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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第9章 第4节 线面、面面平行的判定与性质


成才之路 · 数学
人教B版 · 高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章
立体几何

第九章

立体几何

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<

br />第九章 第四节 线面、面面平行

的判定与性质

第九章

立体几何

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第九章

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自主预习学案

第九章

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1.认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.

2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置
关系的简单命题.

第九章

立体几何

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这是高考必考的考点,通过对图形或几何体的认识,考查 线面平行、面面平行的判定与性质,考查转化思想、空间想象

能力、逻辑思维能力及运算能力,以多面体为载体、以解答题
形式呈现是主要命题方式.

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一、直线与平面平行 1.判定方法 1 ( ) 用 定 义 : 直 线 与 平 面 无 公 共 点 . a?α b?α a∥b ? ? ??a∥α. ? ?

2 ( ) 判 定 定 理 :

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3 ( ) 其 他 方 法 :

α∥β a?β a∥α a?β

? ? ??a∥α. ? ?

2.性质定理:

? ? ??a∥b. α∩β=b ? ?

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二 、 平 面 与 平 面 平 行 1. 判 定 方 法 1 ( ) 用 定 义 : 两 个 平 面 无 公 共 点 a∥β ? ? ? b∥β ? a?α ??α∥β. ? b?α ? a∩b=P? ?

2 ( ) 判 定 定 理 :

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3 ( ) 其 他 方 法 : a⊥α? ? ??_ α _ _ _ _ _ _ _∥β ? a⊥β? α∥γ? ? ??_ α ; _ _ _ _ _ _ _ . ∥β ? β∥γ?

a∥b ? ? c∥d ? a,c?α ? ??α∥β. b,d?β ? a∩c=A ? ? b∩d=B?

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2.性质定理: α∥β ? ? γ∩α=a??________. a∥b γ∩β=b? ? 3.两条直线被三个平行平面所截,截得线段对应成比例.

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1.(2014· 青岛质检 ) 已知直线 l∥平面 α , P∈α ,那么过点 P 且平行于直线l的直线( ) A.只有一条,不在平面α内 B.只有一条,且在平面α内 C.有无数条,不一定在平面α内

D.有无数条,一定在平面α内
[答案] B [解析] 设直线l与点P确定的平面为β,则β与α相交于经过

点 P 的一条直线 a ,l∥a. 假设过点P 还有直线b∥l ,则 b∥a ,与
b∩a=P矛盾,∴选B.
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2.(文)已知平面α,β,γ,直线l,m,点A,在下面四个命
题中正确的是( ) A.若l?α,m∩α=A,则l与m必为异面直线 B.若l∥α,l∥m,则m∥α C.若l?α,m?β,l∥β,m∥α,则α∥β

D.若α⊥γ,α∩γ=m,γ∩β=l,l⊥m,则l⊥α
[答案] D [解析] A选项,当A∈l时,l与m相交;故A错;B选项, m 可能在 α 内,故 B 错; C 选项, α 与 β 相交时,若交线为 a , l∥a,m∥a,这时也可能满足该条件,故C错.
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( 理 )(2013·泰安市期末 ) 设l 、 m 、 n 为不同的直线, α、 β 为
不同的平面,则如下四个命题中,真命题的个数为( ①若α⊥β,l⊥α,则l∥β ②若α⊥β,l?α,则l∥β ③若l⊥m,m⊥n,则l∥n )

④若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n
A.0 C.2 B.1 D.3

[答案] B

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[解 析] l与β不 垂 直 ;

①中 可 能 有

l?β;②中 l 平 行 于 α与β的 交 线 时 ,

③中 l 与 n 可 能 平 行 , 也 可 能 相 交 或 异 面 , 只 有 ? m⊥α? ? ??m⊥β? α∥β ? ? ? ? n∥β ?

l、m、n 在 同 一 平 面 内 时 , 结 论 才 成 立 ;

④中

?m⊥n,∴ ④正 确 .

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3 . ( 文 )(2014· 海南省六校联盟联考 ) 设 l , m 是两条不同的 直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( A.若l⊥m,m?α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α )

C.若l∥α,m?α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m [答案] B

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[解析]

如图,根据两条平行直线中的一条垂直于一个平

面,那么另一条也垂直于该平面,故选B.

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( 理 )(2014· 银川市第一中学二模 ) 设 l , m , n 表示不同的直
线,α、β、γ表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l ,且 m⊥α ,则 l⊥α ; ②若 m∥l ,且 m∥α ,则 l∥α; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,且m∥n,则l∥m∥n;

④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n?β,则l∥m.
其中正确命题的个数是( A.1 ) B.2

C.3

D.4

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[答案] B [解析] 由两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一 条边也垂直于这个平面知①正确;②中直线l可能在平面α内, 故②错; ∵ α∩β = l , β∩γ = m , ∴ m?α ,又 ∵ m∥n , n?α ,

∴m∥α;又 m?β ,β∩α =l ,∴m∥l ,∴l∥m∥n, ∴③正确,
④错误.

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4 . (2014· 山东德州期末 ) 设 α , β 是两个不重合的平面, m,n是两条不重合的直线,则以下结论错误的是( A.若α∥β,m?α,则m∥β B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n )

D.若m∥α,m⊥β,则α⊥β
[答案] B [解析] ∵若两平面平行,则其中一个平面内的直线,均

平行于另一平面,∴A正确;若 m?α ,n?α,m∥β ,n∥β ,其
中m,n不一定是相交直线,∴无法确定α∥β,B错误;由平行 公理及平行平面的性质知 C 正确;由平面垂直的判定方法知 D

正确.综上选B.
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典例探究学案

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线面平行的判定

( 文 )(2013· 河北衡水中学六模 ) 已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且满足 AD⊥AB, BC∥AD,AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A, BC 上的点.

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1 ( ) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD; 2 ( ) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1-AB1F 的体积.
[解 析] 1 ( ) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G, 连 结 GF.

A1E 5 EG 5 ∵A A=8,∴AD=8, 1 ∵AD=1 6 ,∴EG=10=BF. ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG, ∴四 边 形 B F G E 是 平 行 四 边 形 , ∴BE∥FG,

又 FG?平面 A1FD,BE?平 面 A1FD, ∴BE∥平 面 A1FD.
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2 ( ) ∵在 直 四 棱 柱 BD?平 面 A B C D 由 已 知 ,

A B C D

-A1B1C1D1 中 , A1A⊥平面 A B C D



,∴A1A⊥BD.

BD⊥A1F,A1A∩A1F=A1,

∴BD⊥平面 A1AF,∴BD⊥AF. ∵梯 形 A B C D 为 直 角 梯 形 , 且 满 足 AD⊥AB,BC∥AD,

AD ∴在 Rt△BAD 中 ,a t n ∠ABD= AB =2 . FB BF 在 Rt△ABF 中 ,a t n ∠BAF=AB= 8 . π BF 1 ∵BD⊥AF,∴ ∠ ABD+∠BAF=2,∴ 8 =2,∴BF=4 .
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∵在 直 四 棱 柱

A B C D

-A1B1C1D1 中 , A1A⊥平 面 A B C D ,



∴平 面 AA1B1B⊥平 面 A B C D 又 平 面 A B C D

∩平 面 AA1B1B=AB,∠ABF=9 0 °, F-A1B1A 的 高 .

∴FB⊥平 面 AA1B1B, 即 BF 为 三 棱 锥

∵ ∠ AA1B1=9 0 ° ,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=3 2 . ∴V 三 棱 锥 1 2 8 AA1B1×BF= 3 .
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A1 - AB1F = V 三 棱 锥

1 F - A1B1A = 3 ×S △

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( 理) 如 图 , 几 何 体 CB=CD,EC⊥BD.

E-A B C D

是 四 棱 锥 , △A B D 为 正 三 角 形 ,

1 ( ) 求 证 : BE=DE; 2 ( ) 若∠B C D =1 2 0 ° ,M 为 线 段 AE 的 中 点 , 求 证 : 面 BEC.
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DM∥平

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[分 析]

1 ( ) 要 证 BE=DE, 由 等 腰 三 角 形 的 性 质 , 取

BD 中

点 O, 连 接 CO、EO, 应 有 EO⊥BD,由 CB=CD 知 CO⊥BD, 于 是 BD⊥平 面 E O C , 因 此 EC⊥BD,而 EC⊥BD 为 已 知 条 件 . 2 ( ) 取 AB 中 点 N, 连 DM、 DN、 MN, 易 证 MN∥平 面 E B C , 再由底面三角形内的角度关系证得 DN ∥ BC ,则 DN ∥平面 EBC, 最 后 通 过 证 明 平 面 D M N ∥平 面 EBC 来 证 DM∥平 面 EBC.

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[解 析]

1 ( ) 取 BD 的 中 点 O, 连 接 CO、EO.

由 于 CB=CD, 所 以 CO⊥BD, 又 EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC?平 面 E O C , 所 以 BD⊥平 面 E O C , 因 此 BD⊥EO, 又 O 为 BD 的 中 点 , 所 以 BE=DE.
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2 ( ) 取 AB 的 中 点 N, 连 接 DM、DN、MN,

因 为 M 是 AE 的 中 点 , 所 以

MN∥BE.

又 MN?平 面 BEC,BE?平 面 B E C , 所 以 MN∥平 面 BEC.
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又 因 为 △ABD 为正 三 角 形 , 所 以 ∠B D N =3 0 °, 又 CB=CD,∠B C D =1 2 0 ° , 因 此 ∠C B D =3 0 °, 所 以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平 面 B E C , 所 以 DN∥平 面 BEC. 又 MN∩DN=N, 故 平 面 D M N ∥平 面 BEC,

又 DM?平 面 D M N , 所 以 DM∥平 面 BEC.

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[方法总结] 1.证明直线与平面平行的常用方法
(1)利用定义证明,直线a与平面α没有公共点,一般结合反 证法来证明,这时 “ 平行 ” 的否定应是 “ 在平面内 ” 或 “ 相 交”两种,只有排除这两种位置关系后才能得出 “直线 a 与平 面α平行”这一结论.

(2)利用直线与平面平行的判定定理证明,其一般步骤是:
第一步:作 ( 或找 ) 出所证线面平行中的平面内的一条直 线;

第二步:证明线线平行;
第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行; 第四步:反思回顾,检查关键点及答题规范.
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3 ( ) 利 用 面 面 平 行 证 明 ①α∥β,a?α?a∥β; ②α∥β,a?β,a∥α?a∥β. 2. 探 求 线 面 平 行 的 思 路 1 ( ) 欲 证 a∥α, 找 或 作 一 个 经 过 证 明 a∥b. 2 ( ) 利 用 几 何 体 的 特 征 , 合 理 利 用 中 位 线 定 理 、 线 面 平 行 的 性 质 , 或 者 构 造 平 行 四 边 形 、 寻 找 比 例 式 证 明 两 直 线 平 行 . a的 平 面 与 α相 交 于 直 线 b,

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2 ( 0 1 4 · 四 边 形

北 京 石 景 山 期 末 是 矩 形 ,

)如 图 所 示 , 已 知

PA⊥平 面 A B C D



A B C D

PA=AB=1,AD= 3, 点 E,F 分 别 是

BC,PB 的 中 点 . 1 ( ) 求 三 棱 锥 P-A D E 的 体 积 ;

2 ( ) 求 证 : AF⊥平 面 P B C ; 3 ( ) 若M为 线 段 AD 中 点 , 求 证 : PM∥平 面 AEF.

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[解 析] 高 . ∵S△A D E

1 ( ) ∵PA⊥平面 A B C D

,∴PA 为 三 棱 锥

P-A D E 的

1 3 1 3 3 =2× 3×1= 2 ,∴VP-A D E = × 3 2 ×1= 6 . , BC?平 面 A B C D , ∴PA⊥BC.

2 ( ) 证 明 : ∵PA⊥平 面 A B C D

∵AB⊥BC,AB∩PA=A,∴BC⊥平 面 P A B . ∵AF?平 面 P A B ,∴BC⊥AF. ∵PA=AB, 点 F 是 PB 的 中 点 , ∴PB⊥AF.

又∵BC∩PB=B,∴AF⊥平 面 P B C .
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3 ( ) 证 明 : 如 图 所 示 , 连 接 ∵四 边 形 A B C D 是 矩 形 ,

BM 交 AE 于 点 N, 连 接 FN,EM. ∴AD∥BC, 且 AD=BC.

又∵M,E 分 别 为 AD,BC 的 中 点 , ∴四 边 形 A M E B 是 平 行 四 边 形 .

∴N 为 BM 的 中 点 . 又∵F 是 PB 的 中 点 , ∴PM∥FN. ∵PM?平 面 AEF, NF?平 面 AEF,∴PM∥平 面 AEF.
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面面平行的判定 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面 ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在什

么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

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[解 析]

当 Q 为 CC1 的 中 点 时 , 平 面 P 为 DD1 的 中 点 ,

D1BQ∥平 面 P A O .

∵Q 为 CC1 的 中 点 ,

∴QB∥PA.

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连 结 DB. ∵P、O 分 别 为 DD1、DB 的 中 点 , ∴D1B∥PO. 又 D1B?平 面 P A O , QB?平 面 P A O , ∴D1B∥平 面 P A O ,QB∥平 面 P A O , 又 D1B∩QB=B, ∴平 面 D1BQ∥平 面 P A O .

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[方 法 总 结

]

证 明 两 个 平 面 平

行 的 方 法 :

1 ( ) 用 定 义 , 此 类 题 目 常 用 反 证 法 来 完 成 证 明 ; 2 ( ) 用 判 定 定 理 或 推 论 线 面 平 行 来 完 成 证 明 ; 3 ( ) 根据 “ 垂直于同一条直线的两个平面平行 ” 这 一 性 质 进 行 证 明 ; 4 ( ) 借 助 “传 递 性 ”α∥β,β∥γ?α∥γ. 其 中1 ( ) 不 常 用 , 3 ( ) 、4 ( ) 主 要 用 来 解 答 客 观 题 , 判 定 定 理 是 证 明 两 个 平 面 平 行 的 主 要 方 法 .
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(即“线线平行?面面平行”),通过

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2 ( 0 1 3 ·

江 苏 )如 图 , 在 三 棱 锥

S-A B C

中 , 平 面

S A B ⊥平面

S B C ,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥S B, 垂足 为 F, 点 E,G 分 别 是 棱 S A ,S C 的 中 点 .

求 证 : 1 ( ) 平 面 EFG∥平 面 ABC; 2 ( ) BC⊥S A.

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[解 析]

1 ( ) 因 为 AS=AB,AF⊥S B, 垂 足 为 E是S A 的 中 点 , 所 以

F, 所 以

F是

S B 的 中 点 . 又 因 为

EF∥AB.

因 为 EF?平 面 ABC,AB?平 面 A B C , 所 以 EF∥平 面 ABC. 同 理 EG∥平 面 ABC. 又 EF∩EG=E, 所 以 平 面 EFG∥平 面 ABC.

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2 ( ) 因 为 平 面

S A B ⊥平面 S B C , 且 交 线 为

SB,

又 AF?平面 S A B ,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 S B C , 因为 BC?平面 S B C , 所 以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB?平面 S A B , 所 以 BC⊥平面 S A B . 因为 SA?平面 S A B ,所以 BC⊥SA.

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思想方法系列
转化思想在线面、面面平行关系中的应用
(2014· 江苏南通模拟)如图所示, 斜三棱柱 ABC- A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点. A1D1 (1)当D C 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? 1 1 AD (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求DC的值.

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[分 析] 相 交 , 且 与 平 面 相 交 于 经 过 点

1 ( ) 由 于 BC1∥平 面 AB1D1, 直 线 AB1D1 相 交 于 D1, 故 平 面 D1 的 一 条 直 线 , 由 于

A1C1 与 直 线

BC1

A1BC1 与 平 面 AB1D1

AB1 与 A1B 相 交 , 设 交 点 为 D1 为 A1C1 中 点 .

O, 则 BC1∥OD1, 由 于 O 为 A1B 中 点 , 从 而 2 ( ) 由 于 已 知 平 面

BC1D∥平面 AB1D1, 结 合 1 ( ) 知,BC1∥ D 为 AC

D1O, 再 由 O 为 A1B 中 点 知 , D1 为 A1C1 的 中 点 , 从 而 的 中 点 .

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[解 析] =1 .

1 ( ) 如 图 所 示 , 取

D1 为 线 段 A1C1 的 中 点 , 此 时

A1D1 D1C1

连 接 A1B, 交 AB1 于 点 O, 连 接 OD1. 由 棱 柱 的 性 质 知 , 四 边 形 A1ABB1 为 平 行 四 边 形 ,

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∴点 O 为 A1B 的 中 点 . 在△A1BC1 中 , 点 O,D1 分 别 为 A1B,A1C1 的 中 点 , ∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平 面 AB1D1,BC1?平 面 AB1D1, ∴BC1∥平 面 AB1D1. A1D1 ∴当D C =1 时 , BC1∥平 面 AB1D1. 1 1

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2 ( ) 由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BC1D =BC1,平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O 得 BC1∥D1O, A1D1 A1O ∴D C = OB , 1 1 A1D1 DC A1O 又由题可知D C =AD , OB =1, 1 1 DC AD ∴AD =1,即DC=1.

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[ 方法总结]

线面、面面平行的判定与性质的综合问题是

解 题 中 的 难 点 , 解 答 此 类 题 : 一 是 要 运 用 好 转 化 的 思 想 .

二 是 要 能 够 灵 活 作 出 辅 助 线 、 面 来 解 题 , 作 辅 助 线 、 面 一 定 要 以 某 一 定 理 为 理 论 依 据 .

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三 是 要 注 意 线 面 平 行 的 性 质 是 核 心 , 证 明 线 面 平 行 需 依 照 性 质 找 到 平 面 内 的 那 条 直 线 , 用 判 定 定 理 证 面 面 平 行 需 先 证 线 面 平 行 . 审 题 时 要 注 意 分 析 , 知”, 紧 扣 定 理 找 联 系 . 从 已 知 看 “ 可知 ” , 从 未 知 看 “需

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2 ( 0 1 4 ·

安 徽 文 )如 图 , 四 棱 锥

P-A B C D

的 底 面 是 边 长 为

8的 PB、 ,BC∥

正 方 形 , 四 条 侧 棱 长 均 为

2 1 7 .点 G、E、F、H 分 别 是 棱 G E F H ⊥平 面 A B C D

AB、CD、PC 上 共 面 的 四 点 , 平 面 平 面 G E F H . GH∥EF;

1 ( ) 证 明 :

2 ( ) 若 EB=2, 求 四 边 形 G E F H 的 面 积 .

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[解 析]

1 ( ) ∵BC∥平面 G E F H =GH,

,BC?平 面 PBC, 且 平 面

PBC∩平面 G E F H ∴GH∥BC. 同 理 可 证

EF∥BC,∴GH∥EF.

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2 ( ) 连 结 AC、BD 交 于 点 O,BD 交 EF 于 K, 连 结 OP、GK. 因 为 PA=PC,O 是 AC 的 中 点 , 所 以 同 理 可 证 PO⊥BD, ∴PO⊥平面 PO⊥AC,

又∵BD∩AC=O, 且 AC、BD 都 在 底 面 内 , A B C D , 又∵平 面 G E F H ⊥平面 A B C D . ,PO?平 面 G E F H



∴PO∥平面 G E F H 又∵平 面 G E F H

∩平面 PBD=GK, ,∴GK⊥EF,
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∴PO∥GK, 且 GK⊥平 面 A B C D

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所 以 GK 是 梯 形 G E F H

的 高 .

∵AB=8,EB=2,∴EB : AB=KB : DB=1 : 4, 1 1 ∴KB=4DB=2OB, 即 K 为 OB 的 中 点 , 1 ∴GK=2PO, 即 G 是 PB 的 中 点 , 且 又 由 已 知 得 GK=3 . ∴四 边 形 G E F H GH+EF 4+8 的 面 积 S= · GK= 2 ×3=1 8 . 2
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又∵PO∥GK,

1 GH=2BC=4 .

OB=4 2,PO= PB2-OB2= 6 8 -3 2 =6 .∴

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探索性问题

如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是菱
形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M ,N分别为 BC, PA 的中点,且PA=AB=2.

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1 ( ) 证 明 : BC⊥平 面 A M N ; 2 ( ) 求 三 棱 锥 3 ( ) 在 线 段 若 存 在 , 求 出 N-A M C 的 体 积 ; PD 上 是 否 存 在 一 点 E, 使 得 NM∥平 面 A C E ;

PE 的 长 , 若 不 存 在 , 说 明 理 由 .

[解 析]

1 ( ) 因 为 A B C D

为 菱 形 ,

所 以 AB=BC,

又∠ABC=6 0 °, 所 以 AB=BC=AC, 又 M 为 BC 中 点 , 所 以 而 PA⊥平面 A B C D BC⊥AM. , 所 以 PA⊥BC,

,BC?平 面 A B C D

又 PA∩AM=A, 所 以 BC⊥平 面 A M N .
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2 ( ) 因为 S△A M C

1 1 3 =2AM· CM=2× 3×1= 2 , ,PA=2, 所 以 AN=1,

又 PA⊥底面 A B C D

所以,三棱锥 N-A M C 的体积 1 1 3 3 V=3S△A AN=3× 2 ×1= 6 . M C ·

第九章

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3 () 存 在 . 取 PD 中 点 E, 连 结 NE,EC,AE, 因 为 N,E 分 别 为 PA,PD 中 点 , 所 以 又 在 菱 形 即 四 边 形 A B C D M C E N 1 NE AD, 2

1 中 , CM AD, 所 以 NE MC, 2 是 平 行 四 边 形 , 所 以 NM∥EC,

又 EC?平 面 A C E ,NM?平 面 A C E , 所 以 MN∥平面 A C E , 即 在 PD 上 存 在 一 点 1 此 时 PE= PD= 2. 2
第九章 立体几何

E, 使 得 NM∥平 面 A C E ,

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[方法总结]

立体几何中的探索性问题的主要类型有: (1)

探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么;(2)探索结论, 即在给定的条件下,命题的结论是什么. (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法: ①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再
证明其充分性; ③把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.

(2)对命题结论的探索常采用以下方法:
首先假设结论成立,然后在这个假设下进行推理论证,如 果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到了矛

盾的结果就否定假设.
第九章 立体几何

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2 ( 0 1 4 ·

山 东 青 岛 二 模

)如 图 , 在 长 方 形

A B C D

中 , AB=2, AE 将 三 角

BC=1,E 为 CD 的 中 点 ,

F 为 AE 的 中 点 . 现 在 沿

形A D E 向 上 折 起 , 在 折 起 的 图 形 中 解 答 下 列 两 问 :

1 ( ) 在 线 段

AB 上 是 否 存 在 一 点

K, 使 BC∥平 面 D F K ? 若

存 在 , 请 说 明 你 的 结 论 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 ; 2 ( ) 若 平 面 A D E ⊥平 面 A B C E , 求 证 : 平 面 B D E ⊥平 面 A D E .
第九章 立体几何

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[解 析]

1 ( ) 线 段 AB 上 存 在 一 点

K, 且 当

1 AK=4AB 时 , BC

∥平 面 D F K , 证 明 如 下 : 设 H 为 AB 的 中 点 , 连 接 EH,DK,KF, 则 BC∥EH,

1 又∵AK=4AB,F 为 AE 的 中 点 , ∴KF∥EH,∴KF∥BC, ∵KF?平面 D F K ,BC?平 面 D F K , ∴BC∥平面 D F K .
第九章 立体几何

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2 ( ) ∵在 折 起 前 的 图 形 中 ∴在 折 起 后 的 图 形 中 ,

E 为 CD 的 中 点 , AE=BE= 2,

AB=2,BC=1,

从 而 AE2+BE2=4=AB2, ∴AE⊥BE. ∵平 面 A D E ⊥平 面 A B C E ∴BE⊥平 面 A D E , ∵BE?平 面 B D E , ∴平 面 B D E ⊥平 面 A D E . , 平 面 A D E ∩平面 ABCE=AE,

第九章

立体几何

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名 师 点 睛 一 个 关 系 平 行 问 题 的 转 化 关 系 :

两 个 防 范 1 ( ) 证 明 线 面 平 行 时 , 一 定 要 指 出 直 线 在 平 面 外 ; 2 ( ) 用 判 定 定 理 证 明 二 面 平 行 时 , 一 定 要 指 出 两 直 线 相 交 ;
第九章 立体几何

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三个步骤 探索性问题的一般分析步骤: 第一步,假设结论成立. 第二步,把结论当作条件与已知条件结合,经过推理论证

探求应具备的条件.
第三步,给出明确答案,并予以证明.

第九章

立体几何

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第九章

立体几何


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