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广东省中山一中等六校2013届高三12月联考数学理试题与答案(纯净WORD)

时间:2012-12-26


广东省

广州市广东番禺仲元中学 中山市第一中学 深圳市宝安中学 汕头市潮阳第一中学 揭阳市普宁第二中学 佛山市南海中学

六校 联合体

2012~2013 学年度高三第二次教学质量检测 理科数学试题
命题人:宝安中学、中山一中 本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式:2012-12-26 Wednesday 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 Pn ? k ? ? C n P ? 1 ? P ?
k k n?k

锥体体积公式: V ?

1 3

S h , S 为底面面积, h 为高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? { x | 2 ? 4 ? 0} ,则 ?U M =
x

A. { x | x ? 2}

B. { x | x ? 2}

C. { x | x ? 2}

D. { x | x ? 2}

2.复数

在复平面中所对应的点到原点的距离为

A.

B.1

C.

D.

3.如图所示,一个空间几何体的主(正)视图和左(侧)视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A.
3 2 π

B. 2 π

C. 3 π

D. 4 π

4.执行右边的程序框图,若 p=4,则输出的 S= A.
1 16

B.

7 8

C.

15 16

D.

31 32

5.数列 ? a n ? 满足 a n ? 1

? 2a , ? n ? ? ? ? 2 a ? 1, ? n ?

0 ? an ? 1 2

1 2

,若 a 1 ?

3 5



? an ? 1

则数列的第 2012 项为

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

6.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别
???? ???? ???? ? ??? ? x· y 交于 M,N 两点,且 A M =x A B , A N =y A C ,则 的值为 x+y

A.3

1 B. 3

C.2

1 D. 2

7.一植物园参观路径如右图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同 的参观路线种数共有 A.6 种 C.36 种
2

B.8 种 D.48 种

8.函数 y ? x ? 2 x 在区间 [ a , b ] 上的值域是 [ ? 1, 3] ,则点(a,b)的轨迹是 图中的 A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题)
? 2 1? 4 9.在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x? ?
5



10. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ? C 之间的关系, 统计了某 4 天的用电量与当天气温, 数据如下表: 气温(0C) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38
?1

64

? 由表中数据可得线性回归方程 y ? b x ? a 中的 b ? ? 2 ,预测当气温为 ? 1 0 ? C 时,该单

位用电量的度数约为_______度.
?x ? y ?1? 0 ? 11.已知不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域为 D,若直线 y=kx +1 将区域 D 分成面积 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

相等的两部分,则实数 k 的值是 12. ? ( 2 ? 1 ? x ) d x ?
0 2

. .
2

13.若对于任意 a ? [ ? 1,1] ,函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2 a 的值恒大于零,则 x 的取值

范围是 . (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2 ,
? ? π? ? 4?

作圆 ? ? 4 sin ? 的切线,则

切线的极坐标方程为


22 3

15. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 的割线 P A B 交圆 O 于 A , B 两 点,割线 P C D 经过圆心 O ,已知 P A ? 6 , A B ? 圆 O 的半径是 .
第 15 题图

, P O ? 1 2 ,则

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边, c o s A ? (1)求角 C 的值; (2)若 a ? 4 ,求△ ABC 面积.
5 5

, tan B ? 3 .

17.(本小题满分 12 分) 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为 0)的概率为 0 .1 ,飞镖落 在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为 30cm、 20cm、10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示. (1)若这位同学向圆形靶投掷 3 次飞镖,求恰有 2 次落在 9 环区域内的概率; (2)记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X,求 X 的分布列及数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 如图,等腰梯形 P D C B 的底角为 4 5 ? , P B ? 3, D C ? 1, P D ? B C ?
2,

0 8 9 10

A 为

P B 边上一点,且 P A ? 1, 将 ? P A D 沿 A D 折起,使平面 P A D ⊥平面 A B C D .

(1)求证: C D ⊥平面 P A D ; (2)若 M 为 P B 的中点,试求异面直线 A M 和 B C 所成的角的余弦值; ( 3 ) 在侧 棱 PB 上 有一 点 Q , 使 截面 AQC 把 几 何 体分成 的 两部 分的 体 积之 比
V P D C Q A : V Q A C B ? 7 : 2 ,求 P Q 的长.

P

A

P P

B
M M A A

B B

D

C

D D

C

C

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

3 3

,直线 l: x ? y ? 2 ? 0 与以原点为

圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直直线 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 A(x1,2)、B(x2 ,y2)、C(x0,y0)是 C2 上不同的点,且 AB⊥ BC,求 yo 的 取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e 定义域为 ?? 2 , t ? ( t ? ? 2 ).
2 x

(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 ?? 2 , t ? 上为单调函数; (2)求证: f ( t ) ? f ( ? 2 ) ; (3)当 1 ? t ? 4 时,求满足
f ?( x 0 ) e
x0

?

2 3

( t ? 1) 的 x 0 的个数.
2

21.(本小题满分 14 分) 已知曲线 C : xy ? 1 ,过 C 上一点 A n ( x n , y n ) 作一斜率 k n ? ?
1 xn ? 2

的直线交曲线 C 于另

一点 A n ? 1 ( x n ? 1 , y n ? 1 ) . (1)求 x n 与 x n ? 1 之间的关系式; (2)求证:数列 {
1 xn ? 2 ? 1 3
2 3 n

} 是等比数列;

(3)求证: ( ? 1) x1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ? ( ? 1) x n ? 1( n ? N *)

2012-2013 年度 12 月六校联考理科数学答案
一、选择题: 题号 正确答案 二、填空题: 9.10; 10.80; 11.
1 3

1 C

2 C

3 A

4 C

5 D

6 B

7 D

8 A



12.3;

13. ( ? ? ,1) ? (3, ? ? ) ;

14. ? co s ? ? 2 ; 三、解答题:

15.8.

16.在△ ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边, c o s A ? (1)求角 C 的值; (2)若 a ? 4 ,求△ ABC 面积. 解:(1)在△ ABC 中,由 c o s A ?
ta n C ? ? ta n ( A ? B ) ? ?

5 5

, tan B ? 3 .

5 5

得 s in A ?

2 5 5

,? tan A ? 2 ,……………3 分 ……………5 分 ……………6 分

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B

?1,

又 0 ? C ? ? ,∴ (2)由
a sin A ? c sin C

C ?

?
4


s in C s in A ?a ? 10 ,

可得, c ?
3 10

……………8 分 ……………10 分

由 tan B ? 3 得, sin B ?
1 2



所以,△ ABC 面积是

a c sin B ? 6 .

……………12 分

17.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为 0)的概率为 0 .1 ,飞 镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为 30cm、20cm、 10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示. (1)若这位同学向圆形靶投掷 3 次飞镖,求恰有 2 次落在 9 环区域内的概率; (2)记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X,求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成 0 正比,而与它们的质量和形状无关. 8 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3:2:1,面积比为 9 9:4:1, 10 所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5:3:1, 则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k,3k,k 根 据 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质 有 0.1+5k+3k+k=1 , 解 得 k=0.1. ……………3 分 所以,这位同学向圆形靶投掷 1 次飞镖,落在 9 环区域内的概率为 0.3,

所以,P(向圆形靶投掷 3 次飞镖,恰有 2 次落在 9 环区域内)
? C 3 0 .3 (1 ? 0 .3) ? 0 .1 8 9 .
2 2

……………6 分 ……………7 分

(2)随机变量 X 的取值为 0,8,9,10,

P ( x ? 0 ) ? 0 .1 , P ( x ? 8) ? 0 .5 , P ( x ? 9 ) ? 0 .3 , P ( x ? 1 0 ) ? 0 .1 ,

所以,离散型随机变量 X 的分布列为: X P 0 0.1 8 0.5 9 0.3 10 0.1 ……………11 分 ……………12 分

E(X)=0× 0.1+8× 0.5+9× 0.3+10× 0.1=7.7.

18.如图,等腰梯形 P D C B 的底角为 4 5 ? , P B ? 3, D C ? 1, P D ? B C ? 上一点,且 P A ? 1, 将 ? P A D 沿 A D 折起,使平面 P A D ⊥平面 A B C D . (1)求证: C D ⊥平面 P A D ; (2)若 M 为 P B 的中点,试求异面直线 A M 和 B C 所成的角的余弦值;

2,

A 为 PB 边

( 3 ) 在侧 棱 PB 上 有一 点 Q , 使 截面 AQC 把 几 何 体分成 的 两部 分的 体 积之 比
V P D C Q A : V Q A C B ? 7 : 2 ,求 P Q 的长.
P A B
A A P P

M M

B B

D

C

D D

C

C

(1)证明:依题意知 ? P ? 4 5 ? , P A ? 1, P D ?

2 ,? A D ? A B ,
z

又 C D ∥ A B ,? C D ? A D , 又∵平面 P A D ⊥平面 A B C D ,平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D , …………………4 分 (2)由 ? P A D ? ? P A B ? 9 0 ? 知 P A ? 平面 A B C D , 如图,分别以 A D , A B , A P 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
x D

P

C D ? 平面 P A D .

M

A

B y

C

则易得各点的坐标为 A (0, 0, 0 ) , P ? 0 , 0 ,1 ? , D ? 1, 0 , 0 ? , C ? 1,1, 0 ? , B ? 0 , 2 , 0 ? .
? ?

故 P B 的中点的坐标为 M ? 0 ,1,

??? ? ???? ? ? 1? 1? ? , 故 A M ? ? 0 ,1, ? , 又 C B ? ? ? 1,1, 0 ? , 2? 2? ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ?CB ? c o s A M , C B ? ???? ??? ? ? ? AM ? CB

1 0 ?1? 1 4
10 5

? 5 2

1 ? 2

?

10 5

.

? 1?1? 0

所以异面直线 A M 和 B C 所成的角的余弦值为



……………9 分 ………………11 分

(3)解:∵ V P D C Q A : V Q A C B ? 7 : 2 ,∴ V Q ? A C B ?

2 9

V P ? ABCD

又由 ? P A D ? ? P A B ? 9 0 ? 知 P A ? 平面 A B C D ,又
S ABCD ? 1 2

? DC

? AB ? AD ?

1 2

? ?1 ? 2 ? ? 1 ?

3 2

, S ? ABC ? 1 .

设 Q 到平面 A B C D 的距离为 h ,则
1 3 h ? S ?ABC ? 2 1 2 S 2 3 1 ? ? P A ? S ABCD ? h ? ? ABCD ? ? ? . 9 3 9 S ABC 9 2 3

……………………12 分

又 ?

h PA

?

BQ BP

,?

BQ BP

?

1 3

, 故 PQ ?

2 3

PB ?

2 3

5

……………………14 分

19.已知椭圆 C1:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

3 3

,直线 l: x ? y ? 2 ? 0 与以原

点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直直线 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 A(x1,2)、B(x2 ,y2)、C(x0,y0)是 C2 上不同的点,且 AB⊥ BC,求 yo 的 取值范围. 解:(1) e ?
3 3

,所以, e ?
2

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

?

1 3

,所以, 2 a ? 3 b , ……………2 分
2 2

2 2 2 又因为直线 l: x ? y ? 2 ? 0 与圆 x +y =b 相切,

所以, 分

2 2

=b,所以,b= 2 ,b =2,a =2,

2

2

……………………3

所以,椭圆 C1 的方程是 (2)因为 | M P | ? | M F 2 | ,

x

2

?

y

2

?1.

……………………4 分

3

2

所以,动点 M 到定直线 l1 : x ? ? 1 的距离等于它到定点 F 2 (1, 0 ) 的距离, 所以,动点 M 的轨迹是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线,且 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y2=4x. (3)由(1)知 A(1,2), B (
y2 4
2

p 2

=1,

……………………8 分
y0 4
2

, y2 ) ,C (

, y0 ) , y0 ? 2 , y0 ? y2 ,

2 2 2 ??? ? ???? y0 ? y2 y2 ? 4 则 AB ? ( , y2 ? 2) , BC ? ( , y 0 ? y 2 ) ,…………………………10 分 4 4

又 AB⊥ BC,所以, A B ? B C ? 0 ,于是

??? ??? ? ?

y2 ? 4
2

?

y0 ? y2
2

2

4

4

? ( y 2 ? 2 )( y 0 ? y 2 ) ? 0

2 …………………………12 分 整理,得:y2 +(y0+2)y2+16+2y0=0, 2 此方程有解,所以?=(y0+2) -4(16+2y0)≥0,解得:y0≤-6 或 y0≥10,

所以,点 C 的纵坐标 y0 的取值范围是 ( ? ? , ? 6 ] ? [1 0, ? ? ) .…………………………14 分

20.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e 定义域为 ?? 2 , t ? ( t ? ? 2 ).
2 x

(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 ?? 2 , t ? 上为单调函数; (2)求证: f ( t ) ? f ( ? 2 ) ; (3)当 1 ? t ? 4 时,求满足
f ?( x 0 ) e
x0

?

2 3

( t ? 1) 的 x 0 的个数.
2

2 x x x (1)解:因为 f ? ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e ? ( 2 x ? 3) ? e ? x ( x ? 1) ? e

…………2 分

由 f ? ( x ) ? 0 ? x ? 1或 x ? 0 ;由 f ? ( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ), (1, ? ? ) 上 递增,在 (0 ,1) 上递减, 欲 f ( x ) 在 ?? 2 , t ? 上为单调函数,则 ? 2 ? t ? 0 . ……………4 分 (2)证:因为 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ), (1, ? ? ) 上递增,在 (0 ,1) 上递减, 所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 e , 又 f (?2) ?
13 e
2

……………………………………6 分 …………8 分

? e ,所以 f ( x ) 在 ? ? 2 , ? ? ? 上的最小值为 f ( ? 2 )

从而当 t ? ? 2 时, f ( ? 2 ) ? f ( t ) (3)因为
f ?( x 0 ) e
x0

……………………………………………………9 分
f ?( x 0 ) e
x0

? x 0 ? x 0 ,所以
2

?

2 3

( t ? 1) 即为 x 0 ? x 0 ?
2 2

2 3

( t ? 1) ,
2

令 g (x) ? x ? x ?
2

2 3

( t ? 1) ,从而问题转化为求方程 g ( x ) ? x ? x ?
2 2

2 3

( t ? 1) =0
2

在 ( ? 2 , t ) 上的解的个数, 因为 g ( ? 2 ) ? 6 ?
g ( t ) ? t ( t ? 1) ?
2 3 ( t ? 1) ? ?
2

…………………………………………12 分
2 3 ( t ? 2 )( t ? 4 ) ,

2 3

( t ? 1) ?
2

1 3

( t ? 2 )( t ? 1) , 2 3 ( t ? 1) ? 0 ,
2

所以当 1 ? t ? 4 时, g ( ? 2 ) ? 0 且 g ( t ) ? 0 ,但由于 g (0 ) ? ? 所以 g ( x ) ? 0 在 ( ? 2 , t ) 上有两解. 即,满足
f ?( x 0 ) e
x0

?

2 3

( t ? 1) 的 x 0 的个数为 2.
2

……………………………………14 分

21.已知曲线 C : xy ? 1 ,过 C 上一点 A n ( x n , y n ) 作一斜率 k n ? ?

1 xn ? 2

的直线交曲线 C

于另一点 A n ? 1 ( x n ? 1 , y n ? 1 ) . (1)求 x n 与 x n ? 1 之间的关系式; (2)求证:数列 {
1 xn ? 2 ? 1 3
2 3 n

} 是等比数列;

(3)求证: ( ? 1) x1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ? ( ? 1) x n ? 1( n ? N *) 解:(1)直线方程为 y ? y n ? ?
1 xn ? 2
1 x n ?1

( x ? x n ), 因为直线过点

A n ?1 ( x n ?1 , y n ?1 ) ,

? y n ?1 ? y n ? ?

1 xn ? 2

( x n ?1 ? x n ) ?

?

1 xn

? ?

1 xn ? 2

( x n ?1 ? x n ) ? x n x n ?1 ? x n ? 2 .

……………………………………………4 分 (2)设 a n ?
1 xn ? 2 ? 1 3 , 由(1)得

a n ?1 ?

1 x n ?1 ? 2

?

1 3

?

1 xn ? 2 xn
1 1 3

? ?2

1 3

? ?2(

1 xn ? 2

?

1 3

) ? ?2a n

又 a1 ? ? 2 ? 0, 故 {

xn ? 2

?

} 是等比数列;

……………………8 分

(3)由(2)得 a n ? ( ? 2 ) ? x n ? 2 ?
n

1 (?2) ?
n

1 3

? ( ? 1) x n ? ( ? 1) ? 2 ?
n n

1 2
n

? ( ? 1) ?
n

1 3

……………………10 分

当 n 为偶数时,则
( ? 1)
n ?1

x n ? 1 ? ( ? 1) x n ?
n

2 2 ?2
n n ?1

n

? 2 ? 1 3

n ?1

?2

n ?1

?
1 2

1 9

?

2

n n

? 2

n ?1

2 ?2

n ?1

? 2

1
n ?1

?

1 2
n

? ( ? 1) x1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ... ? ( ? 1) x n ?
2 3 n
2 3

?

1 2
2

? ... ?
n

1 2
n

?1?

1 2
n

? 1 ;…………12 分

当 n 为奇数时,则 ( ? 1) x1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ... ? ( ? 1) x n ? 1 ? ( ? 1) x n
n

而 xn ? 2 ?
2
n

1 ? 1 3

? 0 , 所以 1 ? ( ? 1) x n ? 1 ? x n ? 1
n

? ( ? 1) x 1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ... ? ( ? 1) x n ? 1
2 3 n

综上所述,当 n ? N * 时, ( ? 1) x1 ? ( ? 1) x 2 ? ( ? 1) x 3 ? ? ( ? 1) x n ? 1 成立.………14 分
2 3 n


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