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1.3 1.3.1 函数的单调性与导数


第一章

导数及其应用

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数

基 础 梳 理
一般地,可导函数 f(x)的单调性与其导函数 f′(x)有如下 关系: 导函数的符 号 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 不等式的 解集 (a,b) (a,b) — 函数的 单调性 单调_

_____ 递增 单调 区间 ______ 递增区间
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递减 单调______
常函数

递减区间 ______


自 测 自 评

1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞)

)

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解析:f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2. 答案:D

自 测 自 评

2.函数 f(x)=x3-3x2+1 的单调递减区间为( A.(2,+∞) C.(-∞,0) B.(-∞,2) D.(0,2)

)

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解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)<0,得 0 <x<2,所以 f(x)的单调递减区间为(0,2).故选 D. 答案:D

自 测 自 评
3.已知函数 f(x)= x+ln x,则有( A.f(2)<f(e)<f(3) C.f(3)<f(e)<f(2) )

B.f(e)<f(2)<f(3) D.f(e)<f(3)<f(2)
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1 解析:在(0,+∞)内,f′(x)= +x>0,所以 f(x) 2 x 在(0,+∞)内是增函数,所以有 f(2)<f(e)<f(3). 答案:A

1

自 测 自 评

1 2 4.函数 y= x -ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞)

)
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答案:B

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题型1

求函数的单调区间

例1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=ax2+bx+c(a>0); (2)f(x)=3x2-2ln x.
分析: 求出导函数 f′(x), 由 f′(x)>0 得单调递增区间, 由 f′(x) <0 得单调递减区间.
? b? 解析:(1)f′(x)=2ax+b=2a?x+2a?(a>0). ? ?
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b 由 f′(x)>0,得 x>- ; 2a b 由 f′(x)<0,得 x<- . 2a
? b ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为 ?-2a,+∞?,单调递减区间为 ? ? ? b? ?-∞,- ?. 2a? ?
2 3x2-1 2 6x - 2 (2)f′(x)=6x-x= x =2· x ,

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3x2-1 令 f′(x)>0,即 x >0,

3 ∵x>0,∴3x -1>0,∴x> . 3
2

3x2-1 令 f′(x)<0,即 x <0, 3 ∵x>0,∴3x -1<0,∴0<x< . 3
2

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? 3 ? ∴f(x) 的 单 调递 增区 间为 ? ,+∞? , 单 调递减 区间为 ? 3 ? ? 3? ?0, ? 3? ?

点评:单调区间的求解过程: 已知 y=f(x). (1)分析 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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特别提醒:若一个函数的单调递增区间(或单调递减区 间)有两个(或多个),则这些区间要分开写,不能用并集符 1 号连结.如函数 y=x的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+ 1 ∞) ,不能表示为 “ 函数 y = x 的单调递减区间是 ( - ∞ , 0)∪(0,+∞)”.
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跟 踪 训 练
1.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x4-2x2+3; ex (2)f(x)= . x-2
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解析:(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1). 令 f′(x)>0,则 4x(x+1)(x-1)>0, 解得-1<x<0 或 x>1, 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(-1,0)和(1,+∞).

跟 踪 训 练

所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1). (2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). ex?x-2?-ex ex?x-3? f′(x)= = 2 2. ?x-2? ?x-2? 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以 ex>0,(x-2)2>0. 由 f′(x)>0 得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3, + ∞);由 f′(x)<0 得 x<3,又定义域为(-∞,2)∪(2,+ ∞),所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).
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题型2

证明函数的单调性

例2 求证:函数f(x)=ex-x+1在(0,+∞)内是增函数,

在(-∞,0)内是减函数.

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分析:先求导数,再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零,即可证明函数单调性问题.

证明:由f(x)=ex-x+1,得f′(x)=ex-1. 当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,即f′(x)>0,
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∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.
当x∈(-∞,0)时,ex-1<0,f′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0)内是减函数.

点评: 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) > 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件,若在此区间内有有限个点使f′(x) =0,f(x)在该区间内为增函数,因此,在证明f(x)在给 定区间内是增函数时,证明f′(x)≥0(但f′(x)=0不恒成立) 即可.
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跟 踪 训 练

ln x 2.证明函数 f(x)= x 在区间(0,2)内是单调递增函数.
1 x-ln x x· ln x 证 明 : 因 为 f(x) = x , 所 以 f′(x) = = x2 1-ln x ,由于 0<x<2,所以 ln x<ln 2<1,故 f′(x)= x2 1-ln x >0,即函数在区间(0,2)内是单调递增函数. x2
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已知函数单调性求参数的范围 1 2 例3 已知函数 f(x)=ln x-2ax -x(a∈R).

题型3

(1)当 a=2 时,求 y=f(x)的单调区间; (2)若 y=f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围
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解析:(1)当 a=2 时,f(x)=ln x-x2-x(x>0),其定义域为 (0,+∞), 2x2+x-1 ?x+1??2x-1? 1 所以 f′(x)=x-2x-1=- =- . x x

1 1 令 f′(x)>0,则 0<x< ;令 f′(x)<0,则 x> . 2 2
? ?1 ? 1? 所以?0,2?是函数 f(x)的单调递增区间,?2,+∞?是 f(x)的单调 ? ? ? ?

递减区间. 1 (2)因为 f(x)=ln x- ax2-x, 2 ax2+x-1 1 所以 f′(x)=x-ax-1=- (x>0), x 因为 y=f(x)存在单调递减区间, 所以 f′(x)<0 在(0, ∞)上有解,

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又因为 x>0,则 ax2+x-1>0 在(0,∞)上有解. ①当 a=0 时,x>1 在(0,∞)上有解; ②当 a>0 时,ax2+x-1>0 在(0,∞)上总有解; ③当 a<0 时,要使 ax2+x-1>0 在(0,∞)上有解, 只需 ax2+x-1=0 有两个不等的正实根,
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?Δ=1+4a>0, 所以? 1 ?-2a>0,

1 解得- <a<0. 4

? 1 ? 综上知,a 的取值范围是?-4,+∞?. ? ?

点评:利用导数解决含参数函数的单调性问题应 从两点考虑:①若参数对函数的定义域有影响,需对 参数分类讨论;②若参数对导数的正负取值有影响, 也需对参数分类讨论.

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跟 踪 训 练
3.已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)内单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
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解析:(1)f′(x)=3x2-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)内是增函数, ∴f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)内恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立.

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2

∵3x ≥0,∴只要 a≤0. 又∵a=0 时,f′(x)=3x2≥0, ∴f(x)=x3-1 在 R 内是增函数. ∴a 的取值范围是(-∞,0]. (2)∵f′(x)=3x -a≤0 在(-1,1)内恒成立,
2

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跟 踪 训 练

∴a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立, 又∵-1<x<1,∴3x2<3,只需 a≥3. 当 a=3 时, f′(x)=3(x2-1), 在 x∈(-1,1)内, f′(x)<0, 即 f(x)在(-1,1)内为减函数,∴a≥3. 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)内单调递减.
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