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椭圆的简单几何性质教案

时间:2017-08-16


椭圆的简单几何性质
一、教学目标 1.知识与技能:掌握椭圆的简单几何性质, 学会由椭圆的标准方程探索椭圆 的简单几何性质的方法与步骤。 2.过程与方法: (1)通过探究,掌握椭圆的简单几何性质,培养猜想能力,合情推理能力, 养成发现问题,提出问题的意识; (2)通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力;培养分析、抽象、 概括的能力,加强数形结合等数学思想的培养。 3.

情感态度与价值观: (1)在民主开放的课堂气氛中,培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、 创新的精神; (2)通过探究,体验挫折的艰辛与成功的快乐,激发学习热情;通过数与 形的辨证统一,对学生进行辩证唯物主义教育,通过对椭圆对称美的感受,激发 学生对美好事物的追求。 二、教学重点与难点: 教学重点: 掌握椭圆的简单几何性质,在教学过程中渗透类比、数形结合等思想方法。 教学难点: 由曲线方程来研究其几何性质,由几何性质研究曲线方程,用数形结合的思 想方法研究离心率。 三、学生状况分析及教学设计意图: 本届学生数学基础很薄弱, 没有掌握比较好的学习方法,在初中阶段形成了 把数学学习等同于一般学科的学习习惯,记忆的多,模仿的多,被动的多,思考 的少,创新的少,主动的少。高二(2)(3)班是普通班,数学科成绩较同年级 、 重点班相比低一个层次,因此在教学中对教材的剪裁、课时的安排、内容的调整 颇费心思, 每堂课的教学设计都应激发学生学习数学的动机,培养学生学习数学 的兴趣,多让学生体验“成功”的快乐,培养其自主学习的意识。

1

四、教学用具: 电脑,课件,几何画板,三角板,圆规。 五、教学方法: 讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。 六、教学过程设计: (一)创设情境,欣赏图片 这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识,我们先看一个图片:

提出问题: 教师:为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢? 其根本原因是椭球形非常美观, 这源于椭圆的美! 那么椭圆到底美在何处? 它又具有哪些特性?让我们一起来研究 ——椭圆的简单几何性质,以方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

为研究对象。

设计意图 通过“国家大剧院”这样一个令人关注的话题引入,有利于激发 学生的兴趣, 充分调动学生学习的积极性和主动性,激发学生的民族自豪感和自 信心,同时图片演示增强直观体验和感性认识。 师生活动 教师:展示课件。 学生:观看课件。 (二)探究问题,观察发现
B2 A1 A2 B1

1. 椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的范围

引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围,进而用代数的方法,由椭圆的标 准方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

得出椭圆的范围。

2

教师推导出横坐标 x 的范围,由学生类比得出纵坐标 y 的范围 结论:椭圆在直线 x=±a 和直线 y=±b 所围成的矩形里(如图). 形依于数,数寓于形,数形相互依存,数形结合的思想是研究数学问题常用 到的思想,也是一个重要的方法 练习 1:讨论下列椭圆的范围。 (1)
x
2

?

y

2

?1;

(2) 4 x 2

? y ? 16
2



25

9

【设计意图】 让学生感受、 体验到新知识的获取需要不断地去积累已有知识。组织学生通 过数形结合的思想得到结论,能够使学生真正的动脑思考,动手实践,体验在学 习中获得成功的快乐。 【师生活动】 教师: 引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法,由 椭圆的标准方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 得出椭圆的范围。

学生:在老师的引导下,观察、推导出椭圆的范围,并独立完成练习 1 以加 深对椭圆范围的理解。 【学情预设】 在《椭圆的定义及其标准方程》中,学生已由椭圆的定义探究过| O A1 |= a , | O B 1 |=| O B 2 |= b ,因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应不 存在问题,横坐标 x 的范围的推导也比较容易,且提示学生由类比方法得到椭圆 纵坐标 y 的范围也是可行的。 注 : 如 果 不 以 《 椭 圆 的 定 义 及 其 标 准 方 程 》 探 究 过 | O A1 |=| O A 2 |=
a

,

| O B 1 |=| O B 2 |= b 作铺垫, 本节教材 “观察图 2.1-7, 容易看出椭圆上的点的横坐标、 纵坐标的的范围”是不妥当的。学生也回答不出来。

3

y

2.对称性 探究一: 设 P ( x , y ) 为椭圆
x a
2 2

P

?

y b

2 2

o

?1

( a ? b ? 0 ) 上任意一点,

x

(1) P ( x , y ) 关于 x 轴对称的点 P1 的坐标是 点 这说明椭圆关于 对称。

, P1 ______该椭圆上,

(2)点 P ( x , y ) 关于 y 轴对称的点 P2 的坐标是 这说明椭圆关于 对称。

, P2 ______该椭圆上,

(3)点 P ( x , y ) 关于原点的对称点 P3 的坐标是 上,这说明椭圆关于 得出结论:椭圆
x a
2 2

, P3 _______该椭圆

对称。
? y b
2 2

? 1 是关于 x

轴、 y 轴对称的轴对称图形,也是关于

原点对称的中心对称图形。 一般地,曲线方程中,以 ? y 代 y ,若方程不变,则曲线关于 x 轴对称,以
?x

代x , 若方程不变, 则曲线关于 y 轴对称, 曲线方程中, ? x 代 x , 以 同时以 ? y

代 y ,若方程不变,则曲线关于原点中心对称。 该结论以表格形式呈现给学生。 曲线
f ( x, y ) ? 0

对称性的判断: 结论 则曲线方程 则曲线方程 则曲线方程
f ( x, y ) ? 0
f ( x, y ) ? 0 f ( x, y ) ? 0

条件 以?
y

代 y ,若方程不变

关于 x 对称 关于 y 对称 关于原点对称

以 ? x 代 x ,若方程不变 以?
y

代 y ,以 ? x 代 x ,若方程不变

练习 2

说出下列曲线的对称性:
? x
2

(1)曲线 y

关于

对称;

4

(2)曲线 y (3)曲线 x 2

?

1 x

关于
2

对称; 对称。

? y ? 1 关于

【设计意图】 通过探究一之 (1) 让学生观察椭圆的图形, , 得出椭圆关于 x 轴对称的结论, 并用类比的方法,得到椭圆关于 y 轴对称、关于原点对称,让学生的推理能力、 归纳的能力得到提高,通过练习 2,考查学生对已有知识的掌握程度和利用新知 识解决问题的能力,估计学生能解决问题,能体验到成功学习的快乐,享受学习 的乐趣。 【师生活动】 教师:设计问题,启发学生通过观察图形,利用对称知识得出结论。 学生:在教师的启发下观察,思考,类比,归纳;并独立完成练习 2。 【学情预设】 由于在学案中,已经给出有关对称性的知识回顾,估计学生在该探究过程中 能顺利完成任务。 3.顶点 教师:显然,椭圆与它的对称轴有四个交点,试写出这四个点的坐标。 提示: x 轴、 y 轴是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的对称轴,求椭圆与对称轴的交

点坐标,就是椭圆与 x 轴、 y 轴的交点坐标, x 轴、 y 轴上的点的坐标有什么特 征。 学生求出结果: A1 ( ? a , 0 ), A 2 ( a , 0 ), 教师:给出定义, 我们把椭圆 x
a
2 2

B1 (0, ? b ), B 2 (0, b )
y b
2 2

y

?

? 1( a ? b ? 0 )

与对称轴的
o x

交点 A1 ( ? a , 0 ), A 2 ( a , 0 ),

B1 (0, ? b ), B 2 (0, b )

就叫做椭圆的顶点。

指出,线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长 |A1A2|=2 a ,短轴长|B1B2|=2 b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长, 此时长轴在 x 轴上。 【设计意图】 本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与坐标轴的交点

5

坐标,然后给出椭圆顶点的定义,求交点的过程交给学生,让学生参与。 【学情预设】 估计在学生理解椭圆顶点的定义时, 把椭圆与对称轴的交点错误的理解成椭 圆与 x 轴、 y 轴的交点,所以,在讲述过程中予以强调。 4.离心率 探究二:在同一坐标系下,利用前面所学过的椭圆的性质画出下列曲线的简图: (1)
x
2

? y ?1;
2

(2)

x

2

?

y

2

?1;

(3)

x

2

?

y

2

?1;

(4)

x

2

?

y

2

?1。

25

25

9

25

16

25

25

y

o

x

启发式提问: 教师: 1、请同学们观察这些方程什么量相同?什么量不同?它们所对应的图形的形 状有何不同? 2、在椭圆的半长轴长 a 不变的条件下,椭圆的扁平程度与什么量有关系? 学生回答后教师归纳: 与 b 有关本质也就是与 c 有关, 因为 b 2 并给出离心率的定义。 离心率 1) 定义:椭圆焦距与长轴长之比。 2) 定义式: e 3) 范围: 0 ?
? c a
e ?1

? a ?c
2

2

, 即椭圆的扁平程度与 a , c 有关,

4) 考察椭圆形状与 e 的关系

6

(1) e 越接近于 1, c 越接近于 越 ;

a

,b

?

a ?c
2

2

的值越

,椭圆

(2) e 越接近于 0, c 越接近于 0, b 于 ;
?b

?

a ?c
2

2

的值越

,椭圆就越接近

(3) 当且仅当 a 方程为

时,c

?

, 这时两个焦点重合, 图形就变为 。 ; 。
B2 A1 B1



结论:离心率越大,椭圆越 离心率越小,椭圆越 5)考察椭圆形状与
b a



c b

的关系
??

(1)在右图中标示出 a 、 b 、 c ,记 ? OF 2 B 2 (2)将
c a



A2


c a

b a



c b

用 ? 的某种三角函数值表示出来。

(3)研究

的大小与 ? 的大小关系, ? 的大小与椭圆的扁平程度的关系。
b a

(4)类比并得出结论:



c b

的大小同样能刻画椭圆的扁平程度。

借助集合画板演示,并指出椭圆的离心率可以理解为,在椭圆长轴不变的前 提下,两个焦点离开椭圆中心的程度,之所以我们用 后我们研究圆锥曲线的统一性质带来方便。 练习 3 比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?为什么? (1)椭圆 C 1 : 9 x
2

c a

定义离心率,是为了给今

? y ? 3 6 和椭圆 C 2 :
2

x

2

?

y

2

?1

16 x
2

12 y
2

(2)椭圆 C 4

: x ? 9 y ? 36
2 2

和椭圆 C 5

:

?

?1

6

10

【设计意图】

为了让学生能真正理解离心率的意义,教学中利用数形结

合的思想,从几个具体的椭圆标准方程入手,通过对图形的观察、方程的验证, 从数的方面,发现了椭圆形状与
c a

的本质联系,使学生体验了学习数学的乐趣,

感悟和体会了特殊到一般、 由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归 纳、类比等数学思想方法的运用。 师生活动 借助动画演示,结合教师启发引导,帮助学生理解离心率的定义
7

及离心率对椭圆形状的影响。 及时的梳理概括有利于加深学生对离心率定义的理 解,并使学生更深刻地掌握椭圆的几何性质。 【学情预设】离心率是本节课的重点,也是本节课的难点,同时也是最能渗 透数学思想和方法的知识点, 估计对普通班的学生有一定的难度,教学中较合适 的方法是启发、讲授、讨论相结合,尤其是
b a

、 对椭圆形状的刻画,是本节课
b

c

最难的点,因而采用的启发方式比较直接。 (三)例题讲解 为了加深对椭圆的几何性质的认识,掌握用描点法画图的基本方法,给出如 下例题: 例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长,离心率、焦点和顶点的坐 标 本例题是对椭圆基本性质的归纳,简单,但要严格要求学生认真书写。 七、课堂小结 要求课堂填写 (a
?b ?0

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0

)的性质,课后完成

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

)的性质。
x a
2 2

标准方程

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0 )

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 (a ? b ? 0 )

y y M 图形 F2 x O F1 M x

F1

O

F2

范围 对称性 顶点 离心率
8

性 质

八、布置作业 课本 P42 习题 2.1 A 组 4. 九、课后反思 (1)教学重点的反思: (2)突破难点的反思 (3)学生学习过程的反思:

十、板书设计 椭圆的简单几何性质
1、椭圆的范围: ? a
? x ? a , ? b ? x ? b . 即椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ? b

所围

成的矩形内。 2、椭圆的对称性:椭圆关于 x 轴,y 轴和原点对称。
3、椭圆的顶点: A1 ( ? a , 0 ), A 2 ( a , 0 ), B 1 ( 0 , ? b ), B 2 ( 0 , b ) 。 4、 离心率:e
? c a

(在椭圆长轴不变的前提下, 两个焦点离开椭圆中心的程度)

结论:离心率越大,椭圆越扁 离心率越小,椭圆越圆

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