nbhkdz.com冰点文库

等比数列(引入:传销案例)






等差数列

等比数列

定 义


习 回 顾
数学式 子表示

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个常数,那么这个数

差数列.这个常数叫做 列叫做等比数列.这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示。 表示。

an+1-an=d
an = a1 +(n-1)d

a n?1 ?q an

通项公式
一般式:

an ? a1q
? am q

n ?1

an = am +(n-m)d (a n

n?m

)

等比数列的单调情况:
?a1 ? 0 ? a1 ? 0 或? ? {an }递增; ? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1
? a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an }递减; ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1

q=1,常数列; q<0,摆动数列;
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

等比数列的前n项和 (一)

学习目标
?1 ?2

.掌握等比数列的前n项和公式, .掌握前n项和公式的推导方法. 对前n项和公式能进行简单应用.

?3.

重点
?重点

难点

: 等比数列前n项和公式的推 导与应用. ?难点 : 前n项和公式的推导思路的 寻找.

传销人员正在授课

受骗后痛不欲生

退出传销者遭毒打

公安机关坚决取缔传销

传销是社会毒瘤, 是经济邪教, 应坚决取缔。

引入
? 某人于元月经引诱受骗参与传销活

动,二月发展2人作为其下线。一个 月后,每个下线各发展2人作其下线, 依此继续。问:年底共有多少人受 骗?

让我们来分析一下: 由于每个人各发展2人作为其下线, 各个月受骗人数依次为

1,2,22,23,……211
于是总受骗人数就是
2+23+……+211 1+2+2

探究新知
1、求受骗总人数

公比q=2

{

S12 =1+ 2 + · +2 +2 · · 2 +23 + · +210+211+ 212 2S12 = 2 +2 · · +22 +23
(2)

10

11

(1)
(2)

2、类比归纳 求等比数列{an}的前n项和

- ( 1)得 s12 ? 2 ? 1
12
n

错位相减法
(1)

? a2 ? a3 ? ?? an ? an q (2) ?1 ? q?Sn ? a1 ? anq ? a1 ?1 ? q n ? ( 1 ) -(2)得:

{ qS

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? a1q ? a2 q ? a3q ? ?? an q
a1 ? an q a1 ? ? q n ? 1 ? 1? q 1? q

? Sn ? {

(q≠1)

na1

(q=1)

an=a1qn-1

等比数列前n项和公式的其他推导方法
(一) 用等比定理推导 an a 2 a 3 a4 ? ? ? ??? ? ?q 因为 a1 a2 a3 an?1 a 2 ? a 3 ? a4 ? ? ? ? ? a n ?q 所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 S n ? a1 ?q S n ? an

a1 ? a n q a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 或 Sn ? 1? q 1? q
n

当 q = 1 时 Sn = n a 1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1

= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n

(q ? 1)

剖析公式

Sn ?

a1 ? an q a1 ? ? q 1 ? 1? q 1? q
(*)

n

?

( ** ) (q≠1)

公式特点: (一)、当q=1时 / 1、已知a1,q,an用公式 (*) 2、已知a1,q,n用公式( ** )

总之,知道a1,n,q,an,sn中任意三个 可求其余的两个
(二)、当q=1时 Sn=na1 (q=1)

根据下列各题中的条件,求相应的等比 例1:
数列{an}的sn
1 ()a1 ? ?4, q ? , 求S10 ; 1 2

( 2).a1 ? 1, ak ? 243, q ? 3, 求Sk (3).若a1=2 ,s3=26,求 q与a3 1 10 ? 4[1 ? ( ) ] 1028 2 1 ?? 解: ()s10 ? 1 128 1?( ) 2

1 ? 243? 3 ( 2) sk ? ? 364 1? 3
2 1 ? q3 ( ) 由S 3 ? 3 ? 26 1? q

练习P54

1、2

?

?

解得q=3,a3=18或q=-4,a3=32

练习
1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn?
解:设公比为q,则 a5 ? a2 ? q
3
5?2

? 243

?q ? 27 ? q ? 3 a2 9 ? a1 ? ? ?3 q 3 3? ? 34 ? 1 ? s4 ? ? 120 1? 3

an ? a m ? q

n ?m

3 1 ? 3n 3 n 3 ? sn ? ? ?3 ? 1? 3 2 2

?

?

例2:求和:

1 1 1 Sn= (1 ? ) ? ( 2 ? ) ? ? ? (n ? n ) 2 4 2
分析:上面各括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项 分别组成等差与比数列。分别求这两个数列的和,就能得到所求式子的和。

解:

Sn ? (1 ? ) ? ( 2 ? ) ? ? ? (n ?
( ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ? ( 1 2

1 2

1 4

1 ) n 2
1 1 ? ? ? n) 4 2

1 1 (1 ? n ) n( 1 ? n ) 2 ? ? 2 1 2 1? 2

n(1 ? n ) 1 ? ?1? n 2 2

变式一引申:

1 1 1 ( x ? 0, x ? 1, y ? 1) 2 n Sn= ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y
分析:上面各括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项 分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和。

解:

∵ x ? 0, x ? 1, y ? 1 1 1 1 2 n Sn = ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n )
y y y

=(x+x2+…+xn)+(

1 1 1 ? 2 ??? n ) y y y 1 1 (1 ? ) n n x(1 ? x ) y y ? = 1 1? x 1? y

x ? x n? 1 yn ? 1 = ? n? 1 1? x y ? yn

1 1 1 ( x ? 0, x ? 1, y ? 1) 2 n Sn= ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y x ? x n? 1 yn ? 1 ? n? 1 = 1? x y ? yn
引申:(1)当把x≠1这个条件去掉时,上式该如何求和呢? 分析:应该分x=1和x≠1两种情况讨论 (2)当把x≠1,y≠1这两个条件去掉时,上式又该如何求和呢? ① x =1,y=1 ②x =1,y ≠ 1 ③x ≠ 1,y=1 ④x ≠ 1,y ≠ 1 这四种情况讨论

分析:应该分

四、小结: 1、两个公式:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) 或 S n ? ? 1 ? q (2) ?na (q ? 1) ? 1

2、两种方法:
错位相减法、分组求和法

3、两种思想:
分类讨论的思想(q=1和q≠1)
方程思想(知三求二)

五、 作业:P

58

1、 2

反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如 ?xn ? yn ? 的数列的和,其中 ?xn ? 为 等差数列, ?yn ? 为等比数列.

例题:
1 2 3 4 n S ??? n . 求和: n ? ? ? ? 2 4 8 16 2
n 1 设 an ? n ? n ? n 2 2
1 为等比数列,公比为 2

?1? ,其中?n?为等差数列, n ? ? ?2 ?

,利用错位相减法求和.

1 1 1 1 1 S 解: n ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n , 2 2 2 2 2
1 两端同乘以 ,得 2
1 1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 n 两式相减得 S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2

于是 S n ? 2 ?

1 2 n ?1

n ? n . 2

说明:错位相减法实际上是把一个数列求和 问题转化为等比数列求和的问题.


重大传销案例

等比数列(引入:传销案例... 23页 免费 喜欢此文档的还喜欢 传销案例 13页 1...经查,非法传销组织谎称“北部湾经济区开发建设、北海市政府和有关部门领导支持...

情境引入

“函数”的导入过程,引入入胜. 案例 2 等比数列的前 n 项和公式的情境引入 一位教师在讲授《等比数列的前 n 项和公式》时,对学生说:同学们,我愿意在 一个...

等比数列教案

教学难点:等比数列概念深化:体现它是一种特殊函数,等比数列的 判定、证明及初步应用。 教学过程 (一)等比数列的概念 1、创设情境,引入概念 引例 1:国际象棋起...

数列引入 ,预习课

? ? (A)等差数列 (B)等比数列 (C)递增数列 ? 则数列为 ( ?, ) (D)...职场生存攻略 思维导图经典案例 Excel键盘快捷键 Photoshop的抠图技巧分析文档...

等比数列说课稿

3、讲授新课 1) 通过引入时学生自行归纳总结的等比数列定义,教师进行总结,给出等比 数列的正确定义,并对定义进行更深层次的挖掘和解释。 设计意图:帮助学生理解...

等比数列教学设计(第一课时)

三、教学难点: 等比数列通项公式的推导过程. 四、教学过程: 1.复习引入 等差数列的概念:一般地,如果一个数列,从第二项起,每一项与它的前一项的 差都等于同...

等比数列说课稿 方耿顺

3.2 新课教学 3.2.1 等比数列概念的教学 具体分为四个环节 ㈠创设情境,引入概念 创设情境, 引例 1:细胞分裂问题 假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两...

《等比数列》说课稿

7 【第三课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 环节 1、等比数列的定义及通项公式; 复习 2、等比数列的前 n 项和公式; 引入 师生活动 设计意图 小组间...

等比数列教案(中职)

等比数列教案(中职)_其它课程_初中教育_教育专区。等比...教学过程: 1、 复习导入: (1) 等差数列的定义:...思维导图经典案例 Excel键盘快捷键 Photoshop的抠图技巧...

关于等比数列的评课

关于等比数列的评课今天下午我们在 42 中听了龙浩的一节等比数列的课,龙浩老师 先花了相当时间检查学生的预习情况,引入很形象生动,讲课过程严 密,是一堂成功的...