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椭 圆复习学案


圆锥曲线复习 第 2 讲 学习目标





1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

自主学习
1.椭圆的定义 在平面内与两定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数 ( )的点的轨迹叫做椭


圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M| (1)若 (2)若 (3)若 },|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: ,则集合 P 为椭圆; ,则集合 P 为线段; ,则集合 P 为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0) y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)

图形

续表 范围 对称性 顶点 轴 焦距 离心率 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

性质

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e=a∈

1

a,b,c 的关系 考点一 椭圆的定义及其应用

c2=

【例 1】 (1)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上 一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( )

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆

x2 y2 (2)已知 F1, F2 是椭圆 C: P 为椭圆 C 上的一点, a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点, 且 P→ F 1⊥P→ F 2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面: 一是确认平面内与两定点有关的轨 迹是否为椭圆;二是当 P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点 F1,F2 组成的三角形通 常称为 “ 焦点三角形 ” ,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求 |PF1|· |PF2|;通过整体代入可求其面积等. x2 y2 【变式】 (1)已知 F1, F2 是椭圆16+ 9 =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A, B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( A.6 B.5 C.4 D.3 )

(2)与圆 C1:(x+3)2+y2=1 外切,且与圆 C2:(x-3)2+y2=81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为________. 考点二 求椭圆的标准方程 【例 2】 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那 么椭圆 C 的方程为________.

2

(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴, 则椭圆的标准方程为________.

规律方法 根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法. 定义法 的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义, 待定系数法的要点 是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a,b. 考点三 椭圆的几何性质 x2 y2 【例 3】 (1)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则 椭圆 C 的离心率等于________. x2 y2 (2)已知椭圆a2+b2=1 的左顶点为 A,左焦点为 F,点 P 为该椭圆上任意一点; 1 若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2,离心率 e=2,则 A→ P· F→ P 的取值范围是 ________. 规律方法 (1)求椭圆的离心率的方法:①直接求出 a,c 来求解 e.通过已知条件 列出方程组,解出 a,c 的值;②构造 a,c 的齐次式,解出 e.由已知条件得出关 于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解;③通 过取特殊值或特殊位置,求出离心率. (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0 <e<1 等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. 考点四 直线与椭圆的位置关系 x2 y2 【例 4】 (2014· 四川卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-2,0), 6 离心率为 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,

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Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.

规律方法

(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线

方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相 关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1? ? ?1+k2?[?y1+y2?2-4y1y2](k 为直线斜率). ? ?

提醒: 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要 忽略判别式. x2 y2 2 【变式】 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值. 微型专题 圆锥曲线上点的对称问题 【例 5】 椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心 1 率 e=2,其中∠F1AF2 的平分线所在的直线 l 的方程为 y=2x-1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)在椭圆上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在, 说明理由.

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课后练习
一、选择题 x2 y2 1.设 F1,F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A.4 B.3 C.2 ) D.5 )

x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 B.8 C.4 或 8 D.以上均不对

1 3.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于2,则 C 的方程是 (
2

) x2 y2 B. 4 + =1 3 x2 y2 C. 4 + 3 =1 x2 2 D. 4 +y =1

x y2 A. 3 + 4 =1

x2 y2 4.已知椭圆 4 + 2 =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2 为 直角三角形,则这样的点 P 有( A.3 个 B.4 个 ) C.6 个 D.8 个

x2 y2 5. (已知椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A, 4 B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF=5, 则 C 的离心率为( 3 A.5 5 B.7 4 C.5 6 D.7 )

二、填空题 x2 y2 6.已知 P 为椭圆25+16=1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x- 3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. x2 y2 1 7.已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的离心率等于3,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上

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异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中,

sin A+sin B sin C 的值等于________.

x2 y2 8.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆上一 →· → 2 点,且PF 1 PF2=c ,则此椭圆离心率的取值范围是________. 三、解答题 x2 y2 9.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左,右 焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

x2 y2 10.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, F1, F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴 的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

?4 1? (1)若点 C 的坐标为?3,3?,且|BF2|= 2,求椭圆的方程; ? ? (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

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