nbhkdz.com冰点文库

专题7第23讲 填空题的解法

时间:2012-08-02


专题七 客观题与创新题 专题一 函数与导数 的解法

1.填空题是高考客观题型之一,填空题只要求 写出答案,缺少选项提供的目标信息,结果正确 与否难以判断,一步失误,全题无分,因此解答 时过程一定要严谨、细致. 2.绝大多数填空题是定量型(填写的答案是数值、 数集或数量关系,如方程的解、不等式的解集、 定义域、值域、最值、长度、面积、体积、角度 的大小、参

数的取值或取值范围等)或定性型(填 空的答案是对数学对象的某种性质的概述或是具 有某种性质的对象).

3.合理推理,优化思路,多思少算,是快速准 确地解答填空题的基本要求,可综合运用直接法、 特例法、数形结合法等方法求解,力求小题巧做, 同时注意答案填写要规范、简单,按题目要求作 答,切忌答非所问.

一、直接法解填空题 例 1 ?1 ? 将 棱 长 为 3 的 正 四 面 体 以 各 顶 点 截 去 四 个 棱 长 为1的 小 正 四 面 体 ( 使 截 面 平 行 于 底 面 ), 所 得 几 何 体 的 表 面 积 为 __________ ;

? 2 ? 已 知 命 题 p: ? x 0 ? R , x

? m x 0 ? 1 ? 0;

命 题 q: ? x ? R , s in x ? c o s x ? m ? 0 .若 ( ? p ) ? q 为 真 命 题 , 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解 析 :?1 ? 原 正 四 面 体 的 表 面 积 为 4 ?

9 4

3

? 9

3,

每截去一个小正四面体,表面减少三个小正 三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少 4?2? 3 4 ? 2, 故 所 得 几 何 体 的 表 面 积 为 7 3.

? 2 ? 思 路 : 先 求 出 使 ? p 和 q 分 别 为 真 时 的 m的
取值范围,再求交集. 因 为 (? p ) ? q为 真 命 题 , 则 ? p和 q都 为 真 命 题 . 若 命 题 ? p为 真 , 则 ? x ? R , x ? m x ? 1 ? 0为 真 ,
2

则D ? m

2

? 4 ? 0, 所 以 ? 2 ? m ? 2.

若 命 题 q 为 真 , 则 ? x ? R , m ? s in x ? c o s x 为 真 , 即m ? 2 s in ( x ?

?
4

)恒 成 立 , 所 以 m ? ?

2,

故 m ? (?2, ?

2 ).

【 点 评 】 1? 在 解 题 过 程 中 , 要 注 意 常 用 结 ? 论的运用.

?2?对 复 合 命 题 的 真 假 , 一 般 转 化 为 单 个
命题的真假,再根据命题所涉及的知识, 确定命题为真或为假的条件,直接推导、 计算所需结论.

二、特例法解填空题 例 2 ? 1 ?已 知 直 线 a x ? b y ? c ? 0 与 圆 O : x ? y ? 1 相 ??? ??? ? ? 交 于 A、 B 两 点 , 且 A B ? 3, 则 O A ? O B ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 2

? 2 ? 在 ? A B C 中 , 角 A、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c .
若 a 、 b、 c 成 等 差 数 列 , 则 cosA ? cosC 1 ? cosA cosC ? __________ .

解 析 :? 1 ? 思 路 : 由 直 线 a x ? b y ? c ? 0 具 有 一般性,可取满足条件的特殊位置,以 ??? ??? ? ? 确 定 O A ? O B的 结 果 . 取 直 线 y ? m ? m ? 0 ? . 由 AB ? 3 1 3 1 3, 得 A ( ? , ), B ( , ), 2 2 2 2

??? ??? ? ? 3 1 1 则OA ?OB ? ? ? ? ? . 4 4 2

? 2 ? 思 路 : 利 用 a 、 b、 c 成 等 差 数 列
取一组特殊值求解. 取 a ? 3, b ? 4, c ? 5, 则 cosA ? 4 5 cos A ? cos C 1 ? cos A cos C , cosB ? 3 5 4 则 ? 5 1? 4 5 ?0 ?0 ? 4 5 , c o s C ? 0,

.

【点评】 将一般直线特殊化,体现数形 (1) 结合与特殊化等思想方法.

?2?将 题中 不确 定的 成等 差数 列 的三 角形
三边特殊化,简化运算.

三、数形结合法解填空题 例 3 ?1 ? 当 0 ? a ? 1 时 , 则 方 程 a 的 实 根 个 数 为 __________ .
x

? lo g a x

?2?如 果 不 等 式
为 A, 且 A ?

4x ? x

2

? ? a ? 1 ? x的 解 集

?x | 0

? x ? 2 ? , 那 么 实 数 a的

取 值 范 围 是 __________ .

解 析 : ? 1 ? 令 y ? a , y ? lo g a x .
|x|

当 0 ? a ? 1时 , 在 同 一 坐 标 系 中 两 函 数 图 象 如 图 .

由图可知两函数有两个公共点,故原方程有两解.

? 2 ?思 路 : 根 据 不 等 式 左 、 右 两 边 特 征 建 立 函 数 ,
利用图象特点求参数. 令 y1 ? 4 x ? x , y 2 ? ? a ? 1 ? x, 作 两 函 数 图 象 .
2

因为解集A ?

?x | 0

? x ? 2? , 由 图 象 可 知 a ? 1 ? 1 ,

所 以 a ? 2 , 即 a的 范 围 是 [ 2 , ? ). ?

【 点 评 】 1? 方 程 的 根 和 函 数 图 象 的 交 点 的 ? 横坐标,它们之间可以进行互换转化, 这种方法体现了数学学科中的数形结合、 等价转化思想.

?2?将 不 等 式 问 题 通 过 构 造 函 数 转 化 为 函
数图象的位置关系问题.注意:函数的 定义域确定图象出现的范围.

四、开放性题型 例 4 设 x、 y 、 z 是 空 间 中 的 不 同 直 线 或 不 同 平 面 , 且 直 线 不 在 平 面 内 , 则 能 保 证 “ 若 x ? z, 且 y ? z, 则 x // y ” 为 真 命 题 的 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . (只 需 写 出 一 个 条 件 即 可 )

解 析 : 由 线 面 垂 直 及 平 行 的 知 识 可 知 , 当 x为 直 线 , y 、 z 为 平 面 , 由 x ? 平 面 z, 且 平 面 y ? 平 面 z, 则 直 线 x // 平 面 y; 当 x、 y 为 直 线 , z 为 平 面 , 由 直 线 x ? 平 面 z, 且 直 线 y ? 平 面 z, 则 直 线 x // 直 线 y; 当 x 、 y 为 平 面 , z 为 直 线 , 由 直 线 z ? 平 面 x, 且 直 线 z ? 平 面 y, 则 平 面 x // 平 面 y; 综 上 , 符 合 条 件 的 有 : ① x 为 直 线 , y、 z 为 平 面 ; ② x、 y 为 直 线 , z 为 平 面 ; ③ x、 y 为 平 面 , z 为 直 线 , 任填一种情况都行.

【点评】 放性题型问题可以利用逆向思维帮助解决. 开

备 选 题 ?1 ? 在 技 术 工 程 上 , 常 用 到 双 曲 线 正 弦 函 数 shx ? e ?e
x ?x

和 双 曲 线 余 弦 函 数 chx ?

e ?e
x

?x

,而

2

2

双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正 弦函数和余弦函数有类似的性质,比如关于正、余 弦 函 数 有 s in ? x ? y ? ? s in x c o s y ? c o s x s in y 成 立 . 而 关 于 双 曲 线 正 、 余 弦 函 数 满 足 sh ? x ? y ? ? shxch y ? chxshy. 请运用类比的思想,写出关于双曲线正弦、双曲线 余 弦 的 一 个 新 关 系 式 ____.

? 2 ? ( 2 0 10 ? 东 北 三 省 联 考 )已 知 0 ?

a 1 ? a 2 , 0 ? b1 ? b 2,

且 a 1 ? a 2 ? b1 ? b 2, a 1 ? b1, 则 关 于 三 个 数 : a 1 b1 ? a 2 b 2, a 1 b 2 ? a 2 b1, a 1 a 2 ? b1 b 2的 大 小 关 系 的 说 法 : ① a 1 b1 ? a 2 b 2 最 大 ; ; ② a 1 b 2 ? a 2 b1 最 小 ; ③ a 1 a 2 ? b1 b 2 最 小 ; ④ a 1 b 2 ? a 2 b1 与 b1 b 2 大 小 不 能 确 定 , 其 中 正 确 的 有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 将 你 认 为 正 确 说 法 前 面 的 序 号 填 上 ).
解 析 :1 ? sh x 类 比 sin x, c h x 类 比 c o s x, 本 题 是 一 ? 个开放性填空,答案不唯一,有如下情形: ① sh ? x ? y ? ? sh x c h y ? c h x sh y, ② c h ? x ? y ? ? c h x c h y ? sh x sh y, ③ sh 2 x ? 2 sh x ? c h x 等 .

? 2 ? 因 为 ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a 1 b 2

? a 2 b1 ? ? ? a 1 ? a 2

? ? b1 ? b 2 ? ? ?

0,

所 以 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 1 b 2 ? a 2 b1 . 因 为 ? a 1 b 2 ? a 2 b1 ? ? ( a 1 a 2 ? b1 b 2 ) ? ? a 1 ? b1 ? ? b 2 ? a 2 ? ? a 1 ? b1 ? ? 0,
2

所 以 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 1 b 2 ? a 2 b1 ? a 1 a 2 ? b1 b 2 . 故①③正确,②不正确. 又 a 1 b 2 ? a 2 b1 ? a 1 b1 ? a 2 b1 ? ? a 1 ? a 2 ? b1 ? ? b1 ? b 2 ? b1 ? b1 b 2 ? b 1 ? b1 b 2,
2

所以④不正确.故填①③.

1. 填 空 题 的 解 答 审 题 要 仔 细 , 方 法 要 合 理 , 运 算 要快,答案要全,答案书写要规范,结果要最简. 2. 熟 记 一 些 常 见 结 论 和 数 据 在 解 答 填 空 题 时 使 用,以便节省时间,快捷得到答案. 3. 填 空 题 解 题 的 基 本 原 则 是 : “ 小 题 小 做 ” , 解题的基本策略是巧解. 解题的基本方法:

?1 ? 直 接 求 解 法 : 直 接 从 题 设 条 件 出 发 , 利 用 定 义 、
性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、 判断得到结论的解法,它是解填空题的常用的 基本方法.

? 2 ?图 象 法 : 借 助 图 形 的 直 观 性 , 通 过 数 形 结 合 ,
迅速作出判断的方法.

?3?特 殊 化 法 : 当 填 空 题 的 结 论 唯 一 或 其 值 为 定
值 时 , 我 们 只 须 把 题 中 的 参 变 量 用 特 殊 值 (特 殊 函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊 点 、 特 殊 方 程 、 特 殊 模 型 等 )代 替 , 即 可 得 到 结 论 .