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5重庆高考数学题 理科导数及其应用


重庆高考数学题 理科 导数及其应用
1 1 ? 1.(2004 年 14)曲线 y ? 2 ? x 2与y ? x3 ? 2 在交点处切线的夹角是___ ___ 2 4 4

(用幅度数作答)

2. (2004 年 20 题 12 分) 设函数 f ( x) ? x( x ?1)( x ? a),(a ? 1) (1) 求导数

f / ( x) ; 并证明 f ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2) 若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围
解: (I) f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a.
王新敞
奎屯 新疆

令f ?( x) ? 0得方程 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0. 因? ? 4(a 2 ? a ? 1) ? 4a ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 不妨设x1 ? x 2 ,由f ?( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x 2 )可判断f ?( x)的符号如下: 当x ? x1时, f ?( x) ? 0; 当x1 ? x ? x 2时, f ?( x) ? 0; 当x ? x 2时, f ?( x) ? 0
因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式
3 2 x13 ? x 2 ? (1 ? a )( x12 ? x 2 ) ? a ( x1 ? x 2 ) ? 0.

即( x1 ? x 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 3 x1 x 2 ] ? (1 ? a )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? a ( x1 ? x 2 ) ? 0.
又由(I)知

2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a ), ? ? 3 ? a ?x x ? . 1 2 ? 3 ?

1

代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0. 1 (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 解不等式得 a ? 2或a ?
3.(2005 年 12)曲线 y ? x 3在点(a, a 3 )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的 三角形的面积为

1 , 则a = 6

?1

王新敞
奎屯

新疆

4. (2005 年 19 题 13 分) 已知 a ? R ,讨论函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) 的极值点的个数
王新敞
奎屯 新疆

解 : f ?( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) ? e x (2 x ? a) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)], 令f ?( x) ? 0得x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0.
(1)当 ? ? (a ? 2) 2 ? 4(2a ? 1) ? a 2 ? 4a ? a(a ? 4) ? 0.

即a ? 0或a ? 4时, 方程x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个不同的实根 x1 , x 2 , 不妨设x1 ? x 2 , 于是f ?( x) ? e x ( x ? x1 )(x ? x 2 ),从而有下表:
x

(??, x1 )
+

x1 0

( x1 , x 2 )


x2
0

( x2 ,??)
+

f ?( x)

f ( x)



f ( x1 ) 为极大值



f ( x2 ) 为极小值



即此时 f ( x) 有两个极值点. ( 2)当 ? ? 0即a ? 0或a ? 4时, 方程x ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0 有两个相同的实根
2

x1 ? x 2
于是 f ?( x) ? e ( x ? x1 )
x 2

故当x ? x1时, f ?( x) ? 0;当x ? x2时, f ?( x) ? 0,因此f ( x) 无极值.
2

(3) 当? ? 0,即0 ? a ? 4时, x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1) ? 0,

f ?( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? (2a ? 1)] ? 0, 故f ( x) 为增函数,此时 f ( x) 无极值.
因此当 a ? 4或a ? 0时, f ( x)有2个极值点 ,当0 ? a ? 4时, f ( x) 无极值点.

5.(2006 年 20 题 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? bx ? c)e x , 其中 b, c ? R 为常数. (Ⅰ)若 b 2 ? 4(c ? 1) , 讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 b 2 ? 4(c ? 1) , 且 lim
x ?0

f ( x) ? c ? 4, 试证: ? 6 ? b ? 2 . x

解: (Ⅰ)求导得 f ?( x) ? [ x 2 ? (b ? 2) x ? b ? c]c 2 因 b 2 ? 4(c ? 1), 故方程f ?( x) ? 0即x 2 ? (b ? 2) x ? b ? c ? 0 有两根;

b 2 ? 4(c ? 1) b 2 ? 4(c ? 1) b?2 b?2 x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? 2 2 2 2

令 f ?( x) ? 0, 解得x ? x1或x ? x2 ; 又令 f ?( x) ? 0, 解得x1 ? x ? x2 , 故当 x ? (??, x1 )时, f ( x) 是增函数; 当 x ? ( x2 ,??)时, f ( x) 是增函 数;但 当 x ? ( x1 , x2 )时, f ( x) 是减函数. (Ⅱ)易知 f (0) ? c, f ?(0) ? b ? c ,因此
lim
n ?0

f ( x) ? c f ( x) ? f (0) ? lim ? f ?(0) ? b ? c. n ? 0 x x

所以,由已知条件得

?b ? c ? 4, ? 2 ?b ? 4(c ? 1),
因此 b 2 ? 4b ? 12 ? 0. 解得 ? 6 ? b ? 2 .

3

6.(2007 年 20 题 13 分)已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值--3--c, 其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? 4ax ln x ? ax
3 4

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (II)由(I)知 f ?( x) ? 48x3 ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数.

1) ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1,∞ ? ). 因此 f ( x) 的单调递减区间为 (0,
(III)由(II)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使

f ( x) ≥ ?2c2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c 2 .
即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,解得 c ≥
2

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 (??, ? 1]

?3 ? , ? ?? . ? ?2 ?

7.(2008 年 20 题 13 分.(Ⅰ)小问 5 分.(Ⅱ)小问 8 分.) 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点 (0, 2a+3) , 且在点 (-1, f (-1) )
2

处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e-x 的单调区间.
2 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c, 所以f ?(x ) ? 2ax ? b.

又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0,

4

即-2a+b=0,因此 b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) ?

3 2 9 , 4 4 3 9 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x ) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x ) ? ? f ( x )c ? x ? ( x 2 ? x ? )e ? x , 4 2 2 3 2 ?x ?x 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x) e ? ? ( x ? 4) e . 4
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2.

当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) ;单调递增 区间为(-2,2). 8. (2009 年 18 题 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分)
2 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))

处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?
2

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x ) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x ) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2

令 g ?( x) ? 0, 有x2 ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
(2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, g ?( x) ? K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

e x ( x ? 1)2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x? 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函数 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 9.(2010 年 18 题 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? ln( x ? 1) ,其中实数 a ? ?1 . x?a

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,试讨论 f ( x ) 的单调性. 解: (Ⅰ) f / ( x) ?

x ? a ? ( x ? 1) 1 a ?1 1 . ? ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? a) x ?1 ( x ? a)
1 2 ?1 1 7 ? ? , 而 f ( 0) ? ? , 因 此 曲 线 2 2 0 ?1 4 (0 ? 2)

当 a ? 1 时 , f / (0) ?

1 7 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (? ) ? ( x ? 0) 即 7 x ? 4 y ? 2 ? 0 . 2 4
(Ⅱ) a ? ?1 ,由(Ⅰ)知 f / ( x) ?

a ?1 1 1 1 ? ? ? , 2 1?1 a ?1 2 (1 ? a)

6

1 1 ? ? 0 ,解得 a ? ?3 . a ?1 2 x ?1 ? ln( x ? 1) ,其定义域为 (?1,3) ? (3,??) ,且 此时 f ( x ) ? x?3


f / ( x) ?

?2 1 ( x ? 1)(x ? 7) ,由 f / ( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 7 .当 ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? 3) ( x ? 1) ( x ? 3)

? 1 ? x ? 1 或 x ? 7 时, f / ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 7 且 x ? 3 时, f / ( x) ? 0 .
由以上讨论知, f ( x) 在区间 (?1,1],[7,??) 上是增函数,在区间 [1,3), (3,7] 上是减 函数. 10(2011 年 18 题 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. )
? ? ? ) ? ?a , f ' ( ? )? ? b, 其 中 常 数 设 f ( x) ? x ? ax ? bx ?? 的 导 数 f ' (x )满 足 f ' (

a, b? R.
(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e ,求函数 g ( x) 的极值. 解: (I)因 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1, 故 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b. 令 x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? .
?x

3 2

3 2 5 x ? 3x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? ( ? ) ? ?3, 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为 2 5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1), 即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2
因此 f ( x) ? x ?
3

(II)由(I)知 g ( x) ? (3x ? 3x ? 3)e
2

?x



从而有 g ?( x) ? (?3x ? 9 x)e .
2 ?x

令 g ?( x) ? 0, 得 ? 3x2 ? 9x ? 0, 解得x1 ? 0, x2 ? 3.

7

当 x ? (??,0)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(??,0) 上为减函数; 当 x ? (0,3)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x) 在(0,3)上为增函数; 当 x ? (3, ??) 时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(3, ??) 上为减函数; 从而函数 g ( x)在x1 ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3, 在x2 ? 3 处取得极大值 g (3) ? 15e?3 . 11.(2012 年 08)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为

f , ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f , ( x) 的图像如题(8)图所示,
则下列结论中一定成立的是(D ) (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

12. (2012 年 16 题 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x) ? a ln x ? 直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 2x 2

解: (Ⅰ )因 f ( x) ? a ln x ?

1 3 a 1 3 ? x ? 1 ,故 f ?( x ) ? ? 2 ? . 2x 2 x 2x 2

由于曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0, 即 f ?(1) ? 0 ,从而 a ?
1 3 ? ? 0 ,解得 a=-1. 2 2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? ? ln x ?

1 3 ? x ? 1( x ? 0) 2x 2

8

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 (3 x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? ? ? 2 ? ? ? x 2x 2 2x2 2 x2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ? 不在定义域内,舍去). 3 3

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在(0,1)上为减函数; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数. 故 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 3
x ? 5 ? ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 13(2013 年 17) 、设 f ?x ? ?a ?
2

?

?

处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

9


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