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2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
2 1.设集合 A ? {2,0,1,3} ,集合 B ? {x ? x ? A, 2 ? x ? A} .则集合 B 中所有元素的和为

__________. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A, B 在抛物线 y ? 4 x

上,满足 OA ? OB ? ?4 . F 是抛物线
2

的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________. 3.在 ?ABC 中,已知 sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为_______. 4.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为__________. 5.设 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ? [0,1] ,有 f ( x) ? 1.则 ab 的最大值 为_________. 6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为_________. 7.若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是____________________. 8.已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ?{1, 2,

,8} ,均有

ai ?1 1 ?{2,1, ? } , ai 2

则这样的数列的个数为_________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)给定正数数列 {xn } 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3, 证明:存在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2n , n ? 1, 2, 10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为 .这里 Sn ? x1 ?

? xn .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

A1 , A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点. P 为椭圆上不同于 A1 , A2 的任意一点.若平面中两个点 Q, R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 ,

RF2 ? PF2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明.

11.(本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax 2 ? b ,求所有的正实数对 ( a, b) ,使得对任意实数

x, y ,有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、(本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 AB 内一点, E , F 为线段 AB 上两点,满足 AE ? EF ? FB .连接 PE, PF 并延长,与圆 ? 分别相交于点 C , D .求证:

E F? C D? A C ? BD

.

二、(本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 {an } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a2m ? am ? u, ? ?a2m?1 ? am ? v.
记 Sm ? a1 ? a2 ?

? am ( m ? 1, 2,

).证明:数列 {Sn } 中有无穷多项是完全平方数.

三、(本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m, n ? 2 为给定的整数.每道 题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分,未答对的学生得 零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 p1 ? p2 ? 求 p1 ? pn 的最大可能值.

? pn ,

四、(本题满分 50 分)设 n, k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2 k 个不被 n 整除的整数,若
k

将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


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