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2014广州二模理科数学试题及答案WORD


2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
4. 将函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x( x ? R ) 的图象向左平移

? 个单位长度后得到函数 6

y ? g? x ? ,则函数 y ? g ? x?
A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是

偶函数 5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1 ,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3 , 将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 8

6.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 a 2 b2

? C 的离心率为 的中点在 y 轴上,若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆

A.

1 6

B.

1 3

3 4 正视图 2 2 俯视图
第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 … … 表1 第2列

3 2 侧视图 2

C.

3 6

D.

3 3

7.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体 的体积为 A. 6 ? ? 4 C. 6 ? ?12 8.将正偶数 2, 4, 6,8, B. 12 ? ?4 D. 12 ? ?12 按表 1 的方式进行

第3列

图1

第4列

第5列

排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若

16

aij ? 2014 ,则 i ? j 的值为
A. 257 C. 254 B. 256 D. 253

32

2 14 18 30 34


4 12 20 28 36


6 10 22 26 38


8
24

40


9.不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为
2

.

1? ? 10.已知 ? 2 x3 ? ? 的展开式的常数项是第 7 项,则正整数 n 的值为 x? ?

n

.

11.已知四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,若 DE ? 2EC, CF ? 2FB ,则 AE ? AF 的值 为 .
1

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 12.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ? x ? 0, y ? 0. ?
为 8 ,则 ab 的最大值为 . 13.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ??1.5? ? ?2, ?1.5? ? 1 .设函数 f ? x ? ? ? ? x ? x ?? ?, 当 x ??0, n? (n ? N * ) 时,函数 f ? x ? 的值域为集合 A ,则 A 中的元素个数为 (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ? .

? x ? a ? t, (t 为参数 ) 与 ?y ? t
.

圆?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数 ) 相切,切点在第一象限,则实数 a 的值为 ? y ? sin ?

15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且

A E?

1 2 EB ,连接 DE, AC , AC 与 DE 相交于点 F ,若△ AEF 的面积为1 cm ,则 2
cm .
2

△ AFD 的面积为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 如图 2,在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点, B 且 AB ? AD ? 1 , BD ? (1) 求 cos A 的值; (2)求 sin C 的值.

2 3 . 3

A

图2

D

C

2

17. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样 本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ? 5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ? 35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图,如图 3 . (1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值;
0.032 a 频率 组距

(注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3, 则样本数据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

, n? ,

? xn pn .)

(3)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ? 5,15? 内 的小球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

0.02 0.018

O

5

15

25 图3

35

45

重量/克

18. (本小题满分 14 分) 如图 4 ,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, EF ∥ 平面 ABCD ,

EF ? 1 , FB ? FC, ?BFC ? 90? , AE ? 3 .
(1)求证: AB ? 平面 BCF ; (2)求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值.

E D

F C

A

B

3

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 ,对任意 n ?N ,都有 nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? .
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 n ? log 2 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知定点 F ? 0,1? 和直线 l : y ? ?1 ,过点 F 且与直线 l 相切的动圆圆心为点 M ,记点 M 的轨迹为曲 线E . (1) 求曲线 E 的方程; (2) 若点 A 的坐标为 ? 2,1? , 直线 l1 : y ? kx ? 1(k ? R,且 k ? 0) 与曲线 E 相交于 B, C 两 点,直线 AB, AC 分别交直线 l 于点 S , T . 试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.

4

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ?
*

?

?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

(3)证明:当 n ?N ,且 n ? 2 时,

1 1 ? ? 2ln 2 3ln 3

?

1 3n 2 ? n ? 2 ? . n ln n 2 n 2 ? 2 n

5


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