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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练78


题组层级快练(七十八)
1.(2015· 重庆一中期中)在[-2,3]上随机取一个数 x,则(x+1)(x-3)≤0 的概率为( 2 A. 5 3 C. 5 答案 D 4 解析 由(x+1)(x-3)≤0,得-1≤x≤3.由几何概型得所求概率为 . 5 2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于 36 cm

2 与 81 cm2 之间的概率为( 1 A. 4 4 C. 27 答案 A 解析 面积为 36 cm2 时,边长 AM=6 cm; 面积为 81 cm2 时,边长 AM=9 cm. 9-6 3 1 ∴P= = = . 12 12 4 S 3.若在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是( 4 1 A. 4 3 C. 4 答案 C 解析 如图,在 AB 边上取点 P′, 1 B. 2 2 D. 3 ) ) 1 B. 3 4 D. 15 1 B. 4 4 D. 5 )

使

AP′ 3 AP′ 3 = ,则 P 只能在 AP′上(为包括 P′点)运动,则所求概率为 = . AB 4 AB 4

4.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面 的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 4π A. 81 1 C. 27 答案 C 81-4π B. 81 8 D. 27 )

解析 由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全 13 1 飞行”的概率为 P= 3= . 3 27 x≤0, ? ? 5.(2014· 湖北理)由不等式组?y≥0, ? ?y-x-2≤0
? ?x+y≤1, 确定的平面区域记为 Ω1,不等式组? 确定的平 ?x+y≥-2 ?

面区域记为 Ω2.在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 A. 8 3 C. 4 答案 D 1 B. 4 7 D. 8

)

1 1 2 2 7 解析 由题意作图,如图所示,Ω1 的面积为 ×2×2=2,图中阴影部分的面积为 2- × × = , 2 2 2 2 4 7 4 7 则所求的概率 P= = ,选 D. 2 8

? ?f?2?≤12, 6.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条件? 为事件 A,则 ?f?-2?≤4 ?

事件 A 发生的概率为( 1 5 A. B. 4 8 1 3 C. D. 2 8 答案 C

)

解析

0≤b≤4, ? ?0≤c≤4, 由题意知,事件 A 所对应的线性约束条件为? 4+2b+c≤12, ? ?4-2b+c≤4,

其对应的可行域如图中阴影

S△OAD 1 部分所示,所以事件 A 的概率 P(A)= = ,选 C. S正方形OABC 2

7. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π C. 6 答案 B 1 4 解析 正方体的体积为 2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内部的半球的体积为 × πr3 2 3 2π 3 π 1 4π 2π = × ×13= ,则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 = ,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 2 3 3 8 12 π 率为 1- . 12 π B.1- 12 π D.1- 6 )

?x+y- 8.若在区域?x-y+ ?y≥0
π A. 2 π C. 6 答案 D

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为( )

π B. 8 π D. 4

S半圆 解析 区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 P= = S△ABC

π 2 1 ×2 2× 2 2

π = ,故选 D. 4

9.(2013· 四川理)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电 后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( 1 A. 4 1 B. 2 )

3 C. 4 答案 C

7 D. 8

解析 设通电 x 秒后第一串彩灯闪亮, y 秒后第二串彩灯闪亮. 依题意得 0≤x≤4,0≤y≤4, ∴S=4×4 =16.

1 1 又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 2 秒,即|x-y|≤2,如图可知,符合要求的 S′=16- ×2×2- 2 2 S′ 12 3 ×2×2=12,∴P= = = . S 16 4 10.已知实数 a 满足-3<a<4,函数 f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为 R 的概率为 P1,定义域为 R 的概率 为 P2,则( A.P1>P2 C.P1<P2 答案 C 解析 若 f(x)的值域为 R,则 Δ1=a2-4≥0,得 a≤-2 或 a≥2. -2-?-3? 4-2 3 故 P1= + = . 4-?-3? 4-?-3? 7 若 f(x)的定义域为 R,则 Δ2=a2-4<0,得-2<a<2. 4 故 P2= .∴P1<P2. 7 11.(2014· 福建文)如图所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据 此估计阴影部分的面积为________. ) B.P1=P2 D.P1 与 P2 的大小不确定

答案 0.18 S阴 180 解析 几何概型与随机模拟实验的关系.由题意知,这是个几何概型问题, = =0.18. S正 1 000 ∵S 正=1,∴S 阴=0.18. 12.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为________. 答案 2 3

解析 圆周上使弧 AM 的长度为 1 的点 M 有两个,设为 M1,M2,则过 A 的圆弧 M1M2 的长度为 2, 2 B 点落在优弧 M1M2 上就能使劣弧 AB 的长度小于 1,所以劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 . 3 13.若在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是________. 答案 π 40

解析 将取出的两个数分别用 x,y 表示,则 0≤x≤10,0≤y≤10.如图所示,当点(x,y)落在图中的阴 1 π×10 4 π 影区域时,取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内,故所求概率为 = . 102 40

14.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,则此长方 4 体的体积是________.

答案 3 解析 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率 2+4h 1 P= = ,解得 h=3,故长方体的体积为 1×1×3=3. ?2h+2??2h+1? 4 15.(2015· 茂名一模)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内的任意位置, 如果通过大量 2 的试验发现粒子落入△BCD 内的频率稳定在 附近, 那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为________. 5

答案

3 2

解析 由几何概型的概率计算公式,得粒子落在△ABD 与△CBD 中的概率之比等于△ABD 与△CBD

的面积之比,而△ABD 与△CBD 的面积之比又等于点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比,所以点 A 和点 C 3 5 3 3 到直线 BD 的距离之比约为 = ,故填 . 2 2 2 5 16.(2015· 广东深圳)已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机抽取一个数作为 x,从集合 Q 中随机 抽取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组: x+2y-3≤0, ? ? ?x≥0, ? ?y≥0 1 3 答案 (1) (2) 6 16 解析 (1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A. ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i, -2+2i,0,i,2i, 且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型, 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i, ∴所求事件的概率为 P(A)= 2 1 = . 12 6

所表示的平面区域内的概率.

? ?0≤x≤3, (2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域{(x,y)|? }内,属于几何概型.该平面区域的 ?0≤y≤4 ?

图形为右图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4=12.

而所求事件构成的平面区域为 x+2y-3≤0, ? ? {(x,y)|?x≥0, ? ?y≥0

},其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分).又直线 x+2y-3=0 与 x 轴,y

3 轴的交点分别为 A(3,0),D(0, ), 2 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1= ×3× = . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= = = . S 12 16

17.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能 的. (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头 空出的概率. 25 221 答案 (1) (2) 36 288 解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为 x,y,则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x>4 或 y-x<-4. 作出区域 0≤x<24, ? ? ?0≤y<24, ? ?y-x>4或y-x<-4. 设“两船无需等待码头空出”为事件 A,

1 2× ×20×20 2 25 则 P(A)= = . 36 24×24 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时,两船不需等待码头空出,则满足 x-y>2 或 y-x>4,设在上述条件时 “两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

0≤x<24, ? ? ?0≤y<24, ? ?y-x>4或x-y>2. 1 1 ×20×20+ ×22×22 2 2 442 221 P(B)= = = . 576 288 24×24

1.(2015· 湖南澧县三校)假设在时间间隔 T 内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同一部 手机.若这两条短信进入手机的间隔时间不大于 t(0<t<T),则手机受到干扰.手机受到干扰的概率是( )

t A.( )2 T t C.1-( )2 T 答案 D

t B.(1- )2 T t D.1-(1- )2 T

解析 分别设两个互相独立的信号为 X,Y,则所有事件集可表示为 0≤x≤T,0≤y≤T.由题目得,如果 0≤x≤T, ? ? 手机受到干扰的事件发生,必有|x-y|≤t.这时 x,y 满足?0≤y≤T, ? ?|x-y|≤t, 如图阴影部分. 0≤x≤T, ? ? 约束条件?0≤y≤T, ? ?|x-y|≤t,

的可行域为

1 而所有事件的集合即为正方形面积,阴影区域面积为 T2-2× (T-t)2=T2-(T-t)2 2 t 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率,即 1-(1- )2,故选 D. T 2.(2013· 陕西理)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内 随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )

π A.1- 4 π C.2- 2 答案 A

π B. -1 2 π D. 4

π π 解析 依题意知,有信号的区域面积为 ×2= ,矩形 4 2 π 2- 2 π 面积为 2,故无信号的概率 P= =1- . 2 4 3.(2014· 辽宁文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落 在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

π A. 2 π C. 6 答案 B

π B. 4 π D. 8

1 π 半圆的面积 2 π 解析 由几何概型的概率公式可知, 质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P= = = , 长方形的面积 2 4 故选 B.


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