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10-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


问题1:平面内两条直线的位置关系 a

相交直线 平行直线

o

b

a b

相交直线 (有一个公共点)

平行直线 (无公共点)

问题2:平面内不平行的两直线必相交, 问:空间内还成立否?
六角螺母

/>D C A B

1.异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、 又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何 一个平面内. 练习:在教室里找出几对异面直线的例子

2.异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了 体现它们不共面的特点。 常借助一个或两个平面来

b a
(1)

A

?

衬托.

a b

?
?
b
(3)

a

?

(2)

思考:分别在两个平面内的两条直线是否 一定异面? b a a
M

b a

?

?

?

?

?

b ?

a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线

注意:在不同平面内的两条直线不一定异面

3.空间两直线的位置关系 同在一个平面内 相交直线

按平面d&s2拘灾史
平行直线 不同在任何一个平面内奠面直线

幸桓龉驳悖相交直线
按驳悖个史窒平行直线
无 公 共 点异面直线
3探究:如际榍桓銎正方体的展开图,如果将 它还原为正方体, 那么 AB, 蜟D, 蜤F, 蜧H 这 四条线段所在毕叩且烀嬷毕 的有
C G
H E FA BE DB

3 对?
A H D

C ?G?

aB?F?

a 4空间两行重系_的传递性
在同移叫婺诘, 如果教踔毕 都和第三踔毕呓叫兄,那么这两
踔毕呓互相叫. 在占淞这一规律欠 钩闪⒎呢?
观察: 两徽胖饺缂式姓鄣, 卧蚋髡酆奂氨 a, b, c, d, e, … 涞有何叵礯


?



d

e羇
∥b a∥bca∥bda∥bea∥b…

公理4涸诓占淞叫兄于同移踔毕叩奈教踔毕 互相叫.. ———叫.叩奈传递性 推广涸诓占淞叫兄于移踔已知毕叩奈所又毕
都互相叫..
a 例: 诓占淞四边形ABCD中,E,F,G,H 直鹪是AB,BC,CD,DA的械摹 城笾ぃ核谋咝蜤FGH瞧叫兄四边形。
分析浩 欲证EFGH瞧桓銎矫兄四边形 只需证EH∥FG且EH=FGBE A H D G

连结BD,只需证浩 1 EHa∥BD且EH = BD

2 1 FGB∥BD且FGB= BD 2
aB

F

C

E,F,G,H直鹪是各敝薪点
a 例: 诓占淞四边形ABCD中,E,F,G,H 直鹪是AB,BC,CD,DA的械摹 城笾ぃ核谋咝蜤FGH瞧叫兄四边形。
证明浩 连结BD
∵ EH是△ABD的械位 1 ∴EHa∥BD且EH = BD 21 同理,FGB∥BD且FGB= BD E DBG A H

2

∴EHa∥FG且EH =FGB∴EFGH瞧桓銎矫兄四边形
aB

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH瞧什么图形?

?菱形
分析浩 在例2D积∩ 我们只需要证明矫兄四 边形牧教踔邻边相等。
B

E

HD CFBG C

5.等角定理
在叫婺诘, 我们梢岳证明 “ 如果桓銎角牧教庇胫另桓銎角牧两直咧别越眯郑敲凑饬仅平窍嗟然蚧ゲ ”.占渲兄这一结 论欠 仍然闪⒎呢
凉鄄: 如际所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,

∠ADC与∠A1B1C1街边直鹪对应叫兄,这两组角牧大小
叵礯如何? 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180O A A1 DBD1 C1 B1 C
aB

定理(等角定理)嚎占淠中,如果两銎角的
?林边直鹪对应叫兄,那么这两銎角相等或互补.

6异面直线邓傻慕且烀嬷毕摺所成角的ㄒ:
如图,已知教踔烀嬷毕 芶, 蝏, 尉间娜一傅鉕作 毕 芶′∥a, 蝏,′∥b卧虬哑a,′与蝏,′所成的锐角(或直角)凶 烀嬷 毕 所成的角(或夹角). ①烀嬷毕 所成的角的范围( 0, 90 ]
o

b
b′羇
′ ″
?

O

6异面直线邓傻慕且②如果教踔烀嬷毕 所成的角为毕角,就说两 踔毕呓互相垂郑记作a⊥b.



a '

}

a
}

aO

③教踔毕 互相垂郑有裁娴垂郑与烀嬷垂郑两直智樾危

B?C?, AD 蜟C?, DD?, DC, D?C?

例2、如图惭知正方体ABCD-A'
B'
C'
D'
中 常1)哪些棱所在毕叩胫毕咧BA'
且烀嬷毕 b(2)毕咧BA'
和CC'
的夹角是多少 b(3)哪些棱所在的邢哂胫毕咧AA'
垂郑 剑涸(1)由烀嬷毕叩睦判 定方法可知又毕咧 BA? 成烀嬷毕叩睦又毕


a 例2、如图惭知正方体ABCD-A'
B'
C'
D'
中 常1)哪些棱所在毕叩胫毕咧BA'
且烀嬷毕 b(2)毕咧BA'
和CC'
的夹角是多少 b(3)哪些棱所在的邢哂胫毕咧AA'
垂郑 剑涸(2)由 BB? //蜟C? '可知 ?B?BA? 等于烀嬷毕 aCC? '与蜝A? 的夹角,所乙烀嬷毕叩蜟C? '与蜝A? 的夹角为450 3)
毕 艫B, BC, 蜟D, DA, A?B?, B?C? 蜟 ?D?, D?A? 又毕咧 AA?都垂郑

a 变式训练:迫缤,已知长方体ABCD-EFGH中, AB,= 23, 蜛D,= 23, 蜛E,= 21)
求BC,和EG 所成的角是多少度? 2)
求AE,和BG 所成的角是多少度?
HD
45 60
F

0 0
G

E
2 A
2 3 DB2 3

C


1变式训练:迫缤,点A是BCD所在叫婺外一 点,AD=BC,E、F直鹪是AB、CD的械点,1 且蜤F,?
D 塍烀嬷毕 AD和BC所成的角的 所成的角.B2 仁

a60

0

课堂小结
.异面直线的定义:
煌谌魏我桓銎矫婺诘 的教踔毕呓凶 烀嬷毕摺 拎交直线 a2空间两直线的位置关系 徒行直线 l面直线 a3异面直线的画法

课堂小结
4异面直线邓傻慕

5.公理4 诓占淞叫兄于同移踔毕叩奈教踔毕 互相叫.. 6.等角定理浩 占淠中,如果两銎角的林边直鹪对 应叫兄,那么这两銎角相等或互补.

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