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一道联赛题的延伸思考


6 4  

数 学 通讯 一 ~2 O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半 月)  

?专论 荟 萃 ?  

一  一 阮 道 灵 东 联   赛 题 的 延 伸 胡   思 晓 考    
l I  I   江 西 省 余 干 县 蓝 天 中 学 瑚   ㈨   江 西 省 余 干 县 梅 港 中 学

  ,  
+  


2 0 1 2年 全 国高 中数 学 联 赛 A 卷 一 试 的 第 三 

题: 设 z ,  ,  ∈   E o , 1 1 , 则 M 一  ̄ 厂 T  

因 此, 当 z   一0 , z z 一高 ,  s 一  
, z   一 
7f — — 1 

,  



 +

v 厂  『 二  『 ] _   的 最 大 值 

一1 时, M 取 得最大值  『 = 二 _ 『 +1 .  

结论 2   设 0 ≤ 3 2   ≤ z 2 ≤ …≤ 3 2   ≤ 1 , m   ,  

解  不 妨设 0≤ z≤  ≤ z≤ 1 , 则 

, …, m   为正实数 , 则 M一仇   ̄ / 《 z   一  z   l +  
m   、

M一  
? .

+而

+  

,  

/ T  

+…+m   、 / 广   二 
二 F _   + m  .  

的最大值 

‘J g-J+  
,  

为 

≤ v iE ( y -x ) — +( z - —y ) ]一  ?  
. . . M≤ (   4 -1 )~   二   ≤  + 1 ,  

证 明  因为 0≤  ≤ z 。 ≤ …≤ z   , 所以  

M —m l、 / / = i  

+  

+…  

当且 仅 当 y -3 2一 一3 , , z= = = 0 , z 一1 , 即 z一 
0,   一 i

+m   、  _ = - =  
由柯 西不 等式得 :  

+    ̄ /   - 二 二 _   、 / /   + … +  

, z: = = 1时 , 上式取 等号.  
+ 1.  

v /  _ 二  
故 M  。  一  

+  

1% / r  ̄ n — -3 2 — n - 1  

这 是命 题 组 提 供 的 一 种 解 法 , 依 此解法 , 易 
得出:  

≤{ (   + i + … +m  。 ) [ (  2 一z   ) 十( x 3 一  G 7 2 ) + …+ ( z   一  ) ] ) {  

结论 1   设l z   , z 。 , 工   “, z  ∈ E o , 1 ] , 则 M 
一   、

/ 厂 1 —   =  



、 / / T _   _ 二 可

 +  …  +  
的最 大 值 为  
、  



、  

F" ' — " H 一 - m. - 1?   F 

,   +m   )?  



/ — I .  ̄ .1 -3 — 2 .i+ 、 / 1 _  _ = 二 可
=   + 1.  

所以 M ≤ (  

『 = =   ≤ 

+   .  

、 

当且 仅 当 ( z 2 一z 1 ): ( 2 3 3 一z z ): ( x 4 一 3 ):  
… : (   一z   一 1 )一  1: m2:   3:… :   一1 且 . 2 7 1— 

证 明  不 妨 设 0≤  ≤ 3 2 z ≤ … ≤  ≤ 1 ,  

则 M一 .  i  
+ 、   .  

+√  ' = 二  i+…+ / 2 3 . 一z 圹 _  

0, z  一 1时 , 上式 取等号 , 也 即: z -一 0 , z 2一 
+ m2+ … +  一1  
,   一

由柯西 不等 式得 :  
I 2 一  一 、 一 七 , / — 2 3 — —  ̄ — — 一 — — — — z — 一 2   七 …  i — — n — — 一 — — — — 1 — —   — — 一  




1 .  

≤ ( (  — 1 ) [ ( z 2 一z 1 ) 4 -( - z 3 一z 2 ) + …  +( z   一 
一 、 ,  

因此, M  一  ̄ /   +   +… +- , , z   十  
笔者 对 原题 的解 法 作 了 进 一 步 的思 考 , 得 到 

) ] } 号  
,  

另一种解 法 , 并 依此解 法得 到 了另一些结 论.  
T  另 解  不 妨 设 0 ≤ - I ≤  ≤  ≤ 1 , 记“   —z, 6 。 一   —  , c 。 一  …   , 则 有  + b  一 c   ,  
+l ,   所 以  M ≤ (、   二T + 1 )~   =   ≤ 

其 中 d, 6, f ∈[ 0, 1 ] , 设“   c   c o s O , b— c   s i n O ,  

当且 仅 当 3 2 2 一z 1 一z 3 一  2 一… 一z   一z —l '  

即_ r   ,z   , …, z  成等 差数列 , 且  一 0, z n 一1  
时, } = 式取 等号 .  

0∈ [ 0,   ] , 则 
M : : :n+ 6+ C— c   c o s O+ c s i n O+ f  

?

专论茎萃 ?  

数学通讯 ——z O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

6 5  

c [  ̄ / 2 s i n (   + 号 ) + 1 ] ≤(  + 1 ) c  
≤4 5 +1 ,  

『 _ =  i  一  
为 2 .  
证 明 
—  

T+  

『 二  _ 1 - 的最大值 

记 a 。一 Y—  , b  一 2一 Y ,c 。一 z  

当 且 仅 当0 一 号 , c —l 时 , 上 式 取 等 号 ?  
因此, 当 口一 4 5  




则有 a   +b  一 C   , 其 中 a, b, C   E[ O, 1 ] ,  

6—

5  4

, c一 1 , 也 即 z一 。  

设n —c   c 。 s O , b — f   s i n 0 , 0 ∈ [ o , 号 ] , 则  
P一口 一b +c —c [ 5c 4 o s ( 0 +孕) +1 ] .  

,  



丢 , z 一 1 时 , M 取 得 最 大 值 M   = 5 4 + 1 .  
结论 3   设  , Y , z  E [ O , 1 ] , 则 N — 

因 为   E [ o , 号 ] ,   + {E [ 詈, }   ] , 所 以  
c o s ( 0 +孚) ≤   , 从而 P≤2 c ≤2 .  
当且 仅 当 f一 1, 0— 0时 , 上式 取等 号 , 即 a  


I _ _ y I . I   二 z   1 .   I z —   I 的   最 大 值 为 丢 .  
证 明  不 妨 设 0≤ X≤ Y≤  ≤ 1, 记 a  = 

Y— z , b 。一 z — Y ,c 。 一 z —  , 则有 a   +b  = 

1, b一 0 , c =1 , 也 即 z一 0, Y一 1 , z =1 时,  

c   , 其 中 a ,b,C   E[ O ,1 - ] , 设 a: = :c   c o s 0 , b—  c s i n 0 , 0   E[ 0,   ] , 则 

P取 得最 大值 P   。  一 2 .  

依 据上 述 方 法 , 还 可进 一 步 得 到一 些 变形 的  结论 , 有 兴趣 的读者 可继续 探 讨.   思 考上 述两 种解 法 , 各 有优 点 , 命 题组 给 出的  解 法 很容 易对 原 问题 进 行 推 广 , 而 用第 二 种 方 法 
很 容 易对本 问题 进行 多种 变式 . 因此, 对一 种 问题 

N 一   c 一 譬 s i n 2   ≤   c 3  1 ,  
当 且 仅 当0 一詈, c =1 时 , 上 式 取 等 号 , 即口  
_


5 4   ’ 6 =  一 1  p   一   一 ÷, z 一 1   探究 问题 , 不 能 只 抓住 一 种 方 法 不 放 , 否则 , 将 限 
制你 的思 维的广 度和 深度.  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —1 2 —3 0 )  

的解 法要做 到 多 思考 , 尽 可 能 地从 不 同 的 视 角来 

时取 等号 .  

故 N … 一 丢 .  
结论 4   设 0≤ X ≤ Y ≤ z≤ 1 , 则 P 一 



道 数 学 竞 赛 题 的 推广 与引 申 
高   凯  
( 安 徽 省 宿 州 市 砀 山 中学 ,2 3 5 3 0 0 )  

题目

( 2 0 1 0年 河 北 省 预 赛 题 )已 知椭 圆 C  

问题 l   如图 1 ,已知 


y    J
A  

过点 M ( 2 , 1 ) , 两个 焦 点分 别为 ( 一√ 6 , 0 ) , ( √ 6 , 0 ) .  
0为 坐标原 点 , 平行于 0 M 的直线 z 交 椭 圆 C于不 

2  

2  

椭 圆 c:   +万 Y =l ( 口> b  
n 

同的点 A, B . ( 1 )略 ; ( 2 )证 明 : 直 线 MA, MB 与 . 2 7  
轴 围成一 个等腰 三 角形 .  

> 0 )过 点 M , O 为 坐标 原 



 

B 
. 

点, 平行于 0 M 的直 线交 椭 
圆 C于不 同 的点 A, B . 若 直 

本题 属 于 一 道 很 常 规 的竞 赛试 题 , 主要 考查 
椭 圆的标 准方 程 、 直 线 的方 程 及 直线 与 椭 圆 的位  置关 系. 下面 将此题 推 广到 一般形 式 .  

线 MA, MB 与 . 2 7轴 围 成 一 

图 1  

个 等腰 三角形 , 求直 线 O M 的斜 率 和点 M 的坐标 


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