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高三数学期中复习卷二


高三数学期中复习卷二
一、选择题: 1.已知全集 U A.{0} 2.若

? R ,集合 M ? {x | x 2 ? x ? 0}, N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z } ,则 M ? N =(
B.{1} C.{0,1} D.φ )



p :? ?

>?
2

? k? , k ? Z , q : f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 是偶函数,则 p 是 q 的(
B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件

3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆, 则这个几何体的表面积是 A. 16? 4. ?? ? ? B. 14? ( ) C. 12? D. 8? 正视图 左视图

log? cos ? log? sin ? ? ?? , y ? ? cos ? ? ,则 x 与 y 的 ? , ? , x ? ? sin ? ? ?4 2?

大小关系为 A. x



) B. x

?y

?y

C. x

?y

D.不确定 俯视图

5.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下 列说法正确的是 ( ) A.若 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? ; B.若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? ; C.若 l ∥ ? , l ∥ ? , ?

? ? m ,则 l ∥ m ; D.若 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? .
6.函数

y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ?

? , x ? R) 2


的部分图象如图所示,则函数表达式为(

? ? B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 ? ? D. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 5 3 2 2 7.在圆 x ? y ? 5x 内,过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项 a1 ,最长弦长 2 2 1 1 为 an ,若公差 d ? ( , ] ,则 n 的取值集合为 ( ) 6 3
A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6}

? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ? ? C. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4

8. 函数

f ( x ) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?

? ? ? ) 的图象向左平移 个单位后关于原点对称, 则函数 f ( x ) 在 [0, ] 2 6 2
B. ?

上的最小值为(



A. ?

3 2

1 2
1

C.

1 2

D.

3 2

9.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心 ﹐其中

x ﹐ y 分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星

12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最大值为 ( 10.已知函数 ) A.2 B.3 C.4 D.5 恰有两个不同的零点,则实数 a 的

? 2 ? x ? 1 ( x ? 0) a f ( x) ? ? ,若函数 y ? f ( x ) ? x ? 2 ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
) B. (-∞,2) C.(-∞,2]

取值范围是( A. (0,2) 二填空题

D.[0,+∞)

11. 已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? f ( x ? 2) ? 1, 且 f(1)=2,则 f(2011)= _____

__[来

12.定义运算

a b c d

? ad ? bc ,若数列 ?an ?满足

a1 21

1 n, n ? 1 ? 2 n? N* 2 ? 1, an an?1

?

? ,则数列 ?a ? 的通
n

项公式是___________

? x ? y ?1 ? 13.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7, ?2 x ? y ? 2 ?


3 4 ? 的最小值为 a b
2 ?a n ?的前 n 项和,且满足条件 a12 ? a10 ? 4 ,则 S 9

14.设 S n 是各项均为非零实数的等差数列

的最大值为

15.已知两个不相等的实数 a、 b 满足以下关系式:

a 2 ? sin ? ? a ? cos ? ?
则连接 A
2 2

?
4

? 0,

b 2 ? sin ? ? b ? cos ? ?

?
4

?0,

? a ,a ? 、 B ? b ,b ? 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是_________.
2 x 2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F , F ,点 P 为椭圆 C 上的任意一 1 2 a 2 b2

16.已知椭圆 C:

点,若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心 率的取值范围是 17.已知 M

? {a | f ( x) ? 2sin ax 在 [?

? ?

, ] 上是增函数}, N ? {b | 方程 3?| x ?1| ? b ? 1 ? 0 有 3 4
2

实数解},设 D

? M ? N ,且定义在 R 上的奇函数 f ( x) ?

x?n 在 D 内没有最小值, x2 ? m

则 m 的取值范围是 三、解答题: 18.

?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,
n ? (cos B cos C ,sin B sin C ? 3 ,且 m ? n . (Ⅰ)求 A 的大小; ) 2
,试从中再选择两个条件

(Ⅱ)现在给出下列三个条件:① a

? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45

以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.

19.已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2 .(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
? log 2 an , cn =
1 bnbn ?1
,记数列

(2)设 bn

?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N ? ,

Tn ? k ? n ? 4 ?

恒成立,求实数 k 的取值范围.

20. 如图, 在直三棱柱 A1 B1C1 ?

ABC 中,AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 ,

点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线 (2)求平面

A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值;

ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值。

3

21. 已知椭圆

所得弦长为 (1)求该椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F a 2 b2 2 ,倾斜角为 45 的直线 l 过点 F .

与抛物线

y 2 ? 4x 的焦点重合,且截抛物线的准线

(2)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线

y 2 ? 4 x 上是否存在一点 M

,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称,

若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由.

22.设二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式;
(3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立

4

2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 B 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 1.7
m 12. An

13.7 14. 2 41

15. [ 2 ? 1, 2 ] 2

16.96 17. m ?

3 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解:因为 cos( A ? 即 sin A ?

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 3 ,所以 A ?

所以 tan A ?

?
3



(1)因为 sin 2 C ? cos 2 C ? 1 , cos C ?

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3
3 6 1 3 3 2? 3 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ? 由正弦定理知: (2)因为 B ? (0,

AC BC ,即 AC ? 1 ? 6 。 ? sin B sin A

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos 2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

5

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos( A ? B ) ? cos A sin( A ? B ) ? 19. (本小题满分 14 分)

4 3 ?3 . 10

解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2 ? ( 2a n ?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1

? an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22n=n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ 4 +5 n ?1 n
Tn=1- ∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n



1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 9 ?9 ? n+ +5 n

20. (本小题满分 15 分) 解: (1)以 AB, AC , AA1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D (1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4) ∴ cos ? A1 B, C1 D ??

?

?

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA1 的的一个法向量 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4)
6

由 m ? AD, m ? AC1

∴?

?x ? y ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1 ,得 y ? ?2, x ? 2 ,

∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1) ,设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ?

∴ cos ? ? cos ? AC , m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3 5 3

∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为 21. (本小题满分 15 分) 解: (1)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y ?

4 4 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。点 P( x, y ) 到 3 3 1 1 AB、AC、BC 的距离依次为 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 3 ?| y | 。依 5 5
2 设, d1d 2 ? d3 , 得 |16 x 2 ? (3 y ? 4) 2 |? 25 y 2 ,即

化简得点 P 的轨迹方程 16 x 2 ? (3 y ? 4) 2 ? 25 y 2 ? 0, 或16 x 2 ? (3 y ? 4) 2 ? 25 y 2 ? 0 , 为圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

(2)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

① ②

与双曲线 T: 8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 ? d 2 ? d3 ,解得 D(0, ) ,且知它在圆 S 2
上。直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程 为

y ? kx ?

1 2



7

(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ?

1 平行于 x 轴,表 2

明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点, 所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况:

1 , 直线 L 的方程为 x ? ? (2 y ? 1) 。 2 5 4 5 4 代入方程②得 y (3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个 3 3 3 3
情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k ? ? 交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k ? ?

1 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 2 1 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ? ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实 1 ? y ? kx ? ? 2
数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k 2 ) x 2 ? 5kx ?

25 ?0 4
④ ⑤

该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17 k 2 ? 0 或 (?5k ) 2 ? 4(8 ? 17 k 2 ) 解方程④得 k ? ?

25 ?0 4

2 34 2 ,解方程⑤得 k ? ? 。 17 2 1 2 34 2 ,? ,? }。 2 17 2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ? 22. (本小题满分 14 分) (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

8

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0 ?
1

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)①由已知得: g ?( x) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? ②由以上得:

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x
9

取x?

1 1 1 1 得: ? ln(1 ? ) ? n 1? n n n

令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ?
n

1 . 2
n ?1

?? ?ln k ? ln ? k ? 1? ? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? , ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

故 xn ?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ?? ? ?1 ? ? ? 1 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k

2 20.解: (1)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,…………………2 分



a2 ? b2 ? 1



…………………3 分

又椭圆截抛物线的准线 x ? ?1 所得弦长为 2 , ∴ 得上交点为 ( ?1,

2 ), 2



1 1 ? 22 ? 1 2 a b

②…………………4 分
10

4 2 2 由①代入②得 2b ? b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? ?
2

1 (舍去) , 2

从而 a ? b ? 1 ? 2
2 2
2

…………………5 分

x y2 ? ?1 …………………6 分 2 1 (2)∵ 倾斜角为 45 的直线 l 过点 F , ∴ 直线 l 的方程为 y ? tan45? ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 ,…………………7 分 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) ,设 M ( x0 , y0 ) 与 F1 关于直线 l 对称,
∴ 该椭圆的方程为 ………………8 分

? y0 ? 0 ? 1 ? ?1 ? ? x0 ? 1 则得 ? ? y 0 ? 0 ? x0 ? (?1) ? 1 ? 2 ? 2 ? x0 ? 1 解得 ? ,即 M (1,?2) ? y 0 ? ?2
又 M (1,?2) 满足 y 2 ? 4 x ,故点 M 在抛物线上。
2

…………………9 分

…………………10 分 …………………11 分

所以抛物线 y ? 4 x 上存在一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称。 22. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 …………………………3 分 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 1 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= 4 1 2 ∴f(x)= (x+1) …………………………7 分 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

??4 ? t ? 0 ? g (1) ? 0 ? ?? ? ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t ? g ( m) ? 0 ?
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9.

11


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