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澄海中学2010届高三上学期期中考试(数学文)


汕 头 市 澄 海 中 学 2010 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数学(文科)试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第一部分(选择题)前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干

净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将第二部分(非选择题)的解答应用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,并写在答 .... 题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回,试卷由考生自 己保管. 一.选择题: (本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集 U={—1,0,1,2},集合 A={—1,2},B={0,2},则 (CU A) ? B ( A.{0} B.{2} C.{0,1,2} D. ? )

2. 函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1)
0.5

2 的零点所在的大致区间是 ( ) x
C. (2 , e) D. (3, 4)

B. (1 , 2)

3. 若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin (A) a ? b ? c

2π ,则 ( ) 5 (B) b ? a ? c (C) c ? a ? b

(D) b ? c ? a )

4. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则 f (?2) ? ( A. 1 5. 若函数 f ( x) ? A. 0 < m < 4 B.

1 4

C. ?1

D. ? )

11 4

mx2 ? mx ? 1 的定义域是 R ,则 m 的取值范围是(
B. 0 ? m ? 4 C. m ? 4

D. 0 < m ? 4 ) D. y ? ? cos 2 x

6. 下列函数中,在区间 ? 0, ? 上为增函数且以 ? 为周期的函数是 ( ? 2? A. y ? sin

?

??

x 2
2

B. y ? sin x

C. y ? ? tan x )

7. a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( A.必要不充分条件

B.充分不必要条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

1

8. 在 ?OAB 中, OA = a , OB = b ,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON,AM 交于点 P, 则 AP =( )

?

?

2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? C. a - b D.- a + b a+ b 3 3 3 3 3 3 ?? ? 9. 已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 的图象(部分)如图所示, ? 2? ? 则 f ?x ? 的解析式是( ) y 2 ? A. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ??x ? R ? ? ?
A. B.-

2 ? 1 ? a- b 3 3

6? ? ? B. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ? ??x ? R ? ? ? 6? ? ? C. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ??x ? R ? ? ? 3? ? ? D. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ? ??x ? R ? ? ? 3? ?

O

1 3

5 6
x

-2

10. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 . f ?(x) 为 f (x) 的导函数,已知函数 y ? f ?(x) 的 图象如右图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 范围是( A. ( , ) B. ( ??, ) ? ?3, ?? ?

b?2 的取值 a?2

y

1 1 ) 3 2

1 2

C. ( , 3)

1 2

D. (??, ?3)

O

x

二.填空题: (本大题共4小题,每小题5分,满分20分. ) 11. 若命题“ ? x∈R, 使 x2+ax+1>0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 12. 已知正整数 a, b 满足 4a+b=1 ,则 .

1 1 ? 的最小值为 a b

13. 定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 1) ? ? f ( x),且f ( x) ? ? 则 f(3)= 14. 下面有五个命题:
4 4

?1 (?1 ? x ? 0) , ?? 1 (0 ? x ? 1)

.

①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
2

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

)在 ? 0,? ? 上是减函数.
.(把你认为正确命题的序号都填上) 2

所有正确命题的序号是

三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 15.(本题满分 12 分) 设函数 f (x) ? ?

?2( x ? 0)

, 若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 , 2 ? x ? bx ? c( x ? 0)

(1) 求 f (x) 的解析式; (2) 求 f ( x ) 的零点.

16.(本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。

?

?

?

?

?

?

17.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e ? ax ? 1 .
x

(1)若 f ( x ) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上单调递减,在 [0, ??) 上单调递增,求 a 的值;

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ? a(a ? R) .
2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x)( x ? R) 的

对称轴方程. 19.(本小题满分 14 分)

?2 x ? b 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x 是奇函数。 2 ?a

3

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( )) 1 1 处的切线斜率; (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围.若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

参考答案
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)

4

整理,得 sin ? ? sin ? cos ? ? 1 (*)????7 分
2

从而

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 1 ,????8 分 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? tan ? ? 1 ,解得 tan ? ? ?1 ????9 分 tan 2 ? ? 1

当 cos ? ? 0 时,上式可化为

3 ? 0 ? ? ? ? ,?? ? ? ????10 分 4

5

(2)当 x ? [0, 当 2x ?

?
6

] 时?

?
?
4

? 2x ?

?
4

?

) ? 1 .????10 分 8 4 2 4 所以 f ( x)max ? 2 ?1 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 2 . ?????12 分 ? ? k? ? ? (k ? Z ) 为 f ( x) 的对称轴. 令 2 x ? ? k? ? ? x ? ??14 分 4 2 2 8
19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,? f (0) ? ? f (0)

?

?

?

,即 x ?

时 sin(2 x ?

?

7? ,????8 分 12

? f (0) ? 0 ,得 b ? 1 ??????????????????? 3 分
x 2x 由 f (? x) ? ? f ( x) 得 1 ? a? ? a ? 2 ,∴ a ? 1 ???????? 6 分

6

? a ? 1, b ? 1??????7 分
(Ⅱ) f ( x) ?

?2 x ? 1 2x ? 1 ? 2 2 ?? x ? ?1 ? x , x 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? y ? 2x ? 1 在 R 上为增函数,? f ( x) 在 R 上为减函数???? 8 分
由不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ?????????????? 9 分 ∵ f (x) 是奇函数 ∴ f (t 2 ? 2t ) ? f [?(2t 2 ? k )] ????????????? 10 分 ∵ f (x) 在 R 上单调递减

t 2 ? 2t ? ?(2t 2 ? k ) ???????????????? 11 分
即 k ? 3t ? 2t 对任意的 t ? R 恒成立.
2

1 1 ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? ??????????12 分 3 3 1 2 ∴ (3t ? 2t ) min ? ? ???????????????? 13 分 3 1 ∴ k ? ? ???????????????????? 14 分 3
20.(本小题满分 14 分) 解:当 m ? 1 时, f ( x ) ? ?

1 3 x ? x 2 , f ?( x) ? ? x2 ? 2x ,故 f ?(1) ? 1 3

所以曲线 y ? f ( x)在点(,f( )) 1 1 处的切线斜率为 1. -------------------2 分 (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,
' 2 2

令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m ????4 分

1 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m ????5 分
当 x 变化时, f ( x ) , f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,1 ? m)
-

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,??)
-

7

f (x)
? 7分

极小值

极大值

解得 ?

3 3 ??????13 分 ?m? 3 3
1 3 ) 2 3 --------------------14 分

综上,m 的取值范围是 ( ,

8


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