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浙江省绍兴一中2015届高三上学期段考数学试卷(文科)(Word版含解析)


浙江省绍兴一中 2015 届高三上学期段考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=() A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} 2. (3 分)

已知 a,b∈R,条件 p:“a>b”,条件 q:“2 >2 ﹣1”,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (3 分)已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是()
a b

A.

B.

C.

D.

4. (3 分)设 l,m,n 表示三条不同的直线,α,β 表示两个不同的平面,则下列说法正确 的是() A.若 l∥m,m?α,则 l∥α B. 若 l⊥m,l⊥n,m,n?α,则 l⊥α C. 若 l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m D.若 l?α,m?β,l⊥m,则 α⊥β 5. (3 分)已知函数 f(x)=sinωx﹣ 等于 cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离 个单位得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g

,若将函数 y=f(x)的图象向左平移

(x)是减函数的区间为() A. B. C. D.

6. (3 分)若函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函 数,则函数 g(x)=loga(x+k)的图象是()

x

﹣x

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A.

B.

C.

D.

7. (3 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6>S7>S5,则满足 Sn?Sn+1<0 的正整数 n 的值为() A.10 B.11 C.12 D.13

8. (3 分)已知 O 为原点,双曲线

﹣y =1 上有一点 P,过 P 作两条渐近线的平行线,交

2

点分别为 A,B,平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

9. (3 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,过顶点 A1 作平面 α,使得直线 AC 和 BC1 与平 面 α 所成的角都为 30°,这样的平面 α 可以有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个

10. (3 分)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为 () A. B. C. 1 D.2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f(ln3)=.

12. (3 分)已知

,则

=.

13. (3 分)若实数 x,y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为.

14. (3 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网 销售电价表如图: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
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高峰月用电量 (单位:千瓦时) 高峰电价(单位:元/千瓦时) 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 低谷电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下 的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按 这种计费方式该家庭本月应付的电费为元(用数字作答) 15. (3 分)在△ ABC 中,B(10,0) ,直线 BC 与圆 Γ:x +(y﹣5) =25 相切,切点为线 段 BC 的中点.若△ ABC 的重心恰好为圆 Γ 的圆心,则点 A 的坐标为.
2 2

16. (3 分)已知 f(x)=

,若在区间(﹣1,1]内,g(x)=f

(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是. 17. (3 分)若正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是.
2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (8 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c.已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ ABC 的面积等于 ,试判断△ ABC 的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 19. (8 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△ A1DE (1)设 M 为线段 A1C 的中点,求证:BM∥平面 A1DE; (2)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 A1CE 所成角的正弦值. .

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20. (11 分) 等差数列 200 的各项均为正数, 100, 前 148.4 项和为 Sn, {bn}为等比数列, b1=2, 且 b2S2=32,b3S3=120. (1)求 an 与 bn; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; (3)若 + +…+ ≤x +ax+1 对任意正整数 n 和任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

21. (11 分)如图,已知直线 l 与抛物线 x =4y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,定 点 B 的坐标为(2,0) . (I)若动点 M 满足 ,求点 M 的轨迹 C;

2

(Ⅱ)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△ OBE 与△ OBF 面积之比的取值范围.

22. (11 分)已知函数 f(x)=ax﹣3,g(x)=bx +cx (a,b∈R)且 g(﹣ )﹣g(1) =f(0) . (1)试求 b,c 所满足的关系式; (2)若 b=0,试讨论方程 f(x)+x|x﹣a|g(x)=0 零点的情况.

﹣1

﹣2

浙江省绍兴一中 2015 届高三上学期段考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=() A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,先用列举法表示集合 A,进而由补集的性质,可得 B=?A(?AB) ,计算 可得答案. 解答: 解:根据题意,集合 A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}, 若 CAB={1,3,5},则 B=?A(?AB)={0,2,4}, 故选 B.
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点评: 本题考查补集的定义与运算,关键是理解补集的定义. 2. (3 分)已知 a,b∈R,条件 p:“a>b”,条件 q:“2 >2 ﹣1”,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. x 分析: :由条件 p:“a>b”,再根据函数 y=2 是增函数,可得故条件 q 成立.但由条件 q: a b “2 >2 ﹣1”成立,不能推出条件 p:“a>b”成立,从而得出结论. x a b a b 解答: 解:由条件 p:“a>b”,再根据函数 y=2 是增函数,可得 2 >b ,∴2 >b ﹣1, a b 故条件 q:“2 >2 ﹣1”成立,故充分性成立. a b 0 0 但由条件 q:“2 >2 ﹣1”成立,不能推出条件 p:“a>b”成立,例如由 2 >2 ﹣1 成立,不 能推出 0>0,故必要性不成立. 故 p 是 q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,函数 y=2 的单调性,通过 举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题. 3. (3 分)已知某四棱锥的三视图(单位: cm)如图所示,则该四棱锥的体积是()
x a b

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图我们要以判断出几何体为一个四棱锥, 且由图中标识的数据, 可 以判断出几何体的棱长,高等几何量值,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥 底面面积 S=4×(1+1)=8 高 h= 故该四棱锥的体积 V= Sh=

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故选 C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知条件判断出几何体的几何形状 及棱长,高等几何量值,是解答的关键. 4. (3 分)设 l,m,n 表示三条不同的直线,α,β 表示两个不同的平面,则下列说法正确 的是() A.若 l∥m,m?α,则 l∥α B. 若 l⊥m,l⊥n,m,n?α,则 l⊥α C. 若 l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m D.若 l?α,m?β,l⊥m,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 l∥m,m?α,则 l∥α 或 l?α,故 A 错误; 若 l⊥m,l⊥n,m,n?α,则只有当 m,n 相交时,才有 l⊥α,故 B 错误; 若 l∥α,l∥β,α∩β=m,则由直线与平面平行的性质得 l∥m,故 C 正确; 若 l?α,m?β,l⊥m,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 5. (3 分)已知函数 f(x)=sinωx﹣ 等于 cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离 个单位得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g

,若将函数 y=f(x)的图象向左平移

(x)是减函数的区间为() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: 由已知可求出函数 f(x)的解析式,进而根据函数图象的平移变换法则得到函数 y=g(x)的解析式,根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后,比照四个答案即可得到 结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=sinωx﹣ 又∵函数 f(x)=sinωx﹣ 故函数的最小正周期 T=π, 又∵ω>0 ∴ω=2 故 f(x)=2sin(2x﹣ ) 个单位可得 y=g(x)=2sin=2sin2x 的图象 cosωx=2sin(ωx﹣ ) =

cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

将函数 y=f(x)的图象向左平移

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+2kπ≤2x≤

+2kπ,即

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z

故函数 y=g(x)的减区间为,k∈Z 当 k=0 时,区间为函数的一个单调递减区间 又∵ ?

故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,两角和与差的正弦函数, 正弦函数的单调性,熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键. 6. (3 分)若函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函 数,则函数 g(x)=loga(x+k)的图象是()
x
﹣x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函 数,则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数的图象. 解答: 解:∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1) (a ﹣a )=0 则 k=1 又∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 C 点评: 若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶 函数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质, 在公共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键. 7. (3 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6>S7>S5,则满足 Sn?Sn+1<0 的正整数 n 的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

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分析: 由 S6>S7>S5,利用等差数列的前 n 项和公式可得 a7<0,a6+a7>0.进而得到 , <0 的正整数 n 的值为 12. 解答: 解:∵S6>S7>S5,∴ ∴a7<0, a6+a7>0. ∴ , =6(a6+a7)>0. , =6 (a6+a7) >0. 据此满足 Sn?Sn+1

∴满足 Sn?Sn+1<0 的正整数 n 的值为 12. 故选 C. 点评: 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式和基本性质是解题的关键.

8. (3 分)已知 O 为原点,双曲线

﹣y =1 上有一点 P,过 P 作两条渐近线的平行线,交

2

点分别为 A,B,平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出|OA|,P 点到 OA 的距离,利用平行四边形 OBPA 的面积为 1, 求出 a,可得 c, 即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:渐近线方程是:x±ay=0,设 P(m,n)是双曲线上任一点, 过 P 平行于 OB: x+ay=0 的方程是: x+ay﹣m﹣an=0 与 OA 方程: x﹣ay=0 交点是 A ( ) , ,

|OA|=|

|

,P 点到 OA 的距离是:d=

∵|OA|?d=1, ∴| | ? =1,

∵ ∴a=2,∴c= ∴e= .

, ,

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故选:C. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 9. (3 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,过顶点 A1 作平面 α,使得直线 AC 和 BC1 与平 面 α 所成的角都为 30°,这样的平面 α 可以有() A.4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 利用线面角的定义,即可得出结论. 解答: 解:因为 AD1∥BC1,所以过 A1 在空间作平面,使平面与直线 AC 和 BC1 所成的 角都等于 30°,即过点 A 在空间作平面,使平面与直线 AC 和 AD1 所成的角都等于 30°. 因为∠CAD1=60°,所以∠CAD1 的外角平分线与 AC 和 AD1 所成的角相等,均为 60°,所以 在平面 CAD1 内有一条满足要求; 因为∠CAD1 的角平分线与 AC 和 AD1 所成的角相等,均为 30°, 过角平分线与平面 ACD1 垂直的平面,满足要求; 故符合条件的平面有 2 个. 故选:C.

点评: 本题考查直线与平面所成角的问题, 考查空间想象能力和转化能力. 在解决本题的 过程中,转化思想很重要.

10. (3 分)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为 () A. B. C. 1 D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 =(x1,y1) , =(x2,y2) .不妨取 =(1,0) .由于平面向量 , , ? =1, ? =2,可得 =(1,y1) , =(2,y2) .由于| ﹣ |=2,可得 =3.只考虑

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y1y2<0.不妨取 y2>0,y1<0.利用基数量积运算、本不等式可得 ? =2+y1y2=2﹣(﹣y1) y2 即可得出.

解答: 解:设 =(x1,y1) , =(x2,y2) . ∵ 满足| |=1,∴不妨取 =(1,0) . ∵平面向量 , , ? =1, ? =2, ∴x1=1,x2=2. ∴ =(1,y1) , =(2,y2) . ∵| ﹣ |=2,∴ =2,化为 =3.

只考虑 y1y2<0.不妨取 y2>0,y1<0. ∴ ? =2+y1y2=2﹣(﹣y1)y2 ∴ ? 的最小值为 . 故选:B. 点评: 本题考查了向量的数量积运算、 基本不等式的性质, 考查了分析问题与解决问题的 能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. (3 分)已知函数 f(x)= ,则 f(ln3)=e. = ,当且仅当﹣y1=y2= 时取等号.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论. 解答: 解:∵1<ln3<2, ∴2<ln3+1<3, 由分段函数的表达式可知,f(ln3)=f(1+ln3)=f(ln3e)= ,

故答案为:e. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用分段函数的表达式直接代入即可,比较基础.

12. (3 分)已知

,则

=



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考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和差的正弦、余弦公式求得 sin( 得 解答: 解:∵已知 ∴ ∴sin( ∴ 故答案为﹣ . 点评: 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、以及诱导公式的应用,属于中档题. +α)= . =﹣sin( +α)=﹣ , +sinα= ,即 ( =﹣sin( +α)的值. , )= , +α)= .再利用诱导公式求

13. (3 分)若实数 x,y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 .

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出 直线 z=2x+y 过可行域内的点 A 时,从而得到 b 值即可. 解答: 解:由约束条件作出可行域(如图) , 当平行直线系 y=﹣2x+z 经过可行域内的点 A( , z 取得最小值,即 2× + 故答案为: . =3,解之得 b= . )时,

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解.

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14. (3 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网 销售电价表如图: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 高峰电价(单位:元/千瓦时) 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 低谷电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下 的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按 这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4 元(用数字作答) 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先计算出高峰时间段用电的电费, 和低谷时间段用电的电费, 然后把这两个电费相 加. 解答: 解:高峰时间段用电的电费为 50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 (元) , 低谷时间段用电的电费为 50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3 (元) , 本月的总电费为 118.1+30.3=148.4 (元) , 故答案为:148.4. 点评: 本题考查分段函数的函数值的求法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 15. (3 分)在△ ABC 中,B(10,0) ,直线 BC 与圆 Γ:x +(y﹣5) =25 相切,切点为线 段 BC 的中点.若△ ABC 的重心恰好为圆 Γ 的圆心,则点 A 的坐标为(0,15)或(﹣8, ﹣1) . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设 BC 的中点为 D,设点 A 和 C 的坐标,根据圆心 Γ(0,5)到直线 AB 的距离等 于半径 5 求出 AB 的斜率 k 的值.再由斜率公式 以及 ΓD⊥BC,求出 C 的坐标,再利用三角形的重心公式求得 A 的坐标. 解答: 解:设 BC 的中点为 D,设点 A(x1,y1 ) 、C(x2,y2) ,则由题意可得 ΓD⊥BC, 且 D( , ) .
2 2

故有圆心 Γ(0,5)到直线 AB 的距离 ΓD=r=5.

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设 BC 的方程为 y﹣0=k(x﹣10) ,即 kx﹣y﹣10k=0.则有

=5,解得 k=0

或 k=﹣ .

当 k=0 时,有

,当 k=﹣ 时,有



解得

,或



再由三角形的重心公式可得

,由此求得





故点 A 的坐标为 (0,15)或(﹣8,﹣1) , 故答案为 (0,15)或(﹣8,﹣1) . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式、斜率公式、三角 形的重心公式,属于中档题.

16. (3 分)已知 f(x)=

,若在区间(﹣1,1]内,g(x)=f

(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是(0, ].

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;数形结合;函数的性质及应用. 分析: 令 g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即有 f(x)=mx+m,在同一坐标系内画出 y=f(x) , y=mx+m 的图象,转化为图象有两个不同的交点的条件. 解答: 解:在同一坐标系内画出 y=f(x) ,y=mx+m 的图象.

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动直线 y=mx+m 过定点(﹣1,0) ,当再过(1,1)时,斜率 m= , 由图象可知当 0<m 时,两图象有两个不同的交点,

从而 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个不同的零点. 故答案为: (0, ]. 点评: 本题考查函数零点的意义及个数求解. 函数与方程的思想. 利用函数的图象可以加 强直观性,本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数,再利用函数图象解决. 17. (3 分)若正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪ 分析: (1)设出等差数列的公差和等比数列的公比,求得等差数列和等比数列的通项公 式,代入 b2S2=32,b3S3=120 联立方程组求得等差数列的公差和等比数列的公比,则 an 与 bn 可求; (2)把 an 与 bn 代入 anbn,利用错位相减法求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; (3)求出等差数列的前 n 项和,代入 + +…+ +
2 2

+…+

,利用裂项相消法求和后得到
2

< ,问题等价于 f(x)=x +ax+1 的最小值大于或等于 ,由 f(x)=x +ax+1

的最小值大于或等于 求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,则 d 为正整数, ,

依题意有



解得:





故 (2) .



, , 两式相减得 =(1﹣2n)?2 ∴
n+1

﹣2, ;
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(3)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2) , ∴ = = 问题等价于 f(x)=x +ax+1 的最小值大于或等于 , 即 ,即 a ≤1,解得﹣1≤a≤1.
2 2

+

+…+

=



点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式, 考查了错位相减法与裂项相消法求数 列的和,训练了放缩法证明数列不等式,体现了数学转化思想方法,是压轴题. 21. (11 分)如图,已知直线 l 与抛物线 x =4y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,定 点 B 的坐标为(2,0) . (I)若动点 M 满足 ,求点 M 的轨迹 C;
2

(Ⅱ)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△ OBE 与△ OBF 面积之比的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (I)对抛物线方程进行求导,求得直线 l 的斜率,设出 M 的坐标,利用 求得 x 和 y 的关系. (II)设 l'方程代入椭圆的方程,消去 y,利用判别式大于 0 求得 k 的范围,设出 E,F 的坐 标,利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,令 ,则可推断出 ,进而表示

出(x1﹣2)?(x2﹣2)和(x1﹣2)+(x2﹣2) ,最后求得 k 和 λ 的关系,利用 k 的范围求得 λ 的范围. 解答: 解: (I)由 x =4y 得 ∴ .
2



∴直线 l 的斜率为 y'|x=2=1, 故 l 的方程为 y=x﹣1,∴点 A 的坐标为(1,0) .
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设 M(x,y) ,则 由 整理,得

=(1,0) , 得 .

, ,



∴动点 M 的轨迹 C 为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 (II)如图,由题意知 l'的斜率存在且不为零, 设 l'方程为 y=k(x﹣2) (k≠0)=1①, 将 ①代入
2 2 2

,短轴长为 2 的椭圆.

,整理,得
2

(2k +1)x ﹣8k ?x+(8k ﹣2)=0,由△ >0 得



设 E(x1,y1) 、F(x2,y2) ,则

,②



,则,

由此可得



,且 0<λ<1.

由 ②知















,∴



解得 . 又∵0<λ<1,∴ , ∴△OBE 与△ OBF 面积之比的取值范围是(

,1) .

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点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 考查了学生基本的推理能力和基本的 运算能力. 22. (11 分)已知函数 f(x)=ax﹣3,g(x)=bx +cx (a,b∈R)且 g(﹣ )﹣g(1) =f(0) . (1)试求 b,c 所满足的关系式; (2)若 b=0,试讨论方程 f(x)+x|x﹣a|g(x)=0 零点的情况. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件建立方程关系即可求 b,c 所满足的关系式; (2)若 b=0,将方程 f(x)+x|x﹣a|g(x)=0 进行转化,即可判断函数零点的情况. 解答: 解: (1)由 g(﹣ )﹣g(1)=f(0) ,得(﹣2b+4c)﹣(b+c)=﹣3, ∴b、c 所满足的关系式为 b﹣c﹣1=0. 2 (2)原方程等价于 ax ﹣3x=|x﹣a|根据图象可得: 当 a=0 时,﹣3x=|x|,x=0 一个零点, 当 a>0 时,两个零点, 当﹣2<a<0 时,两个零点, 当 a=﹣2 时,一个零点, 当 a<﹣2 时,无零点.
﹣1 ﹣2

点评: 本题主要考查函数解析式的求解, 以及函数零点个数的判断, 根据方程和函数之间 的关系进行转化,利用数形结合以及分类讨论的数学思想是解决本题的关键.

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