nbhkdz.com冰点文库

§16.1.1坐标轴平移(第1、2课时)


§16.1坐标轴平移


这是两幅意大利比萨斜塔的照片,你知道为什么第 二幅照片中的斜塔不斜了呢?

为什么 会这样 呢?

远 近 高 低 各 不 同

横 看 成 岭 侧 成 峰

题 西 林 壁
苏 轼

9

/>6

处于不同位置的人对同一事物有不同描述

9

探究 (1)如图2-1,以O为原点,A
点的坐标是什么?以 O? 为原点,A点 的坐标是什么?
A: 2
O 0 1 A 2
O?

A: -1
x

3 0

-2 -1 图2-1

探究 (2)如图22,在xoy坐标系中, B点的坐标是什么? 在 x?o?y ?坐标系中, B点的坐标是什么?
B: (-1,2) (-3,1) B
-3

y
2
-2

y?
1
-1

1

O?
1 2 x

x?

-1 O

图2-2

定义
只改变坐标原点位置,而不改变坐标轴方向 和单位长度的坐标系变换,叫做坐标轴平移.
y
y?

A(x',y') A(x,y)
O x

O'(x0,y0)

x?

例1 如图2-3,坐标系 x?o?y?是原坐标系xoy o ? 在xoy坐标 平移后得到的一个新坐标系, 系中的坐标是(-2,-1),分别写出点A、 B、C、D在各坐标系中的坐标。
y 2 B -3 -2 -1 O D C -1 1 A

1

2 x

o?

图2-3

解 (1)将图2-3中的 o ?x ?与
y?

o?y ? 轴擦除 :

y 2 1 -1 O -1 C D

B -3 -2
O?

A 1

2 x x?

图2-3

y 2 B

1 -1 O D C -1

-3 -2

A 1

2 x

由此得:
点 A B C D

坐标系xoy中的坐标 (1,0) (-2,1) (0,-1)(-1,-1)

解 (2)将图2-3中的 ox与 oy 轴擦除 :
y?

y 2 1 A 2 x x?

B -3

-2 -1 O 1 -1 ? O D C 图2-3

得:

y?
B -1 2
1 A 1

2

3

O? D C

x?

由此得:点A、B、C、D在坐标系 x?o?y ?中的坐标:
点 坐标系x?o?y ? 中的坐标 A B C D

(3,1) (0,2) (2,0) (1,0)

点 坐标系xoy中的坐标 点

A

B

C

D

(1,0)(-2,1) (0,-1)(-1,-1) A B C D

坐标系x?o?y ?中的坐标

(3,1) (0,2) (2,0) (1,0)

x
1 -2 0 -1

x?
3 0 2 1

x ? x?
-2 -2 -2 -2

y

y?
1 2 0 0

y ? y?
-1 -1 -1 -1

0 1 -1 -1

(?2, ?1)是新坐标系原点O?在原坐标系中的坐标.

坐标系xOy平移后得到新坐标系x?O?y?,O?在原坐 标系xOy中的坐标是(x0,y0),则有

? x ? x? ? x0 ? y ? y? ? y0 ? 旧=新+原 ? x ? x? ? x0 ? x? ? x ? x0 ? ? 或 ? y ? y ? y 0 ? ? y ? ? y ? y0

新=旧-原

其中(x,y)为点在坐标系xOy中的坐标,(x?,y?)为 点在坐标系x?O?y?中的坐标. 这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式.

记住公式的特征哦.

将坐标原点平移至O?(1,2),求下列各点在新坐标系 中的坐标: A(0,8)、B(1,2)、C(6,0)、D(-1,-2)、E(-5,7). 解: 根据题意,x0=1,y0=2,

? x ' ? x ?1 ? x? ? x ? x0 由公式 ? y ? ? y ? y 得: ? 0 ? ?y ' ? y ? 2
进而各点在新坐标系中的坐标分别是: A(-1,6) 、B(0,0) 、C(5,-2) 、D(-2,-4) 、E(-6,5)

将坐标原点平移至O?(3,1),求下列各点在新坐标系 中的坐标: A(2,5)、B(-1,1)、C(3,6)、D(-5,-1)、E(0,7). 解: 根据题意,x0=3,y0=1, 由公式

?x ' ? x ? 3 ? x? ? x ? x0 ? ? 得: ? y ? y ? y 0 ? ? y ' ? y ?1

进而各点在新坐标系中的坐标分别是:

A(-1,4) 、B(-4,0) 、C(0,5) 、D(-8,-2) 、E(-3,6)

已知点A在坐标系xOy中的坐标是(-3,1),在新坐标 系x?O?y?中的坐标是(4,2),问坐标原点O移到了何处? 解: x ? ?3, y ? 1; x? ? 4, y? ? 2. x0 ? x ? x? ? ?3 ? 4 ? ?7 ? x ? x? ? x0 ? 得? 由公式 ? ? y0 ? y ? y? ? 1 ? 2 ? ?1. ? y ? y? ? y0
∴坐标原点O移到了O'(-7,-1)的位置.

平移坐标轴,将原点移至O?(-1,2),已知A、B两点 在新坐标系x?O?y?中的坐标分别是(3,2)、B(-4,6). 求A、B两点在原坐标系xOy中的坐标.

解: x0=-1,y0=2, ? x ? x? ? x0 由 ? 得 ? y ? y ? ? y0

? x ? x? ? 1 ? ? y ? y? ? 2

∴A、B两点在坐标系xoy中的坐标为A (2,4),B(-5,8)

平移坐标轴,点A(0,2)在新坐标系中的坐标 为(-2,3), 求:(1)点B(6,1)在原坐标系内的坐标; (2)点C(3,-2)在新坐标内的坐标.

例3:平移坐标轴,把原点移到O′(2,-1),求下列曲线 在新坐标系中的方程: (1)x=2; (2)y=-1; (3)y=x+1.

解:因为坐标系发生了改变, 曲线上每一点的坐标都相应 地改变,所以曲线的方程也 要改变. 设曲线上任意一点坐 标是 ( x ',y ')

y
4 3 2 1

y'
4 3 2 3 1 4 2 5 3

则x ? x? ? 2,y ? y? ? 1
代入原方程,得到新方程:

12 –4 –3 –2 –1 1 O –1 –4 –3 –2 –1 O' –2 –1 –3 –4 –2 –3 –4

x
4

(1) x? ? 0 (2)y? ? 0

(3)y? ? x? ? 4

平移坐标轴,使原点O移动到O′(-2,1),求曲线 x2+4x-y+5=0在新坐标系中的方程. 解:根据题意,x0=-2,y0=1

? x ? x? ? x0 ? x ? x? ? 2 由公式 ? 得 ? ? y ? y? ? y0 ? y ? y? ? 1 代入原方程,得 (x′-2)2+4(x′-2)-(y′+1)+5=0
整理,得 y′ =x′2. 曲线在新坐标系中的方程是y′ =x′2.

平移坐标轴,使原点O移动到O′(-2,1),求曲线 x2+4x-y+5=0在新坐标系中的方程. x2+4x-y+5=0 y =x2+4x+5 抛物线

y ?1 ? ( x ? 2)

2

顶点(-2,1)

即平移坐标轴使原点移 动到抛物线的顶点,则
? x ? x? ? 2 ? ? y ? y? ? 1 ? x?=x ? 2 或? ? y? ? y ? 1
–7 –6

y =x2+4x+5
y ?1 ? ( x ? 2)
2

9y 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 12 3 –5 –4 –3 –2 –1O' 1 x' –1 x O –6 –5 –4 –3–2 –2 –1 –1 1 2 3
8 –3 –4

y'

y′ =x′2

平移坐标轴,化简曲线方程x2+4x-y+5=0.
解:由 x2+4x-y+5=0得 (x+2)2=y-1.

若令 x+2=x′,y-1=y′,
则曲线方程可化为x′2=y′.

因此将坐标轴平移,使原点O移到O′(-2,1),
曲线方程可化为x′2=y′.

y'
2 ? ? y ?x
6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2
–4

x2+4x-y+5=0
y
6 5 4 3 2

y ? x2 ? 4 x ? 5
y ? ( x+2)2 ? 1

–1

–1 –3 –2 –2

O'

1
–1

1

2

3
1

x'
2 3

O
–1 –2

x

y ? ax ? bx ? c
2

4ac ? b2 b 2 y? ? a( x ? ) 4a 2a
? 4ac ? b 2 y? ? y ? ? ? 4a ? ? x? ? x ? b ? 2a ?

b 4ac ? b 2 O?(? , ) 2a 4a

y? ? ax?
2

2

平移坐标轴,使原点O移动到O′(-1,2),求曲线 x2+y2+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程.
x ? x? ? 1,y ? y? ? 2 ( x? ?1)2 ? ( y? ? 2)2 ? 2( x? ?1) ? 4( y? ? 2) ? 1 ? 0
2 2 ? ? ? x ? 2x ? 1 ? y ? 4 y? ? 4 ? 2x? ? 2 ? 4 y? ? 8 ? 1 ? 0 x?2 ? y?2 ? 4

x2+y2+2x-4y+1=0
x2 ? 2 x ? 1 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 1 ? 4 ? 1 ? 0
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4

y'
5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y
5 4 3

圆心(-1,2),半径为2的圆
? x? ? x ? 1 ? ? y? ? y ? 2

2 1 O' –1 1

2
1

3
2

4

x'

原点O移动到O′(-1,2)

–2 –5 –4 –3 –2 –1 –3 O –1
–2

x

x? ? y? ? 4
2 2

利用坐标轴平移,化简圆的方程x2+y2+2x-4y+1=0. x2+y2+2x-4y+1=0 配方化为标准方程得
y?
O′ y

( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

将坐标原点平移到O′(-1,2),
x? ? x ? 1,y? ? y ? 2
2

x?
-3 -2 -1 O 1 2

方程简化为

x

x?2 ? y?2 ? 4

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F D E D2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? (圆心( ? , ? ),半径 ) 2 2 2 2 2 4
D ? ? x ? x ? ? ? 2 令? ? y? ? y ? E ? ? 2

D E 即将坐标原点平移到O ( ? ? , ? ), 2 2

方程简化为

D ? E ? 4F x? ? y ? ? 4
2 2 2 2

利用坐标轴平移化简下列曲线方程,并指出 新坐标原点在原坐标系中的坐标:

(1) x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ;
2 2

分析:原方程化为 (x - 3) ? (y ? 4) ? 25 ;
2 2

y
-2 -1 O 1 2 3

x

令 x - 3 ? x?, y ? 4 ? y?,

则曲线方程可化简为 x? ? y?,
2

-4

O′

? 3,- 4), 因此将坐标轴平移,使原点移至O ( 则曲线方程可化简为 x?2 ? y ?2 ? 25.

利用坐标轴平移化简下列曲线方程,并指出 新坐标原点在原坐标系中的坐标:

(2) x ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0.
2

分析:将 x 2 ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 变形为
令 x ? 2 ? x?, y ? 2 ? y?,

(x ? 2)2 ? 3( y ? 2),

则曲线方程可化简为 x?2 =y?,
? - 2,- 2), 因此将坐标轴平移,使原点移至O ( 则曲线方程可化简为 x?2 ? y ?.


16.1(1)坐标轴平移教案

授课课时 授课章节 名称 教学手段 教学目标 1 2 授课班级 授课形式 教学方法 ...(6,0)、D(-1,-2)、E(-5,7). (教师讲解例题) 练习、将坐标原点平移至...

16.1(2)坐标轴平移教案

16.1(2)坐标轴平移教案_数学_初中教育_教育专区。邳州市中等专业学校 理论课程教师教案本 (2015—2016 学年第 1 学期) 班级名称 课程名称数学 授课教师 教学部...

16.1坐标轴平移(第1课时)学案

新坐标系中的坐标: A(0,8)、B(1,2)、C(6,0)、D(-1,-2)、E(-5,7). 课题:§16.1 坐标轴平移(第 1 课时)一、学习要求: 1、理解坐标轴平移的...

16.1坐标轴平移(第2课时)学案

16.1坐标轴平移(第2课时)学案_其它课程_初中教育_教育专区。和桥中专高二《数学》目标教学导学学案班级___ 姓名___ 例 2:平移坐标轴,化简曲线方程 x 2 ? 4...

16.1坐标轴平移一

16.1坐标轴平移一_高二数学_数学_高中教育_教育专区。JX- 2 淮海技师学院教案...(1 , 2) ,求下列各点在 新坐标系中的坐标: A(0, 8)、 B(1, 2)、...

16.1坐标轴平移1

16.1坐标轴平移1_数学_初中教育_教育专区。备课日期 2013 年 2 月 21 日课 题 坐标轴平移 1 上课时间 年总第 月 日课时 课时 (1) 掌握坐标轴平移的坐标...

第十六章 坐标变换与参数方程

第十六章 坐标变换与参数方程§16.1 课时安排:第一课时:学习坐标轴平移的概念...4.平移坐标轴,把坐标原点移至 O’ (1,2) ,则下列点在新坐标系中的 坐标...

坐标轴的平移

16.1坐标轴平移1 3页 1下载券 8.12坐标轴的平移 12页 免费 坐标变换-坐标...因为坐标轴的方向和单位长度都不变,所以 e1=e′1,e2=e′2 根据点坐标的...

2.1坐标轴的平移与旋转

【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 第 2 章 坐标变换与参数方程(教案) 教过 *揭示课题 2.1 坐标轴平移与旋转 *动脑思考 探索新知 学程 ...

2.1坐标轴的平移与旋转(1)

【课时安排】 课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教学过程】 教过 *揭示课题 揭示课题 2.1 坐标轴平移与旋转 介绍 了解 0 学程 教师 学生 ...