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导数与函数的综合(提高)

时间:2014-01-14


导数与函数的综合(提高) 知识升华 考点一、求切线方程的一般方法,可分两步: (1)求出函数 在 处的导数 ;

(2)利用直线的点斜式得切线方程。 要点诠释: 求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上,可 用上法求解;若不在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知 条件求出切点坐标,从而得方程. 考点二、判定函数的单调性 (1)函数的单调性与其导数的关系 设函数 y=f(x)在某个区间内可导,则当 应区间上为增函数;当 当恒有 时,y=f(x)在相

时,y=f(x) 在相应区间上为减函数;

时,y=f(x)在相应区间上为常数函数。

要点诠释: ①在区间(a,b)内, 不必要条件! 例如: f(x)在 R 上递增。 ②学生易误认为只要有点使 ,则 f(x)在(a,b)上是常函 是 f(x)在(a,b)内单调递增的充分 而

数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这

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个区间内恒有

, 这个函数 y=f(x)在这个区间上才为常数函数。

③要关注导函数图象与原函数图象间关系。 (2)利用导数判断函数单调性的基本步骤 (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求导数 ; ;

(3) 在定义域内解不等式 (4) 确定 f(x)的单调区间。

考点三、求函数的极值与最值 (1)极值的概念 一般地,设函数 y=f(x)在 x=x0 及其附近有定义, (1)如果对于 x0 附近的所有点,都有:f(x)<f(x0),称 f(x0)为函 数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0); (2)如果对于 x0 附近的所有点,都有:f(x)>f(x0),称 f(x0)为函 数 f(x)的—个极小值,记作 y 极小值=f(x0)。 极大值与极小值统称极值。 在定义中, 取得极值的点称为极值点, 极值点是自变量的值,极值指的是函数值。 要点诠释: ①在函数的极值定义中,一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0 及其附 近有定义,否则无从比较。 ②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的, 是一个局 部概念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值。由
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定义, 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最 小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 ③极大值与极小值之间无确定的大小关系。 即一个函数的极大值 未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 ④函数的极值点一定出现在区间的内部, 区间的端点不能成为极 值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能 在区间的端点。 ⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异 号。我们主要讨论可导函数的极值问题,但是函数的不可导点也可能 是极值点。如某些间断点也可能是极值点,再如 y=|x|,x=0。 ⑥可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成 立。在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从 而有 。但反过来不一定。如函数 y=x3,在 x=0 处,曲线的切

线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比 它附近的点的函数值小。 (2)求极值的步骤 ①确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程 ④检查 的根; 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则 f(x)

在这个根处取得极大值;如果左负右正,则 f(x)在这个根处取得极 小值。 (最好通过列表法)
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考点四、求函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x) 在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不 唯一;但在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。 (1)最值与极值的区别与联系: ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的, 是 整个定义区间上的一个概念, 而函数的极值则是比较极值点附近两侧 的函数值而得出的,是局部的概念; ②极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个; ③极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得;而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 ④有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值 可能成为最值。 (2)在区间[a,b]上求函数 y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的导数 ②求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值 ③将函数 y=f(x)在(a,b)内的极值与区间两端的函数值 f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。

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典型例题 类型一:导数的几何意义和物理意义 1.在曲线 C: 上,求斜率最小的切线所对应的

切点,并证明曲线 C 关于该点对称。

【思路点拨】注意到 P,Q 的任意性,由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。 【解析】 (1) ∴当 又当 时, 取得最小值-13 时,

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∴斜率最小的切线对应的切点为 A(2,-12); (2)证明:设 对称点 Q 的坐标为 且有 ∴将 代入 ① 的解析式得 为曲线 C 上任意一点,则点 P 关于点 A 的

, ∴点 ∴ 变式 1】已知曲线 导函数,求证:两曲线在公共点处相切。 ,其中 ,且均为可 坐标为方程 的解

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【证明】 注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线 重合, 设上述两曲线的公共点为 , ∴ ∴ 于是,对于 对于 ∴由①得 由②得 有 ,有 , ; ① ② ,∴ ,∴ , ,则有 ,



,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,

∴两曲线在公共点处的切线重合,∴两曲线在公共点处相切。 【变式 2】求曲线 (1)在点 的分别满足下列条件的切线: 的切线;(2)过点 的切线;

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【解析】 (1) 时,在点 ∴在点 的切线的切线的斜率 ,即 , .

的切线为 时,切线为 时,设切点为

(2)当切点为点 当切点不是点



则 解得 ∴切点为 故过点 或 (舍去) 的切线为 的切线为



,即 或 .



【变式 3】运动曲线的方程为: 速度。

,求 t=3 时的速度,加

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【解析】 运动曲线的速度为:

t=3 时的速度: 运动曲线的加速度为:

t=3 时的加速度:

类型二:函数的单调区间 2.是否存在这样的 k 值,使函数 在区

间(1,2)上递减,在(2,∞)上递增,若存在,求出这样的 k 值;

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【解析】

由题意,当 ∴由函数 整理得, 验证: (Ⅰ)当 ∴若 (Ⅱ)当



,当 ,即 或





的连续性可知 ,解得

时, , 则 时, , ; 若 ,则 , 符合题意;

显然不合题意。 综上可知,存在 ∞)上递增。 使 在(1,2)上递减,在(2,

3.若 三个单调区间。

恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这

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【解析】



,则

,此时

只有一个增区间



与题设矛盾; 若 盾; 若 ,则 时, 时, 时, ; 恰有三个单调区间: ; ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛

并且当 当 ∴综合可知,当 减区间 增区间 类型三:函数的极值

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4.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值。 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线的方程。

【解析】 (1) 依题意, ,

即 ∴ 令 , ,得 x=-1,x=1, ,

若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则

故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数
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若 x∈(-1,1),则

,故 f(x)在(-1,1)上是减函数

所以,f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值; (2)曲线方程为 y=x3-3x,点 A(0,16)不在曲线上 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 , 故切线的方程为 注意到点 A(0,16)在切线上,有 ,解得 x0=-2 所以切点 M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0 【变式 1】已知函数 取得极值,并且极大值比极小值大 4. (1)求常数 (2)求 的值; ,当且仅当 时, ,

的极值。

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【解析】 (1) ∵ ∴ 在 或 ,令 得方程

处取得极值 为方程 的根,

故有 ∴ ∴ ,即 ①

又∵ ∴方程 ∴方程 ∴ 而当 ∴

仅当

时取得极值, 的根只有 或 ,

无实根, 即 时, 恒成立, 的取值情况

的正负情况只取决于 与

当 x 变化时,

的变化情况如下表: 1 (1,+∞) +

+

0 极大值 ∴ 在



0 极小值 ,在

处取得极大值

处取得极小值


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由题意得

,整理得



于是将①,②联立,解得 (2)由(1)知,

5.已知函数



与 x=1 时都取得极值

(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x?[-1,2],不等式 围。 恒成立,求 c 的取值范

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【解析】 (1) 由 ,b=-2 ∴ , , , 得

函数 f(x)的单调区间如下表: x - + f(x) 0 极大值 - 0 极小值 + 1

所以函数 f(x)的递增区间是 递减区间是 (2) 当 而 要使 变式 1】设 是函数 时, ,则 ,x?[-1,2], 为极大值, 为最大值





(x?[-1,2])恒成立, 的一个极值点. 的单调区间;
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(Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求

(Ⅱ)设



.若存在

使得

成立,求 的取值范围.

【解析】 (Ⅰ) 由 ,得 , ,即得 ,



,得




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由于 x=3 是极值点,所以 当 在区间 在区间 在区间 当 在区间 在区间 在区间 ,即 ,即 上, 上, 上, 时, 上, 上, 上, , , , 时, , , ,



为减函数; 为增函数; 为减函数。

为减函数; 为增函数; 为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,3)上的单调 递增,在区间(3,4)上单调递减,

所以 f (x)在区间[0,4]上的值域是 又 在区间[0,4]上是增函数, , , 且 ,解得< .

且它在区间[0,4]上的值域是 由于 所以只需

故 a 的取值范围是(0, )。

类型四:函数的最值
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6.已知函数 (1)求 (2)若对

. 的单调区间; , ,都有 ,求 的取值范围。

【解析】 (1) 的定义域为

显然 当

,由 时,

得 ,
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在 当 在 时,



上单调增,在 ,

上单调减



上单调减,在

上单调增.

(2)由(1)知, 当 且 当 时, 时 时, 在 在 上单调减, ,所以 上单调增,

没有最大值. 上单调减,

上单调增,

解得 【变式 1】设 最小值为 ,函数 ,求常数 的值 的最大值为 1,

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【解析】 , 解得 当 在 -1 上变化时, (-1,0) 0 + 0 极大值 极小值 — 0 + 与 的变化情况如下表: 1 令 得

∴当 。

时,

取得极大值 ;当

时,

取得极小值

由上述表格中展示的

的单调性知

∴ 中,

最大值在



之中,

的最小值在





考察差式 即 由此得 ,故 的最大值为



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考察差式 , ∴ 的最小值为 ,解得 。 的最大值为 3, 最小值为-29, 求 ,即 ,

由此得

于是综合以上所述得到所求 7. 已知 的值;

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【解析】 这里 ,不然 与题设矛盾

令 (Ⅰ)若

,解得 ,则当 当 又

或 x=4(舍去) 时, 时, 时, , , 在 在 内递增; 内递减

连续,故当

取得最大值

∴由已知得 而 ∴此时 ∴由 (Ⅱ)若 当 又 ∴当 时, 有最大值, 的最小值为 得 ,则运用类似的方法可得 时 有最小值,故有 ;

∴由已知得 于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求 或

【变式 1】设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1, f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的 最大值和最小值。
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的最小值为-12

【解析】 (Ⅰ)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c, ∴c=0 ∵ 的最小值为-12,∴b=-12

又直线 x-6y-7=0 的斜率为 因此 ∴a=2,b=-12,c=0 (Ⅱ)f(x)=2x3-12x, 列表如下: x + 0 0 + , ,∴a=2,

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极大



极小



所以函数 f(x)的单调增区间是 ∵f(-1)=10, , f(3)=18

∴f(x)在[-1,3]上的最大值是 f(3)=18, 最小值是 类型五:导数的实际应用 8.如右图所示,在二次函数 f(x)=4x-x2 的图象与 x 轴所围成图 形中有个内接矩形 ABCD,求这个矩形面积的最大值。

【解析】 设点 B 的坐标为(x,0)且 0<x<2, ∵f(x)=4x-x2 图象的对称轴为 x=2, ∴点 C 的坐标为(4-x,0),

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∴|BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2. ∴矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8) 令 y'=0 解得 ∵0<x<2, ∴取 ∵极值点只有一个,当 时,矩形面积的最大值 ,

答:这个矩形面积的最大值为



【变式 1】一艘渔艇停泊在距岸 9km 处,今需派人送信给距渔艇 km 处的海岸渔站,如果送信人步行每小时 5km,船速每小时 4km,问 应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省?

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【解析】 如图示设 A 点为渔艇处,BC 为海岸线,C 为渔 站,且 AB=9km, 设 D 为海岸线上一点,CD=x,只需将时间 T 表示为 x 的函数, ∵ 由 A 到 C 的时间 T,则 , (0≤x≤15)

(0≤x≤15) 令 T'=0,解得 x=3,在 x=3 附近,T'由负到正, 因此在 x=3 处取得最小值,又 比较可知 T(3)最小。 变式 2】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为: 已知甲、乙两地相距 100 千米. (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 要耗油多少升? (II) 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升? ,

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【解析】 (I)当 要耗没 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时, (升).

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地耗油 17.5 升。 (II)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 时,设耗油量为 升,依题意得 小

令 当 , 当 因为

,得 时, 是增函数. 时, 在 取到极小值 上只有一个极值,所以它是最小值. , 是减函数;当 时,

答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地耗油最少,最少为 11.25 升。
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