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2016高考数学专题-导数讲义doc


导数知识要点
一、导数与积分
1. 导数 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数

Y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时,?y 与 ?x 的比
极限(即

>?y 有 ?x

?y 无限趋近于某个常数),我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的 ?x
/ x ? x0

导数,记作 f /(x 0 )或 y



f /(x 0 ) ? lim

?x ? 0

?y f(x 0 ? ?x ) ? f(x 0 ) ? lim ?x ? 0 ?x ?x

注:当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0

f / ( x0 ) ? lim
2. 导函数

?x?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x 0 ) ? lim x? x0 ?x x ? x0

如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数, 此时对于每一个 x ? (a, b) , 都 对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 f ( x) 为函
/ / 数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,也可记作 f ( x) 或 y / / /



f / ( x) = y / = lim

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

注:导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个 函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 就是导函数 f ( x) 在点 x0 的函数值。 3. 导数的几何意义 函数 f (x )在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点(x 0 ,f(x 0 )) 处的切线的斜率,因 此,如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为
/

y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) 。
( - 1, 0) 例. 求曲线 y ? ln( x ? 2)在点 P 处的切线方程

(0, 0) 例. 经过原点 作函数 f(x ) ?

x 3 ? 3x 2 的图像的切线,则切线方程为

4. 几种常见函数的导数
C' ? 0 ( C 为 常 数 )

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )
(ln x) ' ? 1 x

( s xi) ' n ? c ox s
(e x ) ' ? e x

(cos x) ' ? ? sin x
(a x ) ' ? a x ln a
5. 运算法则 (1)导数的运算法则

(log a x )' ?

1 x ln a

(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

(2)复合函数的求导法则

y ? f [u(x )]的导数 y x
3 2

'

? y u ux

'

'

例. f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 3

6. 定积分 (1) 概念 如果函数 f(x )在区间 a,b 上连续, 用分点 a ? x 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? x n ? b 将区间 a,b 等分成 n 个小区间,在每个小区间 xi ?1 ,xi 上任取一点 ?i(i ? 1, 2,? ,n),作和式

? ?

? ?

?

?

? f(?i )?x ?
i ?1

n

? i

n

b ?a f(?i ),当 n ? ? 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 n ?1
b
b

f(x )在区间 ?a,b ?上的定积分,记作 ? f(x ) dx ? lim dx ,即 ? f(x )
a
a

n ??

? i
?1

n

b ?a f(?i ) n

这里 a 和 b 分别叫做积分的下限和上限,区间 a,b 叫做积分区间,函数 f(x )叫做被积函数,

? ?

dx 叫做被积式. x 叫做积分变量, f(x )
注 :定积分数值只与被积函数及积分区间 a,b 有关, 与积分变量记号无关

? ?

dx ?a f(x )
(2)性质 ① ② ③

b

?

?a f(t )dt

b

?

?a f(u )du

b

?a
a

b

kf (x ) dx ? k ? f(x ) dx ( k 为常数)
a
1 2

b

dx ? ?f (x ) ? f (x )?
b

?

?a

b

f1(x ) dx ?

?a f (x )dx
2

b

dx ? ? f(x )
a

c

?c

b

f(x ) ?

dx ?a f(x )

b

(a ? c ? b )

(3)微积分基本定理
' 一 般 的 , 如 果 f(x ) 是 区 间 a,b 上 的 连 续 函 数 , 并 且 F (x ) ? f(x ) , 那 么

? ?

dx ?a f(x )

b

? F(b ) ? F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式,
b a

为了方便,常常把 F(b ) ? F(a)记作 F(x ) ,即 例.计算下列定积分的值

dx ?a f(x )
?

b

? F(x )a ? F(b ) ? F(a).

b



? (x ? 1) dx
5 1

2



? ? cos
2 ? 2

2

xdx

(4)常见定积分的公式 ①

?a

b

x ndx ?

1 x n ? 1 ( n ? ?1 ) n ?1 a
b

b



?a

b

Cdx ? Cx a ( C 为常数)

③ ④

?a

b

sin xdx ? ? cos x a ? sin x a
b

b

?a cos xdx
?a
b

b

b



1

x

dx ? ln x a
b a



?a

b

e xdx ? e x

(5)利用定积分求平面图形的面积 ① 画图象:在直角坐标系内画出大致图象 ② 确定积分上、下限:借助图象的直观性求出交点坐标,确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积:将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和,计算定积分 例. 如图,阴影部分的面积是 A. 2 3 B. 9 ? 2 3 C.

32 3

D.

35 3

二、导数的应用
1. 函数的单调性 设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,导函数 f (x )在区间 ( a, b) 内满足


f' (x ) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为增函数; f' (x ) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为减函数
设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,导函数 f (x )在区间 ( a, b) 的任意子区间内都不恒等


于 0,则

f' (x ) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为增函数; f' (x ) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为减函数

注:① f (x ) ? 0 是 f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上并不 是都有 f (x ) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f ' (0) ? 0 ,同样 f (x ) ? 0 是 f(x)递减的充
' '

'

分非必要条件. ②一般地,如果 f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 例 1、判断下列函数的单调性及单调区间 (1) f ( x) ? 3x 2 ? 2 ln x (3) f ( x) ? 2 x(e x ? 1) ? x 2 (5) f ( x) ? sin x(1 ? cos x)(0 ? x ? 2? ) (2) f ( x ) ? (4) f ( x ) ?

ln x ?1 x

ex x?2

例 2、 已知函数 f ( x) ? x ? (x ? 0, 常数 a ? R) .若函数 f ( x) 在 ?2, 求a ? ? ?上单调递增,
2

a x

的取值范围.

变式训练: 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1在 R 上是减函数,求 a 的取值范围
3 2

例 3、设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln(x ? 1) ,其中 a ? ?1 ,求 f ( x) 的单调区间

变式训练:已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 ,试判断函数单调性 2

例 4、当 x ? 0 时,证明不等式 1 ? 2 x ? e

2x

变式训练:当 x ? 1 时,证明不等式 x ? ln(1 ? x)

2. 函数的极值 (1)定义 设函数 f (x )在点 x 0 附近有定义, 如果对 x 0 附近的所有点, 都有 f(x ) ? 则 f(x 0 )是函数 f (x )的一个极大值,记作 y 极大值 ? 都有 f(x ) ?

f(x 0 ),

f(x 0 );如果对 x 0 附近的所有点,

f(x 0 ),则 f(x 0 )是函数 f(x )的一个极小值,记作 y 极小值 ? f(x 0 ). 极

大值与极小值统称为极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极 值指的是函数值。 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比 较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 。
y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a

X1

X2

X3

X4

b

x

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取 a 得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有

f ?( x) ? 0 。但反过来不一定。如函数 y ? x 3 ,在 x ? 0 处,曲线的切线是水平的,但这点
的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。假设 x0 使

f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x0 在什么情况下是的极值点呢?
y y

f ?( x0 )
f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 0

f ?( x0 )
x o a X0 x

o

a

X0

b

b

如上左图所示,若 x0 是 f ( x) 的极大值点,则 x0 两侧附近点的函数值必须小于 f ( x0 ) 。因
a f ( x) 只能是增函数,即 f ?( x) ? 0 。 x0 的右侧附近 f ( x) 只能是减函数, 此, x0 的左侧附近 a

即 f ?( x) ? 0 ,同理,如上右图所示,若 x0 是极小值点,则在 x0 的左侧附近 f ( x) 只能是减 函数,即 f ?( x) ? 0 ,在 x0 的右侧附近 f ( x) 只能是增函数,即 f ?( x) ? 0 ,从而我们得出结论: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号, 则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是 极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是 极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极 小值。 例. 求函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3

(2)判断 f(x 0 )是极值的方法 当函数 f(x )在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f (x ) ? 0 ,右侧 f (x ) ? 0 ,那么 f(x 0 )是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f (x ) ? 0 ,右侧 f (x ) ? 0 ,那么 f(x 0 )是极小值. 注: ①若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点.
’ ’ ’ ’

②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是极小值点 (3)求极值步骤: ① 确定函数的定义域; ② 求导数; ③ 求方程 y / =0 的根,这些根也称为可能极值点; ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(最好通过列表法)

例 1、 求下列函数的极值 (1) y ? x 2 ? 7 x ? 6 (2) y ? x 3 ? 27x

例 2、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 的时候取极值,讨论 f (1)和f (?1) 是函数的 极大还是极小值

例 3、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值 (2,f (2)) (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值

3. 函数的最值 (1)在闭区间 a,b 上连续的函数 f (x )在 a,b 上必有最大值与最小值; (2)求最值步骤: 设函数 f(x )在 a,b 上连续,在 ①求 f (x )在

? ?

? ?

? ?

?a,b ?内可导

?a,b ?内的极值;

②将 f (x )的各个极值与 f (a )、 f (b )比较,其中最大的一个是 f (x )的最大值,最小的

一个是 f (x )的最小值. 注 :① .闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ;开 区 间 ( a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. ②.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不 止一个,也可能没有一个. ③.在解决实际应用问题中,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函数在区 间 内只有一个极值点,那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函 数值进行比较. 例 1 、 函 数 y ? x 2 ? 5x ? 4 在 区 间 ?? 1,1? 上 的 最 大 值 与 最 小 值


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