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吉林省长春市2016届高三下学期第二次模拟考试(F卷)数学(文)试题 扫描版


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二) 数学(文科)参考答案及评分参考
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. D 11. C 12. D 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系,属于基础题. 【试题解析

】D 复数 z1 在复平面内关于直线 y ? x 对称的点表示的复数 z2 ? 2 ? 3i , 2. 故选 D. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图 像的认识. 【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知:当 a ? b 时, 2 ? 2 为正确 选项,故选 C. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题. 【试题解析】C 由 题 意 可 知 A ? { x | 0? x ? 3} , 则 B ?{ x | ? 2 ? x ? 2} ,所以
a b

3.

A ? B ? {x | 0 ? x ? 2} . 故选 C.
4. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识,是一道基本题. 【试题解析】A 由算法流程图可知,输出结果是首项为

1 1 ,公比也为 的等比数列 2 2

的前 9 项和,即为 5.

29 ? 1 . 故选 A. 29

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】A 由题可知,从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值,

PA ? PB 即为 d ? r , 其中 d 为圆外点到圆心的距离, 因此当 d 取最小值时, r 为半径,
2 2

??? ? ??? ?

6.

的取值最小,由方程的图像可知 d 的最小值为 2 ,故 PA ? PB 的最小值为 1. 故选 A. 【命题意图】 本题通过几何体的三视图来考查体积的求法, 对学生运算求解能力有一定 要求. 【试题解析】C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,所以其体积为

??? ? ??? ?

1 40 . 故选 C. 2? 2? 4 ? ? 2? 2? 2 ? 3 3
7. 【命题意图】本题考查椭圆与双曲线离心率的概念,属于基础题. 【试题解析】A 以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆的离 心率为 e1 ? 8. 9.

t 1 t 1 ? ? ,双曲线的离心率为 e2 ? ,故他们的积 2t ? t 2 ?1 2t ? t 2 ?1

为 1,故选 A. 【命题意图】本题主要考查椭圆的定义,是一道中档题. 【试题解析】B 由题可知, (| PM | ? | PN |)max ?| PC1 | ? | PC2 | ?2 ? 12 ,故选 B. 【命题意图】本题考查等差数列的性质,借助前 n 项的取值确定项数,属于基础题. 【试题解析】B 由题意,不妨设 a6 ? 9t , a5 ? 11t ,则公差 d ? ?2t ,其中 t ? 0 ,因 此 a10 ? t , a11 ? ?t ,即当 n ? 10 时, Sn 取得最大值. 故选 B.

10. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题,是一道 较为复杂的难题. 【试题解析】D 由题可知函数在 x ? (?1,1] 上的解析式为

y

2

1
-1 O 1

x

? ?2 x ???x ? (?1,0] ? ,可将函数 f ( x ) 在 x ? (?1,1) 上的大致图像呈现如图: f ( x) ? ? x ? 1 ? x 2 ???????x ? (0,1] ? 根据 y ? t ( x ? 1) 的几何意义, x 轴位置和图中直线位置为 y ? t ( x ? 1) 表示直线的临界 1 位置,因此直线的斜率 t 的取值范围是 (0, ] . 故选 D. 2
11. 【命题意图】本题主要考查函数的零点问题,将零点问题转化为交点问题,是解决本题 的关键.

1 1 ln x ? x ? ? 2 的零点,即为求两个函数 2 x 1 1 1 1 ln x ? ? x ? ? 2 的交点,可知等号左侧 ln x ? ? x ? ? 2 为增函数,而右侧为减 2 x 2 x 1 1 函数,故交点只有一个,当 x ? 2 时, ln x ? ? x ? ? 2 ,当 x ? e 时, 2 x 1 1 1 1 ln x ? ? x ? ? 2 ,因此函数 y ? ln x ? x ? ? 2 的零点在 (2, e) 内. 故选 C. 2 x 2 x
【试题解析】C 由题意,求函数 y ? 12. 【命题意图】本题是关于三角函数的综合问题,属于中档题. 【试题解析】 D 作直线 AB 的中垂线, 交圆于 C , D 两点,

O E ?? , 再将 x 轴关于直线 CD 对称, 交圆于点 E , 则 ?B 如图所示, sin(? ? ? ) ? sin(2? ? 2? ) ? ? sin 2? ,而

y 2 A 1

1 4 tan ? ? ,故 sin(? ? ? ) ? ? sin 2? ? ? . 故选 D. 2 5

C M

?

?
? ?

N D E

x

B -2

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13. ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ≤ 0

14. 1

15. [1, 13] 16. ?7056 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查全称命题的否定,是一道基本题. 【试题解析】 由题意可知,命题“ ?x ? R ,

x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 : ?x0 ? R ,
2 x0 ? x0 ? 1 ≤ 0 .

2.

【命题意图】本题主要考查线性规划问题,是一 道常规题. 从二元一次方程组到可行域,再结合 目标函数的几何意义,全面地进行考查. 【试题解析】根据方程组获得可行域如下图,令 z ? y ? 2 x ,可化为 y ? 2 x ? z ,因此,当直线 (1,3) 时, z 取得最小值为 1.

过点

3.

【命题意图】本题考查积分的运算,是一道中档的常规问题. 【试题解析】由题意, b 为 (0,1) ,根据向量的差的几何意义, | a ? t ? b | 表示 tb 向量终 点到 a 终点的距离,当 t ? 3 时,该距离取得最小值为 1,当 t ? ? 3 时,根据余弦定 理,可算得该距离取得最大值为 13 ,即 | a ? tb | 的取值范围是 [1, 13] . 【命题意图】 本题主要考查非常规数列求和问题, 对学生的逻辑思维能力提出很高要求, 属于一道难题. 【试题解析】由题意可知, p1 ? 1 , p2 ? 2 , p3 ? 4 , p4 ? 1 , p5 ? 2 , p6 ? 4 ,

4.

p7 ? 1 ,??,又 pn 是 3 阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理, q1 ? ?1 , q2 ? ?2 , q3 ? ?1 , q4 ? ?2 , q5 ? ?1 , q6 ? ?2 , q7 ? ?1 ,??,又 qn 是 2 阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列 { pn ? qn} ,每 6 项的和循环一次,易求出 p1 ? q1 ? p2 ? q2 ? ... ? p6 ? q6 ? ?21 ,因此 S2016 中有 336 组循 环结构,故 S2016 ? ?21? 336 ? ?7056 .
三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 5. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算,以及三角函数的性质,并借助正弦 定理考查边角关系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3cos2 x

? 2? ? 2sin(2 x ? ) ,因此 f ( x) 的最小正周期为 T ? ?? . 3 2 ? ? 3? f ( x) 的单调递减区间为 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? , 2 3 2 ? 7? ] (k ? Z) . (6 分) 即 x ? [ k? ? , k ? ? 12 12 A ? A ? ?
(2) 由 f ( 由正弦定理可得 2 R ?

? ) ? 2sin(2( ? ) ? ) ? 2sin A ? 3 , 又 A 为 锐 角 , 则 A ? . 3 2 6 2 6 3

?

a 7 14 b ? c 13 3 ? ? ? , sin B ? sin C ? , sin A 2R 14 3 3 2

13 3 14 ? ? 13 , 14 3 b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c)2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? , 由余弦定理可知, cos A ? 2bc 2bc 2 可求得 bc ? 40 . (12 分)
则b?c ? 6. (本小题满分12分) 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识, 对考生的对数据处理的能力有很 高要求. 【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的 2 ? 2 列联表: 对服务好评 对服务不满意 合计 80 40 120 对商品好评 70 10 80 对商品不满意 150 50 200 合计

K2 ?

200 ? (80 ?10 ? 40 ? 70)2 ? 11.111 ? 10.828 , 150 ? 50 ?120 ? 80

可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (6 分) (2) 若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,则 好评的交易次数为 3 次,不满意的次数为 2 次,令好评的交易为 A, B, C ,不满意的交 易为 a , b ,从 5 次交易中,取出 2 次的所有取法为 ( A, B) 、 ( A, C ) 、 ( A, a) 、 ( A, b) 、

( B, C ) 、 ( B, a) 、 ( B, b) 、 (C, a) 、 (C, b) 、 ( a, b) ,共计 10 种情况,其中只有一次 好评的情况是 ( A, a) 、 ( A, b) 、 ( B, a) 、 ( B, b) 、 (C, a) 、 (C, b) ,共计 6 种,因此, 6 3 ? 只有一次好评的概率为 (6 分) 10 5
7. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查立体几何的相关知识, 具体涉及到面面的平行关系在立体 几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1)连结 B1D1 .

? ? 平面PBD ? 平面ABCD ? BD ? ? BD // B1D1 ,即 B1D1 为△ PBD 的中位线, 平面PBD ? 平面A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ? ? 即 B1 为 PB 中点. (6 分) 3 (2) 由(1)知, OB1 ? ,且 OA ? OB , OA ? OB1 , OB ? OB1 , 2 即三棱锥 B1 ? ABO 外接球为以 OA 、 OB 、 OB1 为长、宽、高的长方体外接球,
平面ABCD // 平面A1 B1C1 D1

5 5 ,即外接球半径为 . 4 2 4 4 5 125? 则三棱锥 B1 ? ABO 外接球的体积为 V ? ? R 3 ? ? ( )3 ? . (12 分)
则该长方体的体对角线长为 d ? 1 ? 3 ? ( ) ?
2 2 2

3 2

3

3

4

48

8.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到椭圆方程的 求法,直线与圆锥曲线的相关知识,以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思 想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 已知椭圆的离心率为

1 ,不妨设 c ? t , a ? 2t ,即 b ? 3t ,其 2

P 为短轴端点,因此 中 t ? 0 ,又△ F 1PF 2 面积取最大值 3 时,即点
解得 t ? 1 ,则椭圆的方程为

1 ? 2t ? 3t ? 3 , 2

x2 y 2 ? ? 1 . (4 分) 4 3

? x ? ty ? 1 (2) 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 联立 ? 可得 ? x2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?4 ?6t ?9 , y1 y2 ? (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 2 3 ? 4t 3 ? 4t 2 y1 直线 AA1 的方程为 y ? ( x ? (?2)) , x1 ? (?2) y2 6 y1 6 y2 , 直线 BA1 的方程为 y ? ( x ? (?2)) , 则 P(4, ) , Q(4, ) x2 ? (?2) x1 ? 2 x2 ? 2

???? ? 6 y1 6 y2 ) , F2Q ? (3, ), x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ???? ? 6 y1 6 y2 36 y1 y2 则 F2 P ? F2Q ? 9 ? ( )( )? 2 ?9 ? 0, x1 ? 2 x2 ? 2 t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9 ???? ? ???? ? 即 F2 P ? F2Q 为定值 0. (12 分)
则 F2 P ? (3, 9.

????

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来描述原函 数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求. 1 ? a ? ln x 【试题解析】解(1) 由题意得 f ?( x) ? ,又 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 . x2 ? ln x 令 f ?( x) ? (6 分) ? 0 ,解得 x ? 1 ,即 f ( x) 有极大值为 f (1) ? 1 . x2 (2) 由 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? k ,可得| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? k 1 1 x1 ? x2 x1 ? x2 ? x1 x2
?2 令 g ( ) ? f ( x ) ,则 g (x) ? x ?x ln x ,其中 x ? (0, e ] ,

1 x g ?( x) ? ? ln x ,又 x ? (0, e?2] ,则 g ?(x) ? ?ln x ≥2 ,

即| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 ,因此实数 k 的取值范围是 ( ??, 2] . (12 分) 1 1 ? x1 x2 10. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解(1) 由题意可知, MN ? NA ? NB ,则 N 为 PM 的中点,
2

NA NP ? ,因此△ NAP ∽△ NPB ,则 ?NBP ? ?NPA , NP NB 由 CM ? CB 可得 ?MAC ? ?BAC ,即 ?MAP ? ?BAP ,则 ?APM ∽ ?ABP .
则 PN ? NA ? NB ,即
2

(5 分) (2) 由(1) ?PMA ? ?APB ,又 ?PMA ? ?PCM ,则 ?PCM ? ?APB , 可得 MC // PD ,由 ?NBP ? ?NPA , ?NBP ? ?ACD ,则 ?NPA ? ?ACD ,可得

MP // CD ,因此四边形 PMCD 是平行四边形. (10 分)
11. (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程 与平面直角坐标方程的互化、 利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距 离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解(1) 对于曲线 C2 有 ? ? 8cos(? ?

?

3

2 ) ,即 ? ? 4? cos? ? 4 3? sin? ,

因此曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 4 3 y ,其表示一个圆. (5 分) (2) 联立曲线 C1 与曲线 C2 的方程可得: t ? 2 3sin ? ? t ?13 ? 0 ,
2

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? (2 3 sin ? ) 2 ? 4(?13) ? 12sin 2 ? ? 52 ,
因此 | AB | 的最小值为 2 13 ,最大值为 8. (10 分) 12. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 不 等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】(1) 当 a ≥ 0 时, f ( x) ? a ≥ 0 恒成立, 当 a ? 0 时,要保证 f ( x) ≥ ?a 恒成立,即 f ( x) 的最小值 | a ? 2 |≥ ?a ,解得 a ≥ ?1 . (5 分)

3 3 (2) 根据函数 f ( x ) 图像的性质可知,当 a ? 2 ? a 时, f ( x) ≥ x 恒成立,即 a ? 4 , 2 2 3 所以 a 的取值范围是 (??,4] 时 f ( x) ≥ x 恒成立. (10 分) 2


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