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函数的单调性、奇偶性的综合问题


函数的单调性、奇偶性综合运用
【学习目标】 1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题; 2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。 【学习过程】 一.复习回顾: 1.函数单调性、奇偶性的定义 2 .设 f ?x ? 为定义在 ?? ?,??? 上的偶函数,且 f ?x ? 在 ?0,??? 上为增函数,则 f ?? 2? ,

f ?? ? ? , f

?3? 的大小顺序是
二.例题精讲: 题型一:知单调性求参数的范围 1.若 f ?x ? 是偶函数,其定义域为 ? ??, ?? ? ,且在 0,??? 上是减函数 则 f (?

?

3 ), 4

f (a 2 ? a ? 1) 的大小关系是



2.已知 f ?x ? 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且在定义域上为增函数 ,若 f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 , 求

a 的取值范围.

【变式】

已 知 f ?x ? 是 定 义 在 ?? 1,1? 上 的 偶 函 数 , 且 在 ?0,1? 上 为 增 函 数 , 若

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ,求

a 的取值范围。

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题型二:单调性的判断与证明: 3.已知 f (x)是 R 上的偶函数,且在(0,+ ? )上单调递增,则 f (x) 在(- ? ,0)上的单调性, 并证明你的结论

4.已知 f (x)是 R 上的偶函数,且在(0,+ ? )上单调递增,并且 f (x)<0 对一切 x ? R 成立, 试判断 ?

1 在(- ? ,0)上的单调性,并证明你的结论. f ( x)

【课堂巩固】 1. 设 f ?x ? 是 偶 函 数 , 且 当 x ? ?0,??? 时 , 是 .

f ( x) ? x ? 1 ,

则 f ( x ? 1) ? 0 的 解

2. 定义 R 在的偶函数 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上是单调递增的,若 f ?2a 2 ? a ? 1? < 的取值范围. 3.若奇函数 f ( x) 是定义域 ?? 1,1? 上的减函数,且 值范围

f 3a 2 ? 2a ? 1 ,求 a

?

?

f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 求实数 m 的取

4.已知 f (x)是 R 上的奇函数,且在(0,+ ? )上单调递减,则 f (x) 在(- ? ,0)上的单调性, 并证明你的结论

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函数的单调性、奇偶性综合运用(一)
【学习目标】 1、 进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题; 2、 利用单调性、奇偶性来解决相关问题。 【学习过程】 一.复习回顾: 1.函数单调性、奇偶性的定义 2 .设 f ?x ? 为定义在 ?? ?,??? 上的偶函数,且 f ?x ? 在 ?0,??? 上为增函数,则 f ?? 2? ,

f ?? ? ? , f ?3? 的大小顺序是
二.例题精讲: 题型一:知单调性求参数的范围 1.若 f ?x ? 是偶函数,其定义域为 ? ??, ?? ? ,且在 0,??? 上是减函数 则 f (?

?

3 ), 4

f (a 2 ? a ? 1) 的大小关系。

2.已知 f ?x ? 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且在定义域上为增函数 ,若 f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 , 求

a 的取值范围.
已 知 f ?x ? 是 定 义 在 ?? 1,1? 上 的 偶 函 数 , 且 在 ?0,1? 上 为 增 函 数 , 若

【变式】

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ,求

a 的取值范围。

题型二:单调性的判断与证明: 3.已知 f (x)是 R 上的偶函数,且在(0,+ ? )上单调递增,则 f (x) 在(- ? ,0)上的单调性, 并证明你的结论 注: (1)利用特殊函数图象找结论(2)证明什么设什么,转换;用单调性;用奇偶性; 结论(3)变成 8 个类比题(4)奇函数在原点两侧对称区间上单调性相同;同理,偶函数存 在原点两侧对称区间上单调性相反 4.已知 f (x)是 R 上的偶函数,且在(0,+ ? )上单调递增,并且 f (x)<0 对一切 x ? R 成立, 试判断 ?

1 在(- ? ,0)上的单调性,并证明你的结论. f ( x)

答案:解:设 x1 ? x 2 ? 0 , 则 ? x1 ? ? x 2 ? 0 , ∵ f (x) 在(0,+ ? )上单调递增,∴f(-x1)>f(-x2), ∵f (x)为偶函数, ∴f(x1)>f(x2) 又?
? 1 1 ? 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?? ? ? ? 0 (∵f(x1)<0,f(x2)<0) ?? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 )

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∴?

1 1 ∴? ?? , f (x1 ) f (x 2 )

1 是(- ? ,0)上的单调递减函数. f (x)

【课堂巩固】 1 、 设 f ?x ? 是 偶 函 数 , 且 当 x ? ?0,??? 时 , 是 .

f ( x) ? x ? 1 ,

则 f ( x ? 1) ? 0 的 解

3、 定义 R 在的偶函数 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上是单调递增的,若 f ?2a 2 ? a ? 1?< 的取值范围. 4、 若奇函数 f ( x) 是定义域 ?? 1,1? 上的减函数, 且 值范围

f 3a 2 ? 2a ? 1 ,求 a

?

?

f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 求实数 m 的取

5、已知 f (x)是 R 上的奇函数,且在(0,+ ? )上单调递减,则 f (x) 在(- ? ,0)上的单调性, 并证明你的结论

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