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河南省濮阳市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题(扫描版)


高二数学期末考试
数学(理科)评分标准
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

. 13. ?3,??? ? ?? ?,?1?

14. 6

15. 5

16.

n ? n ? 1? ?1 2

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 10 分) 解:不等式 x ? 1 ? m ? 1 的解集为 R ,则 m ? 1 ? 0 即: m ? 1 时, p 是真命题----------------------------------------------------------------2 分

f ( x) ? ?(5 ? 2m) x 是减函数,则 5 ? 2m ? 1
即: m ? 2 时, q 是真命题------------------------------------------------------------------4 分 由于 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题 所以 p 和 q 一真一假

当 p 为真命题, q 为假命题时: ?

?m ? 1 显然无解 ?m ? 2

---------------------------7 分

当 p 为假命题, q 为真命题时: ?

?m ? 1 解之得: 1 ? m ? 2 --------------------9 分 ?m ? 2

所以 m 的取值范围为 ?1,2? .----------------------------------------------------------------10 分 18. (本小题满分 12 分) 设双曲线方程为

x2 y2 , ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

a 9 9 9 ∵两准线间距离为 ,∴ 2 ? = ,得 a 2 ? c, ①-------------------------------4 分 4 c 2 2
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ∵双曲线与直线相交, 由方程组 ? a ? ? y ? 1 ( x ? 4) ? 3 ?
得 (b 2 ?

2

a2 2 8 2 16 ) x ? a x ? (b 2 ? )a 2 ? 0 , 9 9 9

a2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ? 由题意可知 b ? 9 2
2

8 2 a 2 9 ?? 2 a 3 2(b 2 ? ) 9

化简得: 7a 2 ? 9b 2

② ----------------------------------------------------------------8 分

联立①②解得: a 2 ? 9 , b 2 ? 7 所以双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 .------------------------------------------------------12 分 9 7

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2
1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6
……………3 分

?
令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

解得: k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ,k ?Z 3

3? ,k ?Z 2

? 2? 7? 3? ? 3? ? ,或 ?x? x ? ?0, ? ,? ? x ? 6 3 6 2 ? 2 ?
所以函数 f ( x) 在 [0, (2)由 f ( A) ? sin( 2 A ?

3? ? 2? ? 7? 3? ? ] 上的单调递增区间为 [ , ] , ? , ? ………6 分 2 6 3 ? 6 2 ? 1 ? ? ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 1 2 6 6

?

6 1 化简得: cos 2 A ? ? 2
又因为 0 ? A ?

) ? 1 得:

?

2

,解得: A ?

?
3

………………………………………………9 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

2 2 2 2 又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 2bc (1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . ……………………………………………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 a1 ? 1, a4 ? 27 解之得: q ? 3 由 所以 an ? 3n?1 --------------------------------3 分 所以 bn ? 2n ? 1 -----------------------6 分.

b1 ? 3, S5 ? 35

解之得: d ? 2
n ?2

(2) Tn ? 3 ?1 ? 5 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3

? ?2n ? 1? ? 3n?1 ①

3Tn ?

3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? ?2n ? 1? ? 3n ②

①-②得: ? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? ?2n ? 1? ? 3n 整理得: Tn ? n ? 3n 21(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ AD ? AE , ?DAE ? 60 ? △DAE 为等边三角形, 设 AD ? 1 ,则 DE ? 1, CE ? 3, CD ? 2,??DEC ? 90 , 即 CE ? DE .

?

?

------------9 分

-------------------- -----------------------12 分

----------------------------------------------------2 分

DD? ? 底面 ABCD ,

CE ? 平面 ABCD , ? CE ? DD ' .

CE ? DE

? ' ? CE ? 平面DD E ? ? CE ? DD ? ? CE ? DF . ------------------5 分 ? ' ? DF ? 平面 DD E ? ? DE DD ' ? D ? ?
'

(2)取 AE 中点 H , 则 DH ? AB , DH ? CD . 分别以 DH 、DC、DD ' 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 AD ? 1 ,

则 D (0, 0, 0), E (

3 1 3 1 3 1 3 , , 0), A( , ? , 0), D '(0, 0,3), F ( , , ), C (0, 2, 0) . 2 2 2 2 4 4 2

EF ? (?

3 1 3 3 3 , ? , ), AE ? (0,1, 0), CE ? ( , ? , 0) .------------------8 分 4 4 2 2 2

设平面 AEF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

? 3 1 3 x? y? z ?0 ?? 则 ? 4 , 4 2 ?y ? 0 ?



n1 ? (2 3, 0,1) .
平面 CEF 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,

? 3 1 3 x? y? z ?0 ?? ? 4 4 2 则? , 3 3 ? x? y ?0 ? ? 2 2
取 n2 ? (3 3,3, 2) .

cos ? ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

20 13 ? 40

?

130 13



所以二面角 A ? EF ? C 的余弦值为 ? 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)? e ?

130 . 13

---------------------12 分

c 2 , ? a 2

1 2 ? 2 ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 2 b a

联立解之得: a ? 2 , b ?

2 ,c ? 2
------------------------------------------------------5 分

x2 y 2 ? ?1 ∴椭圆方程为 2 4
(2)设直线 BD 的方程为 y ? ∴?

2x ? b

? y ? 2x ? b ?2 x ? y ? 4
2 2

? 4 x2 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0

2 ∴ ? ? ?8b ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x2 ? ?

2 b, ………………………① 2

x1 x2 ?

b2 ? 4 4

………………………②

? BD ? 1 ? ( 2 ) 2 x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
设 d 为点 A 到直线 BD: y ? ∴d ?

6 8 ? b 2 ,--------8 分 2

2 x ? b 的距离,
---------------------------------------------------------------10 分

b 3

∴ S?ABD ?

1 2 BD d ? (8 ? b2 )b2 ? 2 , 2 4

当且仅当 b ? ?2 ? (?2 2,2 2 ) 时,

?ABD 的面积最大,最大值 2 .………………………………………………12 分


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