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2012年高考数学理(广东)试题及答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答

案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂 的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:主体的体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。 锥体的体积公式为 V ?
1 3 sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。

一 、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 ? 5i
5 ? 6i i

= C. ? 6 ? 5i D. ? 6 ? 5i

B. 6 ? 5i

2.设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 C U M ? A.U B.{1,3,5}
??? ?

C.{3,5,6} D.{2,4,6}
??? ? ????

3.若向量 B A =(2,3) C A =(4,7) , ,则 B C = A. (-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10)

4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. y ? ln ( x ? 2 ) B. y ? ? x ? 1 C.y= ?
?1? ? ?2?
x

D. y ? x ?

1 x

惠来一中

方文湃

1

?y ? 2 ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?

A.12

B.11

C.3

D. ? 1

6.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A.12π B.45π C.57π D.81π

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为 0 的概率是 A.
4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.
??

1 9
?? ?? ?? ??

8.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? ?? ?? .若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹 ? ?? 角 ? ? (0,
1 2

??

? ??

? ?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ?n ? ) ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? n ? Z ? 中,则 a ? b = 4 ?2 ?

A.

B.1

C.

3 2

D.

5 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ? 2 ? x ? 1 的解集为_____。 10. ( x ?
2

1 x

) 的展开式中 x 的系数为______。 (用数字作答)
2

6

3

11.已知递增的等差数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 , a 3 ? a 2 ? 4 , 则 a n ? ____。 12.曲线 y ? x ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为
3



13.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值 为 。

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? ?
?x ? ?y ? ? 2 cos ? 2 sin ?
?x ? t ?y ? ? t ( t为 参 数 )

和? ?

( ? 为 参 数 ) ,则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为_______。

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足
惠来一中 方文湃 2

∠ABC=30°, 过 点 A 做 圆 O 的 切 线 与 OC 的 延 长 线 交 于 点 P , 则 PA=_____________ 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 c os( ? x ? (1)求 ? 的值;
? ? (2)设 ? , ? ? ? 0, ? 2 5 6 5 16 ? , f (5? ? ? ) ? ? , f (5 ? ? ? ) ? ,求 c os( ? ? ? ) 的值。 ? 3 5 6 17 ?

?
6

)( 其 中 ? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为 10?

17. (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区 间是:

? 4 0, 5 0 ? , ? 5 0, 6 0 ? , ? 6 0, 7 0 ? , ? 7 0, 8 0 ? , ? 8 0, 9 0 ? , ? 9 0,1 0 0 ?
(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望。 18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE。 (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值. 19. (本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 Sn, 满足 2 S n ? a n ? 1 ? 2
n ?1

? 1, n ? N , 且 a 1 , a 2 ? 5, a 3 成等差数列。

?

(1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ? a n ? 的通项公式。

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方文湃

3

(3) 证明:对一切正整数 n,有 20.(本小题满分 14 分)

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

3 2

.

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: (0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e ?

2 3

,且椭圆 C 上的点到 Q

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 21.(本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 A ? ? x ? R x ? 0 ? , B ? ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0 ? , D ? A ? B
2

(1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内的极值点。
3 2

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方文湃

4

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(理科)参考答案
一 、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的

1 D
1.解析:
5 - 6i i

2 C

3 A
选D

4 A

5 B

6 C

7 D

8 C

= - i (5 - 6 i ) = - 6 - 5 i

2.解析:∵集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 }
????
??? ? ???? ??? ? ??? ?

∴ C U M ? {3,5,6} 选 C 选A

3.解析: B C = B A + A C = B A - C A = (2 - 4, 3 - 7 ) = (- 2, - 4)

4.解析:函数 y ? ln ( x ? 2 ) 在区间(-2,+∞)上为增函数;函数 y ? ? x ? 1 在区间(-1,+∞)上为减函
1 ?1? 数;函数 y= ? ? 在区间(-∞,+∞)上为减函数;函数 y ? x ? 在区间(0,1)上为减函数,在区间(1, x ?2?
x

+∞)上为增函数. 选 A
?y ? 2 ? 5.解析:1°作出变量 x,y 约束条件 ? x ? y ? 1 的可行域(如图所示) ; ?x ? y ? 1 ?

2°解 ?

?y ? 2 ?x ? y ? 1

得最优解(3,2)

3°当 ?

?x ? 3 ?y ? 2

时,目标函数 z=3x+y 的最大值为 z m ax = 1 1 .选 B

6.解析:几何体的直观图如图所示,由一个圆柱和 同底的圆锥构成。 圆锥的高 P O1 =
5 - 3 = 4
2 2

几何体的体积 V = V圆 柱 + V圆 锥 = 9 p ? 5

1 3

创9 p

4 = 57p

7.解析:由题意知,个位数与十位数应该一奇一偶. ①个位数为奇数,十位数为偶数共有 5×5=25 个两位数; ②个位数为偶数,十位数为奇数共有 5×4=20 个两位数; 两类共有 25+20=45 个数,其中个位数为 0,十位数为奇 数的有 10,30,50,70,90 共 5 个数。
惠来一中 方文湃 5

∴位数为 0 的概率是

5

=

1

选D
?? ? ?? ? ? ? |a| ? ? n1 n |b | ? b ? a ? ? ? co s ? ? 2 , ∴ a ? b = ? ? co s ? ? 2 2 |b | |a|

45 9 ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? |? | 8.解析:∵ ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? co s ? ? ?? |? |

∴ co s q =

2

n1 n 2 4

∵ ? ? (0,

?
4

)



1 2

< co s q =

2

n1 n 2 4

< 1, 即 2 < n1 n 2 < 4

∴ n1 n 2 = 3 ,∵ n1 ? n 2 ,∴ n1 = 3,

?? ? ? ? |a| n 3 a ? b = ? ? co s ? ? 1 ? 2 2 |b |

选C

二、填空题:本大题共 7 小题,考生答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9. { x | x ?
1 2 } ;10.

20 ;11. a n ?

2n-1___;12.

2x-y+1=0

;13.

8 ;

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(1,1) ;15. PA= 3

9.解析:[图象法]:折点——参考点——连线;运用相似三角形性质。 [分类讨论] 由不等式 x ? 2 ? x ? 1 得
祆 ? x 2 - 2< x 0 x>0 镲 镲 或 或 眄 镲 2? 1 2 x 2 #1 2 1 镲 铑

解得 x ?

1 2 1

10.解析: ( x 2 ? ) 6 的展开式的通项为
x Tr + 1 = C 6 ( x )
r 2 6- r

1 r r 12( ) = C6 x x
3

3r

令1 2 - 3 r = 3
3

得r = 3

∴(x ?
2

1 x

) 的展开式中 x 的系数为 C 6 = 2 0

6

11.解析:设递增的等差数列 ? a n ? 的公差为 d ( d > 0 ) a 3 ? a 2 2 ? 4 得 ,由
1 + 2 d = (1 + d ) - 4
2

解得 d =

2 舍去负值 d = 2 ∴ a n = 2 n - 1

12.解析: y ' ? ( x 3 ? x ? 3) ' ? 3 x 2 ? 1 , y ' | x ?1 ? 2
由点斜式得所求的切线方程为 y - 3 = 2( x - 1) 即 2 x - y + 1 = 0

13.解析:1° i = 2, k = 1, s = 1 ? s = 2° i = 4, k = 2, s = 2 ? s =
惠来一中 方文湃

1

(s ? i) (2? 4)

1 1

(1? 2 ) 4
6

2

1 2

(s ? i)

k 1 2

3° i = 6, k = 3, s = 4 ? s =
i = 8 并不会“ i < 8

1 k

(s ? i)

1 3

(4? 6)

8

”故输出 s 的值为

8
(x 0)

14.解析:曲线 C1 的普通方程为: x 2 = y
ì x2 = y (x ? 解? 2 í ? x + y2 = 2 ? ? 0)

;曲线 C2 的普通方程为: x 2 + y 2 = 2

得? í

ì x= 1 ? ? y= 1 ? ?

∴曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1)

15.解析:连结 OA,则 OA⊥AP ∵∠ABC=30° ,∴∠AOC=60° ,∠APO=30° ,
∴ tan ? A O C
PA OA = 3 , PA =

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解: (1)由 T =
2p w = 10p 得w = 1

5 1 p (2)由(1)知 f ( x ) = 2 co s( x + ) 5 6 5p 1 5p p p 6 ) = 2 co s[ (5 a + ) + ] = 2 co s( a + ) = - 2 sin a = ∵ f (5 a + 3 5 3 6 2 5 3 4 ∴ sin a = , co s a = 5 5 5p 1 5p p 16 ) = 2 co s[ (5 b ) + ] = 2 co s b = ∵ f (5 b 6 5 6 6 17 8 15 ∴ co s b = , sin b = 17 17 4 8 3 15 13 ? ? ? ? ∴ co s(? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ? ? 5 17 5 17 85

17. 解: (1)图中学生期中考试数学成绩在 [80,90)的频率 f5=1-10(0.054+0.01+0.006×3)=1-0.82=0.18 ∴ x =0.018 (2)学生成绩不低于 80 分的频率 f=10(0.018+0.006)=0.24 成绩不低于 80 分的学生人数为 50f=50×0.24=12 成绩不低于 90 分的学生人数为 50×10×0.006=3 ∴随机变量 x 的取值为 0,1,2,期中考试数学成绩在 [80,90)的学生数为 12-3=9,
p (x = 0) = C9
2

C12

2

=

6 11

, p ( x = 1) =

C9 ? C3 C12
2

1

1

=

9 22

, p (x = 2) =

C3

2

C12

2

=

1 22

随机变量 x 的分布列为
惠来一中 方文湃 7

x

0
6 11 12 22

1
9 22

2
1 22

P 随机变量 x 的数学期望 E ( x ) =
0? 12

=

1? 9 22

2

1

=

11 22

=

1 2

18.解: (1)∵PA⊥平面 ABCD , B D ? 平面 ABCD ∴BD⊥PA ∵PC⊥平面 BDE, B D ? 平面 BDE ∴BD⊥PC ∵PA∩PC=P ∴BD⊥平面 PAC; (2)设 AC∩BD=O,连结 OE ∵PC⊥平面 BDE。 ∴∠BEO 为二面角 B-PC-A 的平面角 ∴AC⊥BD,∴ABCD 为正方形 在 Rt△PAC 中 P C =
PA + AC
2

∵BD⊥平面 PAC,AC ? 平面 PAC

∵AD=2,∴AO=BO=OC= 2 ,AC= 2 2
2

= 3

∵PC⊥平面 BDE,OE ? 平面 BDE ∴
OE PA OC PC

∴PC⊥OE,∴△PAC∽△OEC
2 3 2 3

=

∴OE = PA?
BO EO

OC PC

1?

在 Rt△BOE 中 tan∠BEO =

= 3

即二面角 B-PC-A 的正切值为 3。
?

19.解: (1)∵ 2 S n ? a n ? 1 ? 2

n ?1

? 1, n ? N , 且 a 1 , a 2 ? 5, a 3 成等差数列

ì 2 S 1 = 2 a1 = a 2 - a 3 ? ? ? ∴ ? 2 S 2 = 2 a1 + 2 a 2 = a 3 - 7 í ? ? ? 2 ( a 2 + 5) = a 1 + a 3 ? ?

ì a1 = 1 ? ? ? 解得 ? a 2 = 5 í ? ? ? a3 19 ? ?

(2)∵ 2 S n ? a n ? 1 ? 2
n

n ?1

? 1 ??????????????????①

∴ 2 S n ?1 ? a n ? 2 ? 1 ????????????????????② ②-①化得 a n + 1 = 3 a n + 2 ∵ a 2 = 5 = 3 a1 + 2 = 5
n

(n

2)
n

∴ an+ 1 = 3an + 2

(n

N *)

惠来一中

方文湃

8



an+ 1 2
n+ 1

=

3 2

?

an 2
n

1 2



an+ 1 2
n+ 1

+ 1=

3 2

? (

an 2
n

1)

故数列{
an

an 2
n

+ 1 }成首项为

a1
1

+ 1=

3

,公比也为
n

3 2

的等比数列,于是有
n

3 n + 1= ( ) 2 2
n

2 2 a 3 n ∴ n = ( ) - 1, n 2 2
n- 1

an = 3 - 2
n- 1 n

(3)∵ a n - 3 ∴ an ? 3
n- 1

= 3 - 2 - 3

n

n

n- 1

= 2 ?3

2 = 2(3

n- 1

- 2

n- 1

)

0 (当 n=1 时,取等号。 )

0, ∴

1 an

? 3

1
n- 1

(当且仅当 n=1 时,取等号。 )
1 n 1? ( ) 3 1 n 3 3 ? ? [1 ? ( ) ] ? 1 2 3 2 1? 3
3k , c = 2k (k > 0)



1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

? 1?

1 3

?

1 3
2

?? ? 3

1
n ?1

20.解: (1)∵ e ?

c a
x

?

2 3

?

2 3

,∴可设 a =

∴b =

a - c = k

2

2

2 2

故椭圆 C 的方程为

?

y b

2 2

?1

3b

设 P ( x, y )
2 2

(- b # y
2

b ) 为椭圆上的任一点则 x = 3 b - 3 y
2 2 2

2

2

2

| P Q | = x + ( y - 2) = - 2 y - 4 y + 4 + 3 b = - 2( y + 1) + 3 b + 4

2

①当 b ? 1 时,在 y = - 1 ,|PQ|取得最大值 3,于是有 6 + 3 b = 9
2

2

解得 b = 1 解得 b = 1 或 b = - 5

②当 0 < b < 1 时,在 y = - b ,|PQ|取得最大值 3,于是有 b + 4 b + 4 = 9 均与“ 0 < b < 1 ”矛盾,舍去。 ∴ b = 1 ,所求的椭圆 C 方程为
x
2

? y ?1
2

3 m 3
2

(2)假设点 M(m,n)存在,则

?n ?1 ,
2

即 m ? 3n ? 3
2 2

圆心 O 到直线 l 的距离 d =
2

1 m + n
2

< 1

∴m + n > 1

2

2

1 2

| A B |=

r - d

2

2

=

1-

1 m + n
2 2

=

m + n - 1 m + n
2 2

2

2

△OAB 的面积 S ? O A B =
惠来一中 方文湃

1 2

| AB | d =
2

1 m + n
2

m + n - 1 m + n
9
2 2

2

2

=

m + n - 1 m + n
2 2

2

2

=

m + n - 1 m + n - 1+ 1
2 2

2

2

=
2 2

1 m + n - 1+
2

1 1 m + n - 1
2

2

(当且仅当 m + n - 1 =
2

2

2

1 m + n - 1
2

,即 m + n = 2 时取等号)

2

2

ì 2 3 ? ?m = ? ? m ? 3n ? 3 ? ? 2 解? 2 得? í 2 ? 2 ?m ? n ? 2 ? ?n = 1 ? ? 2 ? ?
2 2

∴所求点 M 的坐标为 (

6 2

,

2 2

)、 (

6 2

,-

2 2

)、(

6 2

,

2 2

)、(

6 2

,-

2 2

)

2 21.解:设 g ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ,方程 g ( x ) ? 0 的判别式 D = 9 (1 + a ) - 4 8 a = 9 ( a 2

1 3

)( a - 3)

①当

1 3

< a < 1 时, D < 0 , B ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0 ? R , D ? A ? B ? A ? { x | x ? 0}
2

?

?

即集合 D= (0, +
1 3

)

②当 0 < a

时, D

0 ,方程 g ( x ) ? 0 的两根 x1 =

3 4

[( a + 1) -

(a -

1 3

)( a - 3) ]

0,

x2 =

3 4

[( a + 1) +

(a -

1 3

)( a - 3) ] 。 B ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0
2

?

?

? {x | x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ]或 x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] }

D ? A ? B ? A ? {x | 0 ? x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ]或 x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] }

即集合 D= (0, [( a + 1) 4

3

(a -

1 3

)( a - 3) ])( ?

3 4

[( a + 1) +

(a -

1 3

)( a - 3) ], +

)

③当 a ? 0 时, D > 0 ,方程 g ( x ) ? 0 的两根 x1 =

3 4

[( a + 1) -

(a -

1 3

)( a - 3) ]

0,

x2 =

3 4

[( a + 1) +

(a -

1 3

)( a - 3) ] > 0 。

B ?

? x?
3 4

R2 x ?3 ( 1 ? a ) x ? 6 a ? 0
2

?

? {x | x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] ? 0 或 x ?

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] }

惠来一中

方文湃

10

D ? A ? B ? A ? {x | x ?

3 4

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] }

( 即集合 D=

3 4

[( a + 1) +

(a -

1 3

)( a - 3) ], +

)

(2)令 f '( x ) ? [2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax ] ' ? 6 x ? 6(1 ? a ) x ? 6 a ? 6( x ? a )( x ? 1) ? 0 得
3 2 2

f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 的极值点为 a ,1
3 2

①当

1 3

< a < 1 时, 集合 D= (0, +
3 2

)

f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内有两个极值点为 a ,1 。
1 3

②当 0 < a

时,∵ [( a ? 1) ?
4 1 3 1 3 1 3

3

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] ? 1 ? ( a ?

1 3

)?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ? a ?

1 3

∴ [( a ? 1) ?
4 3 4 3 4
3 4

3

(a ?

)( a ? 3) ] ? 1 成立,

∵ [( a ? 1) ?

(a ?

)( a ? 3) ] ? 1 ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ? ? ( a ?

1 3

)?

(

1 3

? a )(3 ? a ) ?

1 3

?a

∴ [( a ? 1) ?

(a ?

)( a ? 3) ] ? 1 成立

a ?

[( a ? 1) ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ] ?

(a ?

1 3

)( a ? 3) ? 3 ? a ?

(

1

1 ? a )(3 ? a ) ? 3 ? a ? a ? (0, ] 3 3

此时, f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内仅有一个极值点为 a 。
3 2

③当 a ? 0 时, ∵ [( a + 1) +
4 3 (a 1 3 3 4 )( a - 3) ] > 1 ? (a 1 3 )( a - 3) > 1 3 1 3 - a ? ( 1 3 a )(3 - a ) > 1 3 - a,

( ∴ f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D=
3 2

[( a + 1) +

(a -

)( a - 3) ], +

) 没有极值点。

惠来一中

方文湃

11


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