nbhkdz.com冰点文库

6.3 等比数列(2)

时间:2014-10-27


【课题】 6.3 【教学目标】
知识目标: 理解等比数列前 n 项和公式. 能力目标:

等比数列

通过学习等比数列前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】
等比数列的前 n 项和的公式.

【教学难点】
等比数列前 n 项和公式的推导.
<

br />【课时安排】
3 课时.(135 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 6.3 等比数列. *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍 罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” ,这位聪明的大 臣达依尔说: “陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,…,依照后一格子 内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数 付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格 内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,……,国
第 6 章 数列(教案)

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

从趣 味小 思考 引导 学生 故事 出发 使得 学生 自然 的走 向知 识点

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
参与 分析

王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也 兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大 臣西萨?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前 64 项和. *动脑思考 探索新知 下面来研究求等比数列前 n 项和的方法. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为

10 仔细 分析 思考 归纳

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an.

(1)

导引 提示

带领 学生 总结 问题 得到 等比 数列 理解 记忆 通项 公式

由于 an ? q ? an?1 , 故将(1)式的两边同时乘以 q,得
qSn ? a2 ? a3 ? a4 ? ? an ? an?1.

(2)

用(1)式的两边分别减去(2)式的两边,得

?1 ? q ? Sn ? a1 ? an?1 ? a1 ? a1 ? q n ? a1 ?1 ? q n ?.(3)
当 q ? 1 时,由(3)式得等到数列 ?an ? 的前 n 项和公式

Sn ?

a1(1 ? q n ) (q ? 1). 1? q

(6.7)

知道了等比数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 q(q ? 1), ,利用公式 (6.7)可以直接计算 Sn . 由于

a1q n ? an?1 ? an q,
因此公式(6.7)还可以写成

Sn ?

a1 ? an q (q ? 1). 1? q

(6.8)

当 q ? 1 时, 等比数列的各项都相等, 此时它的前 n 项和为

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程
(6.9)

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

S n ? na1 .
【想一想】

引导 提示 参与 启发 学生 思考 求解 分析 35

在等比数列 {an } 中,知道了 a1 、q、n、 a n 、 Sn 五个量中 的三个量,就可以求出其余的两个量.针对不同情况,应该分 别采用什么样的计算方法? 【注意】 在求等比数列的前 n 项和时, 一定要判断公比 q 是否为1. *巩固知识 典型例题 【任务一】 写出等比数列 观察

1,?3,9,?27,?
的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和. 思考 小组讨论展示结果 因为 a1 ? 1, q ? 式为
Sn ?
S8 ?

通过 例题 进一

?3 ? ?3 ,所以等比数列的前 n 项和公 提示 1

主动 求解

步领 会

1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3) n ? , 1 ? (?3) 4
1 ? (?3)8 ? ?1640 . 4



45 观察 注意 观察 学生 思考 是否 理解 知识 点

【任务二】 一个等比数列的首项为 为

9 4 ,末项为 ,各项的和 4 9

211 ,求数列的公比并判断数列是由几项组成. 36
小组讨论展示结果 设该数列由 n 项组成,其公比为 q,则 a1 ?

9 4 , an ? , 指导 4 9

求解

Sn ?
于是

211 . 36

第 6 章 数列(教案)

教 过
9 4 ? ?q 211 4 9 ? , 36 1? q


学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
领会

?9 4 ? 211 (1 ? q) ? 36? ? q ? , ?4 9 ?
解得

q?

2 . 3

检查

所以数列的通项公式为

9 ?2? an ? ? ? ? 4 ?3?
n ?1

n ?1

,

于是

4 9?2? ? ? ? 9 4? 3?


4

即 解得

?2? ? ? ?3?

n ?1

?2? ?? ? , ?3?

n?5.

故数列的公比为 【注意】

2 ,该数列共有 5 项. 3

反复 强调 50

例 6 中求项数 n 时,将等号两边化成同底数幂的形式,利 用指数相等来求解.这种方法是研究等比数列问题的常用方 法. 现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑 现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为 强调 引用
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 , 1? 2

思考

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质 量约为 7.36×1017 g,约合 7360 多亿吨.我国 2000 年小麦的全

第 6 章 数列(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

国产量才约为 1.14 亿吨, 国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺 呢! *运用知识 强化练习 (独立思考,动手解决) 练习 6.3.3 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 *巩固知识 典型例题 【趣味问题】 设报纸的厚度为 0.07 毫米, 你将一张报纸对折 5 次后的厚 度是多少?能否对折 50 次,为什么? 【小知识】 复利计息法:将前一期的本金与利息的和(简称本利和) 作为后一期的本金来计算利息的方法.俗称“利滚利” . 【任务三】 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小 王从银行贷款 20 万元, 贷款期限为 5 年, 年利率为 5.76%, 如 果 5 年后一次性还款,那么小王应偿还银行多少钱?(精确到 0.000001 万元) 小组讨论,展示结果 观察 货款第一年后的本利和为
20 ? 20 ? 5.76% ? 20(1 ? 0.0576) ? 1.0576 ? 20,

1 2 4 8 1.求等比数列 , , , ,?的前 10 项的和. 9 9 9 9
2.已知等比数列{ an }的公比为 2, S 4 =1,求 S8 .

60

通过 例题 提示 进一 步领 会

注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 45

第二年后的本利和为
1.0576 ? 20 ? 1.0576 ? 20 ? 5.76% ? 1.0576 ? 20,
2

思考

反复 强调

依次下去,从第一年后起,每年后的本利和组成的数列为等比 数列

主动 求解

1.0576 ? 20,1.05762 ? 20,1.05763 ? 20, ?

第 6 章 数列(教案)

教 过
其通项公式为

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

an ? 1.0576 ? 20 ?1.0576n?1 ? 1.0576n ? 20
故 答

领会

a5 ? 1.05765 ? 20 ? 26.462886 .
小王应偿还银行 26.462886 万元. 50

*运用知识 强化练习 (学生自己思考解决问题) 张明计划贷款购买一部家用汽车, 贷款 15 万元, 贷款期为 5 年,年利率为 5.76%,5 年后应偿还银行多少钱? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 等比数列的前 n 项和公式是什么? 提示 回答 及时 了解 学生 知识 理解 强化 掌握 情况 70 提问 求解 强化 60

a1 (1 ? q n ) (q ? 1). 结论: S n ? 1? q
Sn ? a1 ? a n q (q ? 1). 1? q

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 (自己思考,独立解决) 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 1.已知等比数列{ an }中, a1 ? 2,S3 ? 26, 求 q与a3. 2.等比数列{ an }的首项是 6,第 6 项是 的前多少项之和是

回忆

检验 学生 学习 反思 效果 培养 动手 求解 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 80

?

3 ,这个数列 巡视 16
指导

255 ? 64

第 6 章 数列(教案)

教 过
*继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
记录 分层 次要 求

(2)书面作业: 教材习题 6. 3A 组 (必做) ; 教材习题 6. 3B 组(选做) (3)实践调查:运用等比数列求和公式解决现实生活中的 实际问题. 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信;

90

遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面; ?

第 6 章 数列(教案)


6.3 .3等比数列的前n项和

6.3.3 学程 教师 行为启发 引导 提问 巡视 指导 学生 教学 行为 意图思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 1 2 4 8 1.求等比数列 ,,,?...

6.3 等比数列及其前n项和练习题

6.3 等比数列及其前n项和练习题_数学_高中教育_教育专区。§6.3 等比数列及其前 n 项和一、选择题 1. 2+1 与 2-1 两数的等比中项是( A.1 C.±1 解...

2017高考数学一轮复习第六章数列6.3.2等比数列的性质及...

2017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3.2 等比数列的性质及应 用对点训练 理 1.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 ...

高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 6.3 等比数列及...

高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 6.3 等比数列及其前n项和_数学_高中...· Sk=0(k≥2,k∈N)的充要条件是 an+an+1=0.( √ (6)设{an}是...

...第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 理

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前...?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ≠...

§6.3 等比数列及其前n项和知识点及题型和变式练习

复习要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用;2.使用公式要注意公比q=1的情况;3.结合等比数列的定义、公式,掌握通性通法.§ 6.3 等比数列及其 前 n 项和 ...

文科一轮学案6.3 等比数列及其前n项和

第六章 数列 学案 6.3 【双基梳理】 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列 等比数列,这个常数叫做等比数列2.等比数列的通项公式 等比数列及其前 n 项和...

2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.3 等比数列及...

2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.3 等比数列及其前n项和(讲).doc_...1 时该数列既是等比数列也是等差 数列; (2)等比数列的通项公式知:若 {an ...

6.3.4等比数列应用举例(银行贷款计算)

教学 内容 教学 目标 重点 教具 板书 设计 课时 §6.3.4 等比数列应用举例 ...5.152 (万元)这是本金变少了,利息重新计算,那么第二期实际 偿还的金额是 ...

2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.3 等比数列及...

2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.3 等比数列及其前n项和(练).doc_...2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 的各项为正,且 bn...