(

?
3

?) C

(1) 从这 60 名男生中按是否看营养说明采取分层抽样的方法, 抽取一个容量为 6 的样本,问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名? (2)从(1)中的 6 名男生样本中随机选取 2 名作深度采访,求选到看与不看营 养说明的男生各 1 名的概率; (3)根据以上列联表,是否有 85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说 明”有关? 参考公式: K 2 ? 参考值表: P( K 2 ? k0 )
k0

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d . 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9

0.50 0.45 5

0.40 0.70 8

0.25 1.32 3

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.001 10.82 8

18.(本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平 面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF . (1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结 论.
E

F

D

C

19.(本小题满分13分)

A

B

设函数f(x)=x2 过点C(1,0) 作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1,以A1为切点作函 数f(x)图象的切线交X轴于点C2,,再过C2作X 轴的垂线l2 交函数f(x)图象于点 A2,?, 此 以 类 得 An,记An的横坐标为an,n∈N* 推点 (1)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式an; (2)设直线 ln 与函数 g(x)= log 1 x 的图象相交于点 Bn,记 bn ? OAn .OBn (其中 O
2

为坐 原 )求 列 n}的 前 n 项 和 Sn. 标 点, 数 {b

20.(本小题满分13分) 如图, 椭圆 C : x 2 ?
y2 ? 1 (0 ? m ? 1) 的左顶点为 A ,M 是椭圆 C 上异于点 A 的 m

任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.
9 4 3 ) ,求 m 的值; (1)若点 P 的坐标为 ( , 5 5

(2)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM , 求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a x +x2 ? x ln a ? b(a,b ? R,a> 是自然对数 的底数。 1),e (1) 试判断函数f ( x)在区间(0,?)上的单调性; + (2) 当a=e,b ? 4时,求整数k的值,使得函数f ( x)在区间(k , k ? 1)上存在零点; (3) 若存在x1,x2 ??-1,1?,使得 f (x1 )-f(x2 ) ≥e-1,试求a的取值范围。

参考答案 一. 选择题: 1. C 2.B 3.A 4.D 二.填空题:
1 11. [0, ] 2

5.C

6.A
1 2

7.B

8.B

9.D

10.D

12. 2 2

13.

14. (n ? 1)2n ?1

15.①④

三.解答题: 16

………3 分 由单调递增知: k? ?

?
3

? x ? k? ?

5? , k ? Z , 又? x ? [0, ? ] ……..…4 分 6

..............…5分 …............ 6分

..............…8分

..............…12分

17. 解: 解:(1)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的男生有 名??? 2 分

6 ? 40 ? 4 60

6 ? 20 ? 2 名.??????????????? 4 分 60 (2)记样本中看营养说明的 4 名男生为 a1,a2,a3,a4 不看营养说明的 2 名男生

不看营养说明的男生有

为 b1,b2 ,从这 6 名男生中随机选取 2 名,共有 15 个等可能的基本事件: (a1,a2 ) , (a1,a3 ) , (a1,a4 ) , (a1,b1 ) ,(a1,b2 ), ( a2,a3 ) , ( a2,a4 ) , (a2,b1 ) , ( a2,b2 ) , ( a3,a4 ) , (a3,b1 ) , ( a3,b2 ) , (a4,b1 ) ,(a4,b2 ), (b1,b2 ) ;?????????????????????????? 6 分 其中符合要求的是 (a1,b1 ) ,(a1,b2 ),(a2,b1 ) ,(a2,b2 ) ,(a3,b1 ) ,(a3,b2 ) ,(a4,b1 ) , (a4,b2 ). 故所求的概率为 P ?
8 .???????????????????8 分 15

(3)假设 H 0 : 该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关, K 2 应该很小. 则

110 ? (40 ? 20 ? 40 ?10)2 110 ? (4 ? 2 ? 4 ?1) 2 11?16 ? ? ? 2.444 ?10 分 80 ? 60 ? 50 ? 30 8? 6?5?3 72 因为由 2.444 ? 2.072 可知,所以有 85% 的把握认为该校高中学生“性别与在购买食

由题设条件得: K 2 ?

物 时 看 营 养 说 明 ” 有 12 分 关. ???????????????????????????? 18. (1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,因为 DE ? BD ? D ??????4 分 从而 AC ? 平面 BDE . ????????6 分 (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥平面 BEF. ?7 分 取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. ???????????10 分 所以 AM∥FN, 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, ????????????11 分 所以 AM∥平面 BEF. ?????????12 分 19.

20. (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点,

9 4 3 ), 因为 A(?1, 0) , P( , 5 5 2 2 3 ). 所以 点 M 的坐标为 ( , 5 5

??????2 分

由点 M 在椭圆 C 上,
4 12 ? ?1, ??????4 分 25 25m 4 解得 m ? . ??????6 分 7

所以

2 (Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1.① ??????7 分 m

因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P(2 x0 ? 1, 2 y0 ) . 因为 OP ? OM , 所以 x0 (2x0 ? 1) ? 2 y02 ? 0 .② ??????9 分
2 2 x0 ? x0 . ??????10 分 2 2 x0 ? 2

??????8 分

由 ①,② 消去 y0 ,整理得 m ?

所以 m ? 1 ?

1 2( x0 ? 2) ? 6 ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ??????12 分 ? 2 4

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立.
1 3 ]. 所以 m 的取值范围是 (0, ? 2 4

??????13 分 …………………………1 分

21. 解: (1) f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a

由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a x ?1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,…………2 分 故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 . …………………………………………3 分 (2) f ( x) ? e x ? x2 ? x ? 4 ,? f ' ( x) ? ex ? 2x ?1 ,

? f ?(0) ? 0 ,

……………………………………4 分

当 x ? 0 时, e x ? 1 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 是 (0, ??) 上的增函数; 同理, f ( x) 是 (??, 0) 上的减函数. …………………………………5 分

f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? e ? 4 ? 0, f (2) ? e2 ? 2 ? 0 ,当 x ? 2 , f ( x) ? 0 ,
故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在 (1, 2) 内,? k ? 1 满足条件;
1 1 f (0) ? ?3 ? 0, f (?1) ? ? 2 ? 0, f (?2) ? 2 ? 2 ? 0 ,当 x ? ?2 , f ( x) ? 0 , e e

故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在 (?2, ?1) 内,? k ? ?2 满足条件. 综上所述
k ? 1 或 ?2 .

………………………………………8 分

(3) f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ? b , 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 , 所 以 当 x ?[? 1, 1] , 时

| f ( x ) a x ? f ( x )m i n? f (x )m a? f (x )m ? e 1 …………………………9 分 | m x in ? f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a ,
①当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a x ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ; ②当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a x ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ; ③当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 [?1,0] 上递减,在 [0,1] 上递增,…………………………………11 分 ∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x)min ? f (0) ? 1? b, f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)? ,
1 1 而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ? b) ? ( ? 1 ? ln a ? b) ? a ? ? 2 ln a , a a 1 1 2 1 设 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (当 t ? 1 时取等 t t t t 号) , 1 ∴ g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , t

∴当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 , ∴当 a ? 1 时, a ? ∴ f (1) ? f (?1) ,
1 ? 2 ln a ? 0 , a

∴ f (1) ? f (0) ? e ? 1 , ∴ a ? ln a ? e ? 1 ,即 a ? ln a ? e ? ln e , 设 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) ,则
h?( a ) ? 1 ? 1 a ?1 ? ? 0. a a

∴函数 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) 在 (1, ??) 上为增函数, ∴a ? e. 即 a 的取值范围是 ?e, ?? ? ……………………………………13 分


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