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数学文卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(2014.03)

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2013—2014 学年度下学期二调考试 高三年级数学试卷(文)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1.已知 R 是实数集, M ? { x | A. (1,2) 2. 在复平面内,复数 A.第一象限 B. ?0,2?

2 ? 1}, N ? { y | y ? x
C. ?

x ? 1 ? 1} ,则 N ? C R M ? (
D. ?1,2? )

)

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3.给定命题 p:函数 y ? ln[(1 ? x)(1 ? x)] 为偶函数;命题 q:函数 y ? 下列说法正确的是( A. C. 是假命题 是真命题 ) B. D. 是假命题 是真命题

ex ?1 为偶函数, ex ? 1

4.等差数列中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则该数列前 13 项的和是( A.13 B.26 C.52 ) D.156

)

5.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( A.y=x+1 的图像上 C.y=2 的图像上
x

B.y=2x 的图像上 D.y=2 的图像上
x-1

6.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正 视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则其侧视图的面积为( A. 3 2 B. 1 2 C.1
2

)
正视图

D.

2 2

7.已知等边 ?ABF 的顶点 F 是抛物线 C1 : y ? 2 px 的焦点,顶点 B 在抛物线的准线 l 上且 AB ⊥l,则点 A 的位置( A. 在 C1 开口内 ) B.
第 1 页 共 12 页

俯视图

在 C1 上

C.

在 C1 开口外

D.

与 p 值有关 )

8.若函数 y ? f ( x) ? cos x 在 [? A.1 B. cos x

? 3?
4 , 4

] 上单调递减,则 f ( x) 可以是(
C. ? sin x D. sin x

9. 已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? 向量 a, b 的夹角范围是( A. [0,

?

?

1 3 1 ? 2 ? ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值,则 3 2

? ?



?
6

)

B. (

?
6

,? ]

C. (

?
3

,? ]

D. (

? 2?
3 , 3

)

10. 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a 2 b2
)

PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为(
A. 2 B. 2 2 C. 3 D.

4 3 3

11.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且

f ( x) ? a x g ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) ,
于 62,则 n 的最小值为( A.6 12. 已知函数 B .7 )

f (n) f (1) f (?1) 5 ? ? .若数列 { } 的前 n 项和大 g (n) g (1) g (?1) 2

C.8

D.9

则方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取 )

值范围是(注:e 为自然对数的底数) (

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P, 则△PBC 的面积小于

S 的概率是 4



?x ? y ? 4 ? 14. 已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 14 相交于 ?x ? 1 ?
A、B 两点,则 AB 的最小值为 。

15. 已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, PA ? PD ? AB ? 2 ,
第 2 页 共 12 页

、B 、 C 、 D 都在同一球面上,则此球的表面积等 ?APD ? 90? , 若 点 P、 A
于 16.已知数列 都成立,则 S10= 。 的前 n 项和,对于任意的 。

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17. 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , (m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的值域; (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 对的边分别是 a, b ,求

? ? 3 , f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所
4 4

1 1 ? 的值. a b

18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关, 随机抽取了 55 名市民, 得 到数据如下表: 喜欢 大于 40 岁 20 岁至 40 岁 合计 20 10 30 不喜欢 5 20 25 合计 25 30 55

(Ⅰ)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取 6 人作进一步调查, 将这 6 位市民作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 位“大于 40 岁”的市民和 1 位“20 岁至 40 岁”的市民的概率.

第 3 页 共 12 页

下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? ,

PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .
(I ) 求证: CE ∥平面 PAB ; ( II ) 求四面体 PACE 的体积.

20. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且 | F1 F2 |=2,点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 心且与直线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为圆 7

第 4 页 共 12 页

21.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) . (Ⅰ) 当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1处的切线方程; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; (Ⅲ) 若存在两不等实根 x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值 范围.

1 e

第 5 页 共 12 页

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右 侧方框涂黑,按所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选 考题的首题进行评分。 22.如图,已知 A, B, C, D, E 均在⊙O 上,且 AC 为⊙O 的直径. (1)求 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E 的值; (2)若⊙O 的半径为 的长.

3 , AD 与 EC 交于点 M ,且 E 、 D 为弧 AC 的三等分点,求 MD 2

23. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴
? 2 t ?x?m? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ( t 是参数). ?y ? 2 t ? ? 2

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值.

24. 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

第 6 页 共 12 页

2013—2014 学年度下学期二调考试 高三年级数学试卷(文) (参考答案)
1——12 13. DBBBD 14. 4 BBCCC AB 16.91

1 2

15. 12?

17.解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .?????????2 分
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .?????????????4 分 4 ? ?π ? 在 [0, ] 上递增.在 ? ,π ? 递减, ?4 ? 4

所以函数 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的值域为 [? 2 ,2] ;?????????????5 分
π π (2) 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B 得 4 4

??7 sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

分 由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab ,?????????????????9 分 因为△ABC 的外接圆半径为 R ? 所以

3 . a ? b ? 2ab .??????????11 分

1 1 ? ? 2 ?????????????????????????12 分 a b
55(20 ? 20 ? 10 ? 5) 2 ? 11.978 ? 7.879 30 ? 25 ? 25 ? 30
??

18.解: (1)由公式 K 2 ?

所以有 99.5% 的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 5分 (2)设所抽样本中有 m 个“大于 40 岁”市民,则

m 6 ? ,得 m ? 4 人 20 30

所以样本中有 4 个“大于 40 岁”的市民,2 个“20 岁至 40 岁”的市民,分别记作

B1 , B2 , B3 , B4 , C1 , C 2 ,从中任选 2 人的基本事件有

( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ),
( B3 , B4 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C 2 ), ( B4 , C1 ), ( B4 , C 2 ), (C1 , C 2 ), 共 15
个 ?????9 分
第 7 页 共 12 页

其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的事件有

( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C 2 ), ( B4 , C 2 ), 共 8 个
所以恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的概率为 P ? 12 分 19、答案:1)法一: 取 AD 得中点 M,连接 EM,CM.则 EM//PA

8 ???? 15

因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
P

所以, EM / /平面PAB

(2 分)
E

在 Rt? ACD 中, ?CAD ? 60?, CM ? AM 所以, ?ACM ? 60? 而 ?BAC ? 60? ,所以,MC//AB.
B A

D M

(3 分)
C

因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, 所以, MC / /平面PAB 又因为 EM ? MC ? M 所以, 平面EMC / /平面PAB (4 分)
P

E

因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / /平面PAB 法二: 延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN.

(6 分)
B

A D

因为 ?NAC ? ?DAC ? 60?, AC ? CD 所以,C 为 ND 的中点. (3 分)
N

C

因为 E 为 PD 的中点,所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

所以,EC / /平面PAB

(6 分) (7 分)

2)法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD ,所以, PA ? CD

(8 分) (10 分)

又因为 CD ? AC, AC ? PA ? A ,所以, CD ? 平面PAC

第 8 页 共 12 页

因为 E 是 PD 的中点, 所以点 E 平面 PAC 的距离 h ? 所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 CD ? 3 , 2

S? PAC ?
(12 分)

1 ? 2? 2 ? 2 2

1 1 2 3 S? PAC ? h ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

法二:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD ,所以,VP ? ACD ? 分) 因为 E 是 PD 的中点,所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 1 4 3 S? ACD ? PA ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 3

(10

1 2 3 VP ? ACD ? 2 3

(12 分)

20.(1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

?????. . (4 分)

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,题意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合 2 2
????(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= ?????. . (9 分) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2|k | 1? k 2
,∴ ? A F2 B 的面积=

又圆 F2 的半径 r=

1 12 | k | k 2 ? 1 12 2 |AB| r= = ,化简 2 7 3 ? 4k 2

得:17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????. . (12 分) 21.解:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? ( ? x 2 ? 5 x ? 3) ? e x , g (1) ? e . 分 ???1

g?( x ) ? ( ? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

???2 分 ???4 分

第 9 页 共 12 页

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e
?
单调递减

1 e

1 ( , ??) e

0
极小值(最小值)

?
单调递增

???6 分

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
???7 分

所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e
???8 分 ???9 分

1 1 所以 f ( x )min ? f ( ) ? ? e e

(Ⅲ) 由 g( x ) ? 2e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x
2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 , h?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2

令 h( x) ? x ? 2 ln x ?

x
h?( x) h( x )

1 ( ,1) e
?
单调递减

1
0
极小值(最小值)

(1,e)

?
单调递增 ???10 分

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
???11 分

第 10 页 共 12 页

?实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

???12 分

22.解: (Ⅰ)连接 OA, OB, OC, OD, OE ,则

?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E
1 ? (?COD ? ?DOE ? ?EOA ? ?AOB ? ?BOC ) 2 1 ? ? 360? ? 180? . 5分 2
(Ⅱ)连接 OM 和CD ,因为 AC 为⊙O 的直径, 所以 ?ADC ? 90? ,又 E 、 D 为 ? AC 的三等分点,所以

1 1 1 ?A ? ?C ? ?EOA ? ? ?180? ? 30? . 2 2 3
所以 OM ? AC .因为⊙O 的半径为

7分

OA OA 3 3 ? ? 1. ,即 OA ? ,所以 AM ? cos A cos 30? 2 2
3 3 3 ? ? . 2 2 2
10 分

在 Rt ?ADC 中, AD ? AC ? cos A ? 2 ? 则 MD ? AD ? AM ?

1 . 2
直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m

23.解: (I)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

??? 4 分

? 2 x? t?m ? ? 2 (Ⅱ):把 ? ( t 是参数)代入方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 得 ?y ? 2 t ? 2 ?
t 2 ? 2 ( m ? 2)t ? m 2 ? 4m ? 0 ,???6 分 ? t 1 ? t 2 ? ? 2 ( m ? 2), t 1 t 2 ? m 2 ? 4m .

?

| AB |?| t 1 ? t 2 |? ( t 1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 ? [? 2 ( m ? 2)]2 ? 4( m 2 ? 4m ) ? 14.

?m ? 1或m ? 3

???10 分

24.【解析】解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即

a ?3 ? x ? 3,
∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈┈┈5 分

第 11 页 共 12 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ? n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。┈┈┈┈┈10 分

第 12 页 共 12 页


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