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高二理科数学下学期第一次月考试题

时间:2011-08-25


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高二理科数学下学期第一次月考试题 (一)
1. z ? 选择题: (选择唯一正确答案,4’×10=40 ’ )

区间递增 6. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直 线;已知直线 b 线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A. 推理形式错误 B. 大前提错误 C. 小前提错误 非以上错误

? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直 ?
D.

1 1? i

, 则z

?(
B.

)

1
A.

2

?

1 2

i

1 1 ? i 2 2
) B.

C. 1 ? i

D. 1 ? i

2. 化简

3?i 1? i

?(

7. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○● ○○○○○●?若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈, 那么在前 100 个圈中的●的个数是 ( ) C.

A.1-2i 3.

1+2i

2+i

D.

2-i


A.12

B. 13

C.14

D.15

0<a<1,0<b<1,a≠b,下列各数中最大的是(
A. a ? b
2 2

B.

2 ab

C. 2ab ) C.

D.

a?b
图1 图2 图3 图4

4.下列函数中,在( 0,+∞ )上为增函数的是( A.

y=sin2x

B.

y=x3 -x

y=xex

D.

y=
8. 曲线 3x -y+6=0 在 x= ?
2

ln(1+x)-x
5. 设函数 f ( x ) ? ?

1 6

处的切线的倾斜角是( C.
? 4

)

2x 1 ? x2

, 则 f ( x)

(

) B. 在(-∞,+∞)上单调递减 D. 在(-1, 1 )上递减, 其余
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A.

?

3 4

?

B. ?

?
4

D.

3 4

?

A. 在(-∞,+∞)上单调递增 C. 在(-1, 1 )上递增, 其余区间递减
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9. x∈R , 则



f ( x) ?
B.
+

x2 ? 3x ? 2 x?1
的最小值是( ).

14.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠 宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是 由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成

A.

6 ?1
为( A.

5?2

C.

2 6?5

D.
2

2 5?4
2

如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正 六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有 _______颗珠宝; 则第

10. 已知 a、b∈R ,且 2a+b=1,则 S= 2 ab ? 4a ? b 的最大值 )

n

件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ___________________

2 ?1 2

B.

2 ?1

C.

2 ?1

D.

2 ?1 2

颗. (结果用 n 表示) 三. 解答题: (共 5 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 15. (10 分)已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a ,
3 2

二. 填空题: (4’×4=16 ’ ) 11. 求值

?

2

1 x2

1

dx ? ____________.

12. 在数列 a n 中, 项公式为_____.

? ?

a 1 ? 1, a n ? 1 ?

3a n 3 ? an

, n ? N * 猜想数列的通

?

?

(I) 求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最 小值.

13. 凸 n 边形的对角线条数 f( n )= 纳法证明时,

1 2

n( n ? 3 ) ,(n≥3,n∈N*)用数学归

当 n=k 时, k 边形到 k+1 边形增加了________条对角线.
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16. (8 分)求函数 y ?

1 x与 y ? x ? x 2 围成封闭图形的面积. 3

面积最小?

17. (1) 已知 z ? ? (4 分)

2 1? 3i

, 求 1 ? z ? z 2 ? ? ? ? ? z 2009 的值;

19. (10 分)已知数列 ?a n ? , (2) 已知 根.(4 分)

a1 ? 2, a n?1 ?

n?2 an , n ? N * . n

?

?

z=1+i

是方程 x -x +2=0 的一个根, 求其余的

3

2

(1) 求 a 2 , a 3 ,

a 4 , 猜测通项公式;

(2) 用数学归纳法证明你的结论.

18. ( 8 分)请你设计一矩形海报, 要求版心面积为 162dm , 上、下两边各 空 2dm,左、右两边各空 1dm. 如何设计海报的尺寸, 才能使四周空白
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参考答案: 1—5 BADCD 11.
1 2

6—10 BADCA 13. k-1 ; 14. 66,

16. 解:由 x ?1 ? x ? ?
2 3

;

12.

an ?

3 ; n?2

1 x , 得: 3
2 3

x ? 0, x ?

2 , 3

2n 2 ? n .
15. 解: (I) f ?( x ) =-3x2+6x+9.?????????1 分 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x<-1 或 x>3,????????3 分 所以函数 f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1)(3,+∞) ???? , . 5分 (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2). ???????? 7分 因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. ???8 分 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.?????????? 10 分 17.

则 ? ? x ? x ?dx ? ?
2 0

0

1 xdx 3
2

1 ? 4 ?1 ? 1 ?3 ? ? x2 ? x3 ? ? ? x2 ? ? 3 ? 0 ? 6 ? 0 81 ?2
3

2

故所求围成封闭图形的面积为

4 81

.

解(1) z ? ?

2 1? 3i

??

1 3 ? i, 2 2

1? z ? z ? ??? ? z
2

2009

1 ? z 2010 1 ? z 3?670 1 ? 1 ? ? ? ?0 1? z 1? z 1? z

(2)

∵ ∴

z=1+i 是实系数方程 x3-x2+2=0 的一个根, z=1-i 也是方程的根.设第三个根为 a,


? x ? ?1 ? i ?? ? ? x ? ?1 ? i ??? x ? a ? ? 0 ? x 2 ? 2 x ? 2 ?? x ? a ? ? 0 即
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,
4

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x 3 ? ?a ? 2 ? x 2 ? 2?a ? 1? x ? 2a ? 0 ,
∴ a=-1 , 故所求方程的其余两个根分别为 18. 积为

②假设 n=k 时,(k∈N*) 有 ak=k(k+1). n = k + 1 时 ,

1-i ;

-1 .

a k ?1 ?

解:设版心的高为 xdm, 则版心的宽为

162 dm , 此时四周空白面 x

k?2 k?2 ak ? ? k ( k ? 1) ? ?k ? 1???k ? 1? ? 1?, k k

即 n=k+1 时, 通项公式也成立. 由①②可知, 对任意的 n∈N*, 恒有 a n ? n( n ? 1) 成立.

? 162 ? S ( x ) ? ( x ? 4 )? ? 2 ? ? 162 ? x ?

? 2x ?
方法① 求导;

648 ?8 x

方法②基本不等式 解得: 当 x=18dm, S(x)有最小值.

故当版心高为 18dm, 宽为 9dm 时, 海报四周空白面积最小. 19. 解: a2 =6; n∈N*. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1=2, 显然成立;
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a3 =12;

a4 =20. 猜测通项公式 a n ? n( n ? 1) ,


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