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研究性课题:多面体欧拉定理的发现


研究性课题:多面体欧拉定理的发现
温州中学 325000 苏德超 案例设计前言 著名数学教育家 G·波利亚指出: “数学有两个侧面,一方面它是欧 几里德式的严谨科学.从这个方面看.数学像是一门系统的演绎科学,但是另一方面,在创 造过程中的数学. 看来都像是一门实验性的归纳科学。 而本课题是研究性课题, 它偏向后者, 可以看成是一门实验性的归纳数学学习,它的教学重在过程,

重在研究,而不是重在结论。 在这个课题的研究过程中可以让学生充分体验归纳——猜想——证明这一知识的发生过程, 在证明中,将三维问题转化为二维问题,这种拓扑的证明给学生以数学奇特美的享受,而证 明的简化与欧拉公式本身也体现了数学的简洁美。学生是研究的主体,这一阶段(高二)的 学生, 已经初步掌握了开展研究性活动的知识, 这一年龄段的学生参加此类活动的积极性较 高,且求知欲强,所以在活动中可让学生充分展开自由的想像,展开热烈的讨论,进行数学 交流。由此看来,本案例还是有很多值得挖掘、设计的地方,所以本人尝试编写此教案,与 同仁一起交流。

教学目标
(一)知识目标 了解简单多面体的概念;了解公式的发现过程及证明方法;理解多面体欧拉公式;会用 欧拉公式及其相关知识进行计算和推理。 (二) 能力目标 1.初步了解并体验数学概念和结论的产生过程,培养学生的观察、归纳、猜想数学问题的 能力;提高学生独立思考、发现问题和解决问题的能力。 2.进一步培养学生的空间想像能力和逻辑思维能力。 3.在小组活动中,培养学生的人际交往和协作能力。 4.提高学生的创新意识和创新能力。 (三) 德育目标 1. 通过学生对数学大师欧拉这一生的了解,培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索 的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。. 2. 以欧拉公式为载体,让学生建立严谨的科学态度;让学生感受数学的奇异美和简洁美, 激发学生学习数学的兴趣。

教学重点:欧拉公式的发现及证明。 教学难点:欧拉公式的证明及应用。 教学环境:数学实验室(具备网络功能) 。 教学方法:老师点拨,学生分组探究。在活动中,学生能自己完成的,尽量让学生自己

去做。

教学步骤:
(一) 情境设置:
老师(以下简称师) 在平面多边形中,多边形的边数 E 与顶点数 V 有何关系? :

学生(以下简称生) :E=V。 师:我们进一步考虑空间的多面体,它的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间有什么关系呢?当 年, 数学大师欧拉曾研究了这一问题, 得出了一个漂亮的结论, 那下面大家分组去研究研究, 去猜想这一结论到底如何。 学生分组活动,老师巡视,给以指导。 设计意图说明:由于本节课可能时间比较紧张,所以通过类比,开门见山,直接引入主题。 再通过抛出数学大师:欧拉,来激发学生的兴趣,进入活动情境。分组研究的目的是为了给 大家的交流构建一个小平台,让他们发挥团队精神,来共同完成这个研究性课题。

(二) 学生活动小结
师:下面我们先请第一小组派个代表来回答他们这组的研究结果。 生 a:V+F-E=2。 师:这个结论很简洁,体现出了数学中的简洁美。那你们是怎么猜想出这个结论的? 生 a:大家看电脑屏幕。如图,我们分别先是作出了一些多面体,包括上节课刚学过的正多 面体,然后通过列出表格,

多面体 正三棱锥 三棱台 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体

顶点 V 4 6 8 6 20 12

面数 F 4 5 6 8 12 20

棱数 E 6 9 12 12 30 30

结果大家发现对这些多面体来说,都有此规律:V+F-E=2。所以,我们就猜想对于一般的多 面体来说,也都成立。 师:非常好,这组同学通过举出熟悉的几何体,通过列表研究,猜想出 V+F-E=2。其他组同 学有什么其他意见没有? 生:嗯,我们也是得出了同一个猜想。 生 b:老师,我也是通过作出特殊例子来研究,但我看到了这样一个例子,它不满足刚才作 出的猜想。如图所示,这个图形 V=16,F=16,E=32,所有 V+F-E=0。

师:很好。第一组同学利用我们学过的多面体,猜想出一个很简洁的结论,但被后来一个同 学所举的被挖去一个洞的长方体所推翻。其实,大家作出的这个猜想的公式是正确的,得到 了大多数同学举的例子的验证,只不过它有它的适用范围:必须是简单多面体。那么什么是 简单多面体呢?大家看书:64 页最后一段到 65 页第一段。 学生看书。 师:对于简单多面体的判定,我们就可以通过假定这个多面体的面是用橡胶薄膜做成的,如 果对它充气,它能连续变形而变成一个球面,则它便是简单多面体,便满足 V+F-E=2.这条 公式叫欧拉公式。 那么, 欧拉是何许人也?为什么称他为数学大师呢?下面大家可以上网查 一下资料。 (详细资料见附录一)

设计意图说明: 刚开始老师并不提醒学生要通过列举自己学过的多面体来研究, 通过列表来 处理数据,而把这一过程让学生自己去体会,目的是为了让学生在潜移默化中,学会利用自 己所知道的, 掌握的知识来探究未知的问题, 这点对以后他们能开展新的研究来说, 很重要。 其次,不同学生能提出不同的问题,可以让学生切身体会到一人看问题可能会较为片面,而 团体的协作就显得重要了, 这样能把问题处理地更加严密, 也有利于树立起学生严谨的科学 态度。通过对具体多面体的边数、棱数、面数的研究,大多数学生都能作出 V+F-E=2 这一猜 想,而这个结论本身是很美的一个结论,无论简单多面体多么复杂,都有此关系满足,体现 出数学美;还有一点,有利于树立起后进生的自信心,因为他的猜想能跟数学大师欧拉的猜 想是一致的。再者,通过学生上网搜索欧拉的资料,也是一个很好的数学史的教育,而且, 欧拉的感人事迹,能培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学

生对科学的热爱和对理想的追求。

(三) 欧拉公式的证明
师:经过大家的一番努力,大家已经猜想出了简单多面体的顶点数 V、棱数 E 及面数 F 之间 有这样一种关系:V+F-E=2(欧拉公式) 。下面我们应该要证明猜想的正确性了。大家思 考,可以怎样来证明呢? 师:我们讲过,在平面多边形中,多边形的边数 E 与顶点数 V 二者相等。因为我们发现
1 5' 3' 4' 4 3 1' 2 2'

5

对上图的顶点和边进行编号后,去掉顶点 1,则减少一条边 1’, 去掉顶点 2,则减少一条边 2’,?最后只留下顶点 5 和边 5’。所以得出:边数 E=顶点数 V。那么大家能否也类比这个方法,来对欧拉公式加以证明呢? 生:既然简单多面体的各面都可以看成师用橡胶薄膜做成的,可以连续变形,那么,我们能 否剪去一个平面,再将剩余的变形成一个平面图形来加以研究呢? 师:非常好。那么我们以最简单的四面体来加以研究吧。 生: 以四面体 ABCD 为例。 A B 将它的一个面 BCD 去掉,再使它变为平 面图形,四面体的顶点数 V、棱数 V 与剩下 D A 的面数 F1 变形后都没有变(这里 F1=F-1) 。 B 因此,要研究 V、E 和 F 的关系,只要去掉一 C C 个面,将它变形为平面图形即可。 B B 只需平面图形证明:V+F1-E=1 (1) 去掉一条棱, 就减少一个面, 1-E V+F A D A 的值不变。 例如去掉 BC, 就减少一个面 ABC。 同理, 去掉棱 CD、 也就各减少一个面 ACD、 BD, C C ABD,由于 V、F1-E 的值都不变,因此 V+F1-E B B 的值不变 (2) 再从剩下的树枝形中, 去掉一条棱, A D A 就减少一个顶点,V+F1-E 的值不变。例如去 掉 CA, 就减少一个顶点 C。 同理去 AD 就减少 C 一个顶点 D,最后剩下 AB。 B 在以上变化过程中,V+F1-E 的值不变, A V+F1-E=2-0-1=1, 所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

D

D

D

师:证得非常之精彩。 将三维问题二维化, 为我们的证明降低了难度。在研究中,我们发现, 欧拉定理跟我们过去研究的:长度、距离、面积等度量无关。我们是利用了一种“连续变形” 的新概念,这种“连续变形”是一种“拓扑变化” ,它渗透着近代数学思想,以后大家有机

会的话,可以在大学里继续深入学习。这里,我们把 f(p)=V+F-E 叫做欧拉示性数,欧 拉定理告诉我们,简单多面体的欧拉示性数 f(p)=2。刚才我们类比平面多边形的性质, 证明了欧拉定理,下面我们再接着考虑,对于平面多边形而言,还有些量,例如:内角和, 跟多边形的形状、 大小无关, 那么我们能否也类比多边形这个性质, 对欧拉定理进行证明呢? 下面大家小组讨论,试着加以证明。 学生分组讨论。 讨论中,教师在屏幕上通过列出图表,让学生填写。通过图表,让学生寻找其内在规律,适 当给予提示。图表如下所示: (其中 ? ? 表示简单多面体的各个面的面角和) 多面体 正三棱锥 三棱台 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 学生发现:4

??

顶点数 V

2V?

? = 2V? - ? ? ,即: ? ? = 2V? -4 ? 。

师:这个结论自己再举些例子来验证,正确吗?怎么加以证明呢? 生:其他例子也正确。这个结论只跟顶点数有关,那么能否也将其通过以上“拓扑变化” , 将其展成一个平面来加以证明呢? 教师提示:很好。那么我们再考虑,简单多面体的各个面的面角和又能通过什么计算? 生:通过计算各个面的角,再相加得到。 师:好,下面大家沿着以上的思路,自己对欧拉定理加以证明。 欧拉定理的证明: 设 F 个面分别为 n1,n2,?,nF 边形,则所有面角总和:

?? ? (n1 ? 2)?+(n2 ? 2)? ? ?(nF ? 2)? ? (n1 ? n2 ? ?nF )? ? 2F? ? 2E? ? 2F? ①
如上面展成平面网络后,设去掉的一个面为 n 边形,可以得到一个由 n 边形围成的网络,内 部由 V-n 个点,则:

?? ? (n ? 2)?+(n ? 2)? ? (V ? n)? ? (n ? 2)2? ? (V ? n)2? ? 2V? ? 4?



由①②易得:V+F-E=2 师:大家课外还可再考虑,简单多面体可按面数 n 进行分类。那么能否用数学归纳法对此加 以证明呢?(见附录二) 设计意图说明:从知识建构角度讲,类比学生所熟悉的平面多边形的一些性质,来证明欧拉 定理,是一个比较好的切入点。再者,这种拓扑证明方法,学生是第一次接触,应该让他们 去充分体验,了解,接受这种新型的方法。在证明方法二中,是以另一个角度作为切入点: 面角和的不变性来加以解决的。通过教师列表的提示,学生的观察,得出相关的证明方法。 至于其他的证明方法,由于课堂时间有限,可让学生在课外加以拓展研究。

(四)

例题分析

例题 1、设简单多面体的各面皆为三角形,则它的面数和顶点数有何关系? 师:这个多面体的棱数与面数的关系如何从“各面都是三角形”中体现出来? 生:每个面有三条边,则共有 3F 条边,但每条边师两个面的公共边,所以上面的计算每条

边被计算过两次,所以有:3F=2E 的关系。 师:那你能得出面数和顶点数的关系吗? 生:利用欧拉公式:V+F-E=2 和 3F=2E,消去 E,得到:F=2V-4。 变题:一个简单多面体由 m 个三角形与 n 个四边形组成( m, n ? N * ) ,且多面体的每一个 顶点都有三个面构成,试探求 m 与 n 的关系。 分析:F=n+m,2E=3m+2n,3V=2E,又 V+F-E=2,代入得:

m n ? ?2 2 3

所以:n=3,m=2。 设计意图说明: 例题 1 主要是为了应用欧拉公式来解决问题, 其解决过程中体现出的面数与 边数的关系, 是为下节课证明正多面体只有五种而打下的铺垫, 变题则比例题 1 要稍微复杂, 但整个思路还是跟例题 1 一致。最后得出 m,n 只能等于 2 和 3,也是为下节课证明正多面 体只有 5 种的证明而埋下的伏笔。

(五)

小结

本节课我们通过研究性学习,猜想并证明了简单多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间的 内在关系:V+F-E=2。在整个过程中,我们是通过利用我们熟悉的知识,对未知的领域进 行了一番探索。这样的“归纳——猜想——证明”的过程希望大家以后在研究一个新问题时 也能不断地去试用,也希望大家能发现更多我们还没发现的新结论。

(六)

作业

1.书本 69 页第 1 题的(2)小题。 2.补充题:你能分别画出一个棱数为 11、9、7 的多面体吗?若不能,请说明理由。 (实际上棱数为 7 的简单多面体并不存在) 3. 附加题:对于下面这个多面体,它的欧拉示性数是多少?如何加以证明?

教后反思: 研究性课题的学习应当是学生主动的活动,因此其活动形式不能简单地模仿、记忆与练习, 而应当是真正的思维活动, 是在自我以及与他人交流合作基础上的探索性活动。 教师要确立 学生做数学的教学理念, 强调学生学习的体验和解决问题的经验的积累, 要通过学生的自主 探究和体验,来实现对所学知识的主动建构与掌握。教师对学生研究活动进行适当的知道、 帮助和促进,顺着学生,抓住主要矛盾,深入分析原因,引导学生寻求解决问题的方法。在 教学过程中,教师要着手构建一个主动型、研究型、互助合作型的数学学习共同体,来更好 地完成这个研究性课题。

附录一 欧拉瑞士著名的数学家,科学巨人,师从数学家约翰·伯努利,有惊人的记忆力,是数 学史上的最多产的数学家,他所写的著作达 865 部(篇) ,28 岁右眼失明,1766 年,左眼又 失明了,1771 年,圣彼得堡一场大火,秧及欧拉的住宅,欧拉虽然幸免于难,可他的藏书 及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难,并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的 创作之中。 资料被焚, 他又双目失明, 在这种情况下, 他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力, 回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细,然后口授,由他的长子记录。他用这种方 法又发表了论文400多篇以及多部专著,这几乎占他全部著作的半数以上,欧拉从 19 岁 开始写作,直到逝世,留下了浩如烟海的论文、著作,甚至在他死后,他留下的许多手稿还 丰富了后 47 年的圣彼得堡科学院学报。 数学方面:他的论著几乎涉及 18 世纪所有的数学分支.比如,在初等数学中,欧拉首先 将符号正规化,如 f(x)表示函数,e 表示自然对数的底,a、b、c 表示△ABC 的三边等; 数 学 中 的 欧 拉 公 式 、 欧 拉 方 程 、 欧 拉 常 数

、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一 个特殊公式 ,将数学上的 5 个常数 0、1、i、e、π 联在一起;再如就是多面体的

欧拉定理 V-E+F=2,V、E、F 分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目 物理方面:他创立了分析力学、刚体力学,研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料 力学, 在光学上也有杰出的贡献, 古典力学的基础是牛顿奠定的, 而欧拉则是其主要建筑师, 他研究了天文学, 并与达朗贝尔、 拉格朗日一起成为天体力学的创立者, 流体力学的创始人。 其它方面:欧拉在搞科学研究的同时,还把数学应用到实际之中,为俄国政府解决了很多科 学难题,为社会作出了重要的贡献。如菲诺运河的改造方案,宫延排水设施的设计审定,为 学校编写教材, 帮助政府测绘地图; 在度量衡委员会工作时, 参加研究了各种衡器的准确度。 另外,他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。他不但为科学院做大量工作, 而且挤出时间在大学里讲课,作公开演讲,编写科普文章,为气象部门提供天文数据,协助 建筑单位进行设计结构的力学分析, 他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血 液的流动,从而在生物学上添上了他的贡献,又以流体力学、潮汐理论为基础,丰富和发展 了船舶设计制造及航海理论。

附录二:我们用数学归纳法来证明这个定理。 面数最少的简单多面体是凸四面体,所以,作为归纳的基础,我们看一下欧拉定理对于凸四 面体是否成立。 任何凸四面体都有 4 个顶点、4 个面和 6 条棱,因而 V=4,F=4,E=6, 确有 V+F-E=2, 可见欧拉定理对于凸四面体是成立的。 假设欧拉定理对于一个凸 k 面体成立, ,我们看看对于凸(k+1)面体情况如何。

凸(k+1)面体可以看作是由凸 k 面体截去某一个顶点及与之相连的一个多面角形成的,在截 去时要使截面和与此顶点相连的一个多面角形成的, 在截去时要使截面通过任何顶点。 不论 截去的是凸 k 面体的哪一个顶点及与之相连的多面角, 我们看看它的顶点数、 面数和棱数如 何变化。 设被截去的顶点与 m 条棱相连, 则按照上面所述的截法截去一个顶点后, 截面与 m 条棱的交 点成为 m 个新的顶点。这 m 个新顶点中每两个相邻者之间的线段是新增加的棱,一共 m 条。 截面是新增加了的一个面。因而,这个凸(k+1)面体,在原来凸 k 面体的基础上,去掉了一 个顶点,产生了 m 个新顶点,因而一共增加了 m-1 个顶点,增加了一个面,增加了 m 条棱。 如果凸 k 面体的顶点、面及棱的个数分别为 V、F、E,则这个凸(k+1)面体的顶点、面及棱 的个数分别为 (V+m-1)、(F+1)、及(E+m)。 按归纳法假设,有 V+F-E=2。 而 (V+m-1)+(F+1)-(E+m)=V+F-E, 故有 (V+m-1)+(F+1)-(E+m)=2. 这说明欧拉定理对于凸(k+1)面体也成立。因而,由数学归纳原理可知,欧拉定理对于任 何凸 n 面体( )都成立。证毕。


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