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平面向量的数量积及运算律(一)教案


●(一) 、新课引入——为什么定义平面向量数量积 F 在物理学中学过功的概念, 一个物体在力 F 的作用下产生位移 S, θ 那么力 F 所作的功 W=FScosθ 。 S 思考:W 是什么量?F 和 S 是什么量?和向量有什么关系? W 是标量(实数) ,F 和 S 是矢量(向量)这个式子建立了实数和向量之间的关系,是实数和向量 互相转化的桥梁。 我们学过的向量运算 a ? b

,a ? b, ?a 结果都是向量。因此定义一个新的运算,不仅是物理学的 需要,也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。 ●(二) 、新课学习 ★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考:模仿物理学功的定义: a ? b ? a b cos ? 思考:由数学中对称的思想,有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴,可否定义

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? ? ? ? a *b ? a b sin ? ,有什么几何意义?
引导学生阅读课本 P118,找出数学定义的特点:针对两个非零向量定义,规定零向量与任意向量 的数量积为 0。 B 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ

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? b
O θ

? ? (0≤θ ≤π )叫 a 与 b 的夹角 (右图的夹角分别是什么)
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? a
B

A

? ? 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它 ? ? ? ? ? ? 们的夹角是θ ,则数量| a || b |cos? 叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b , ? ? ? ? 即有 a ? b = | a || b |cos?,
(0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
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? b
O θ

? a

A

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思考:功怎么用数量积表示: F ? S 数学的定义从实践中来,又回到实践指导实践。 ★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义 学习数学两手都要硬,一手抓代数、一手抓几何,渗透数形结合的思想方法,而向量恰好是 用量化的方法研究几何问题的最佳工具。 1 几何意义: “投影”的概念:作图

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平面向量数列积运算(1)教案

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定义:| b |cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影

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思考:投影是否是长度?投影是否是向量?投影是否是实数? 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时 投影为 0;当? = 0?时投影为 | b |;当? = 180?时投影为 ?| b |

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几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b |cos?的乘积 2.代数性质(两个向量的数量积的性质) :
(1)两个非零向量 a 与 b , a ? b ?

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? ? a ? b = 0(此性质可以解决几何中的垂直问题) ; ? ? ? ?

(2)两个非零向量 a 与 b ,当 a 与 b 同向时, a ? b = | a || b |; 当 a 与 b 反向时, a ? b = ?| a || b |

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(此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题) ;

? ? a ?b (3)cos? = ? ? (此性质可以解决向量的夹角问题) ; | a || b | ? ? ? ? ?2 ? a ?b ? ? ? (4) a ? a = | a | , | a |? a ? a , a ? ? (此性质可以解决长度问题即向量的模的问题) ; b cos ?
(5)| a ? b | ≤ | a || b |(此性质要注意和绝对值的性质区别,可以解决不等式的有关问题) ; 3.任何一种运算都满足一定的运算律,以方便运算,数量积满足哪些算律? 实数的运算律 (交换律) ab=ba (结合律)(ab)c=a(bc) (分配律)a(b+c)=ab+ac 向量数量积运算律

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? ? ? ? a ? b?b ? a ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c?a ? (b ? c) ? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c)?a ? b ? a ? c ? ? ? ? ? ? (?a) ? b??(a ? b)?a ? (?b)

√ × √ √

平面向量数列积运算(1)教案

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思考:运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律,变异了哪些运算律?课 下对成立的运算律给出证明,对不成立的运算律举出反例。 从性质的分析知道,数量积是应用非常广泛和灵活的,涉及代数和几何甚至跨学科的知识,因此 学习数量积是为了能够应用它解决问题。 ★新课学习阶梯三 ——怎样用定义、性质解决问题(范例讲解) 例 1. (巩固概念)判断下列各题正确与否: (1)若 a = 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b = 0

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( √ ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × )

(2)若 a ? 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 (3)若 a ? 0 , a ? b = 0,则 b = 0

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(4)若 a ? b = 0,则 a 、 b 至少有一个为零 (5)若 a ? 0 , a ? b = a ? c ,则 b = c

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(6)若 a ? b = a ? c ,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立 (7)对任意向量 a 、 b 、 c ,有( a ? b )? c ? a ?( b ? c ) (8)对任意向量 a ,有 a 2 = | a |2

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( × ) ( × ) ( √ )

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? ? ? ? ? ? 0 例 2. (课本 P118)已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是 120 ,求 a ? b (课本资源升华)
学生回答: a ? b =-10 (以下变形向量 a 与 b 均为非零向量) 变形 1:已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是 120 ,求 a ? b
0

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思考:求长度,怎样将长度和数量积建立起关系?

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? a ? b 2= (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 2a ? b =25+16-10=21,
所以 a ? b = 21 。 变形 2:已知三角形 ABC 的边 AB=5,BC=4,∠ABC=1200,求边 AC。 启发:这个问题看似和向量无关,要想运用向量的知识,必须构造向量,突破点是如何构造向量。 提问学生或老师讲解: AC ? AB ? BC ,

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??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? AC ? AB ? BC ? 2AB ? BC =25+16+2×5×4×cos600=61, AC= 61
思考:已知三角形两边一夹角一定可求第三边吗?
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变形 3:已知三角形 ABC 的边 AB=5,BC=4,sin∠ABC= 思考:已知正弦值,如何求余弦值,几解?

3 ,求边 AC。 5

变形 4:已知 a =5, b =4, a ? b = 21 ,求向量 a 与 b 的夹角。 思考:建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能,先求 a ? b 。 变形 5:已知 a =5, b =4, a 在 b 上的投影是-2,求 a ? b 及 a 与 b 的夹角。 变形 6:已知 a ? b =5, a ? b =4,求 a ? b 。 思考:求数量积,怎样将长度和数量积建立起关系?

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? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? a ? b 2= (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 2a ? b =25, ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? a ? b 2= (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 2a ? b =16,
两式相减得:4 a ? b =9, a ? b =

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9 4
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点评:解决该问题,不仅局限于长度和数量积的关系,还运用了方程这一代数味很浓的思想。 变形 7:已知 a ? b = a ? b =4,求 a ? b ;能求向量 a 与 b 的夹角吗?能求 a 吗?若不能求,你能 补充一个合适的条件求出 a 吗? 启发:除了用数量积的运算性质求出 a ? b ,你还能从向量加减法运算的几何意义给出解释吗? 变形 8:已知 a =5, b =4,向量 a 与 b 夹角是 120 ,求使向量 a ? ?b 与 a ? b 的夹角是锐角的实
0

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数λ 的取值范围。 思考:夹角是锐角如何用数量积体现?( a ? ?b ) ? ( a ? b )>0 变形 9:向量 a 与 b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求向量 a 与

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? b 的夹角

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解:由( a + 3 b ) ? (7 a ? 5 b ) = 0 ? 7 a 2 + 16 a ? b ?15 b 2 = 0 ( a ? 4 b ) ? (7 a ? 2 b ) = 0 ? 7 a 2 ? 30 a ? b + 8 b 2 = 0 两式相减:2 a ? b = b

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① ②

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?2 ?2
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代入①或②得: a 2 = b

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平面向量数列积运算(1)教案

? ? ? ? ? a ?b b2 1 ?2? 设 a 、 b 的夹角为?,则 cos? = ? ? ? 2 | a || b | 2 | b |

∴? = 60?

通过以上问题的变式探究:问题涉及无非是向量的模(长度) 、向量的夹角(三角形或多边形的内 角或其补角) 、数量积三个量的关系。这是向量数量积定义的灵魂,同时,数量积运算也是沟通实 数和向量的桥梁。 ★新课学习阶梯四 ——课堂练习

? 3 ? ? 3 ? ) b 与 a - b 的位置关系为( 4 4 ? A 平行 B 垂直? C 夹角为 ? D 不平行也不垂直 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 已知| a |=2,| b |=5, a · b =-3,则| a + b |=______,| a - b |=
1 | a |=3,| b |=4,向量 a +
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3 设| a |=3,| b |=5,且 a +λ b 与 a -λ b 垂直,则λ =
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★新课学习阶梯五 ——学会小结 学生自我归纳。 ★新课学习阶梯六——创造性学习(备用) 如图 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,PFAE 是矩形, 猜猜:不论 P 点位置如何,PC 和 EF 是否总相等且垂直? 提示:这是一个平几问题,没有向量的踪迹,怎样构造向量、创造性地运 用数量积运算解决? 思考:如何建立基向量;将 PC 和 EF 看成向量,用基向量表示;计算

C

B

P D F

E A

??? ? ??? ??? ? ??? PC , EF 是否相等;计算 PC ? EF 是否为零。
解析:设 DA = a , DC = b ,则 DB = a + b ,设 DP =λ ( a + b ) ,

???? ?

??? ? ?

??? ? ? ?

??? ?

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? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? CP ? CD ? DP =- b +λ ( a + b )=λ a +(λ -1) b ,
显然 DF =λ

??? ?

???? ? ? ??? ? DA =λ a , FA ? (1 ? ?) a ,
? ? ?

则 EF = EP + PD + DF =(λ -1) a -λ ( a + b )+λ

??? ??? ??? ? ??? ?
??? ?

? ? ? a =(λ -1) a -λ b

2 则 CP =(λ a +(λ -1) b )2=λ 2 a 2+(λ -1)2 b 2,

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? ? ??? ? ? EF 2=( (λ -1) a -λ b )2=(λ -1)2 a 2+λ 2 b 2,
又 ABCD 是正方形, a 2= b 2,所以 CP = EF 2,
2

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???

? ? ??? ??? ? ? ? EF ?CP =( (λ -1) a -λ b ) ? (λ a +(λ -1) b )
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=(λ -1)λ

? ? a 2-λ (λ -1) b 2=0,所以 PC 和 EF 总是相等且垂直。

◆六、课后反思和巩固(assignment) 1. 对数量积的运算律的证明思考和阅读(课本 P119~P120) 2. 优化设计第一课时、课本 P121 习题 5.6 第 1.2.3.4.5

《平面向量的数量积及运算律》一课设计思路 平面向量的数量积及运算律共两个课时, 本课时为第一课时。 围绕数量积的定义、 性质和运输律及简单应用,展开设计,为下节课灵活应用数量积的性质和运算律解决 问题奠定基础。例题的选取紧紧扣住课本 P118 的例 1,并通过例 1 展开变式研究和培 养学生的发散性思维,并将课本其余几个例题都整和到例 1 的变式研究中。变式研究 不仅是本节课的一大特点,同时也是本人多年坚持探究的问题——怎样用好课本,将 课本的例题资源最大化,将课本的习题资源最大化,将课本的阅读材料充分利用。一 句话,把课本作为第一课程资源用足、用到位。 本节是全章的重点内容之一,定义是基础,性质是工具,运算律及应用是难点。 因此本节课分层次将教学过程分解为两个步骤:为什么定义平面向量的数量积;怎样 认识平面向量的数量积。新课学习分为六个阶梯:怎么定义平面向量的数量积;怎么 全方位认识定义;怎样用定义、性质解决问题;课堂演练;怎样小结;怎样创造性地 应用平面向量的数量积。突出学习数学知识的一般过程——为什么学、学什么、怎么 用。在新课引入上突出课改的理念,从学生的认知结构和体现数学的实用出发,请教 了物理教师,功、磁通量均与向量运算有关,但学生目前只学过功。所以采取课本的 引入方法。引导学生结合具体情景设计问题,体现开放教学和民主的课堂氛围。学生 在各个阶梯过程中,渗透数学概念的学习策略:抓关键字、抓定义前题。渗透数学思 想方法的学习:类比的思想、数形结合的思想、对称的思想、构造法。渗透发散性思 维的培养意识,通过教师的变式研究,引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活, 从而提高有效学习的效率。引导学生自己小结,一方面培养学生对问题的整理综合能 力,另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容,懂得过滤学习内容,取舍得当。 淡化次要内容,突出重点、难点。因此对数量积的运算律、长度、角度、垂直等 问题的证明略过,课下引导有兴趣的同学阅读、自学。将课堂有限的时间最大限度地 进行有效教学。

平面向量数列积运算(1)教案

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